四川省廣安市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

Page182024年秋高2024級第一次月考數(shù)學(xué)一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，即對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2.已知點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)兩點間斜率公式求解即可；【詳解】解析：，又因為所以，故選：B.3.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點坐標(biāo)是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間直角坐標(biāo)系中，點的對稱性可得出結(jié)果.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點坐標(biāo)是.故選：A.4.在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A4 B. C.2 D.不確定【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A5.甲、乙兩人進(jìn)行射擊競賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則兩人各射擊一次，均沒中靶的概率是（

）A0.6 B. C. D.0.3【答案】D【解析】【分析】依據(jù)獨立事務(wù)的概率乘法公式即可求解.【詳解】甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則甲不中靶概率為，乙不中靶概率為，因此兩人均沒中靶的概率為，故選：D6.某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質(zhì)量，調(diào)查了該地區(qū)過去11天的濃度（單位：），數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為（）A.71 B.75.5 C.79 D.72【答案】C【解析】【分析】依據(jù)極差求得m的值，計算，依據(jù)百分位數(shù)的含義即可確定答案.【詳解】由題意得，數(shù)據(jù)的極差為40，因為數(shù)據(jù)中最小值為41，故m應(yīng)為最大值，為81，則，將數(shù)據(jù)53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，從小大大排列為：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，故這組數(shù)據(jù)第m百分位數(shù)為79，故選：C7.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先用表示，然后由可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，故選：A8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，分別為的中點，，，若平面，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故選：C.二.多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分)9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合特別角的三角函數(shù)值以及誘導(dǎo)公式逐項分析即可求出結(jié)果.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確，故選：CD.10.為比較甲，乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項實力指標(biāo)值（滿分為5分）．繪制了如圖所示的六維實力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下列說法正確的是（）A.甲的邏輯推理指標(biāo)高于乙的邏輯推理指標(biāo)值 B.甲的數(shù)學(xué)建模指標(biāo)值高于乙的直觀想象指標(biāo)值C.甲的數(shù)學(xué)運算指標(biāo)值高于甲的直觀想象指標(biāo)值 D.甲的六維實力整體水平低于乙的六維實力整體水平【答案】AD【解析】【分析】干脆由六維實力雷達(dá)圖讀取數(shù)據(jù)辨別即可.【詳解】對于A選項，甲的邏輯推理實力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理實力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理實力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理實力指標(biāo)值，故選項A正確；對于B選項，甲的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以乙的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值高于甲的直觀想象實力指標(biāo)值，故選項B錯誤；對于C選項，甲的數(shù)學(xué)運算實力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運算實力指標(biāo)值不高于甲的直觀想象實力指標(biāo)值，所以選項C錯誤.對于D選項，甲的六維實力指標(biāo)值的平均值為，乙的六維實力指標(biāo)值的平均值為，所以乙的六維實力指標(biāo)值整體水平高于甲的六維實力指標(biāo)值整體水平，所以選項D正確；故選：AD.11.已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)空間向量的模長、數(shù)量積的坐標(biāo)運算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】對于A,，，故A錯誤；對于B，，則，故B錯誤；對于C,，則，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選:CD.12.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點，是棱上的動點，則下列說法中正確的是（）A.B.存在點，使平面C.存在點，使直線與所成的角為D.點到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，所以，所以，A選項正確.點到平面與平面的距離和為為定值，D選項正確.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，要使平面，平面，則，解得，所以存在點，使平面，B選項正確.若直線與直線所成角為，則，，無解，所以C選項錯誤.故選：ABD三、填空題(本題共4小題，滿分20分，每小題5分)13.某同學(xué)10次數(shù)學(xué)檢測成果統(tǒng)計如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為___________．【答案】97【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用眾數(shù)的意義求出眾數(shù)即得.【詳解】在10次數(shù)學(xué)檢測成果中，93、94、95各有2次，96有1次，97有3次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是97.故答案為：9714.經(jīng)過點P(－2，－1)和點Q(3，a)的直線與傾斜角是45°的直線平行，則a＝____.【答案】4【解析】【詳解】由題意，得tan45°＝，解得a＝4.15.已知向量，,則向量在向量方向上投影向量的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】向量在向量方向上投影向量為，故答案為：16.若，則三棱錐的體積為___________．【答案】【解析】【分析】運用空間向量夾角公式可求得，進(jìn)而可求得，再運用點到面的距離公式可求得點C到平面的距離，結(jié)合錐體體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，，，所以，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，所以，所以點C到平面的距離為，所以三棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A(-1，1)，B(1，1)，．（1）求直線BC，AC的斜率和傾斜角；（2）若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．【答案】（1）直線BC的斜率，傾斜角為；直線AC的斜率，傾斜角為（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩點間的斜率公式計算斜率，再依據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可；（2）數(shù)形結(jié)合，依據(jù)斜率與傾斜角變更的規(guī)律分析即可．【小問1詳解】由斜率公式得：，因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；【小問2詳解】如圖，當(dāng)直線CD由CA逆時針旋轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由增大到，∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．18.在正四面體中，，，，分別是，，，的中點.設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求證：，，，四點共面.【答案】（1）,（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，，由向量的減法可得答案.（2）用向量分別表示出，從而可得，從而可證.【小問1詳解】，分別是，的中點，則且所以，，分別是，的中點，則且【小問2詳解】，，，∴，從而，，，四點共面．19.從甲?乙兩塊小麥地各拔出10株小麥幼苗，分別測得它們的株高如下(單位：)甲：乙：（1）分別計算甲、乙兩塊地小麥的平均株高；（2）甲?乙兩塊地小麥中，哪塊地的小麥幼苗長得整齊？【答案】（1）25，25（2）乙地的小麥幼苗長得整齊【解析】【分析】（1）由平均數(shù)的計算公式干脆計算即可.（2）分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差，比較即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意，，.【小問2詳解】，，因為，所以乙地的小麥幼苗長得整齊．20.如圖，在長方體中，，，點，，，分別在棱，，，上，，，.（1）證明：；（2）求到平面的距離；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可證明；（2）依據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合點到面的距離公式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，又，不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量，又，則，令，則，∴，又，所以到平面的距離為.21.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，其次組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．（1）求第七組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）若從身高屬于第六組和第八組的全部男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事務(wù)，求．【答案】（1）；直方圖答案見解析（2）【解析】【分析】（1）計算第六組的頻率，再依據(jù)頻率和為1求解第七組的頻率，再求解頻率/組距即可；（2）依據(jù)古典概型方法，列舉基本領(lǐng)件分析滿意條件的事務(wù)數(shù)求解即可.【小問1詳解】第六組的頻率為，頻率/組距為0.016；∴第七組的頻率為，頻率/組距為0.012.【小問2詳解】第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種狀況，因事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事務(wù)E包含的基本領(lǐng)件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種狀況．所以．22.在中，，分別是上的點，滿意且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.（1）求與平面所成角的大?。唬?）在線段上是否存在點（不與端點重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線面角的大小.（2）設(shè)，用表示平面和平面的法向量后可求