2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題48直線的方程學(xué)生版

專題48直線的方程一、【學(xué)問(wèn)梳理】【考綱要求】1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形駕馭確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，駕馭過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.駕馭確定直線的幾何要素，駕馭直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.【考點(diǎn)預(yù)料】1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計(jì)算公式①經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)全部直線【常用結(jié)論】直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：1．“斜率變更分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要探討”．2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)留意過(guò)原點(diǎn)的特別狀況是否滿足題意．3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)法向量v＝(A，B)，一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．【方法技巧】1.斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法．2.傾斜角和斜率范圍求法：①圖形視察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性．3.求直線方程一般有以下兩種方法：①干脆法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后干脆寫出其方程．②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程．4.在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒘粢飧鞣N形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程，運(yùn)用時(shí)要留意分類探討思想的運(yùn)用．5.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可以利用直線點(diǎn)斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，比照得到定點(diǎn)坐標(biāo)．6.求解與直線方程有關(guān)的面積問(wèn)題，應(yīng)依據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得多邊形面積．7.求參數(shù)值或范圍．留意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．二、【題型歸類】【題型一】直線的傾斜角與斜率【典例1】直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變更范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))【典例2】過(guò)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【典例3】若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則k的取值范圍是________．【題型二】求直線的方程【典例1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0【典例2】已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0【典例3】經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v＝(－3,2)的直線方程為__________．【題型三】直線方程的綜合應(yīng)用【典例1】已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．【典例2】已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．【典例3】當(dāng)k>0時(shí)，兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】（2024·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)校考模擬預(yù)料）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【訓(xùn)練二】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【訓(xùn)練三】（2024·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知直線l與曲線相交，交點(diǎn)依次為D、E、F，且，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【訓(xùn)練四】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）設(shè)直線l：，圓C：，若直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．r的取值范圍是B．若r的值固定不變，則當(dāng)時(shí)∠ACB最小C．若r的值固定不變，則的面積的最大值為D．若，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)直線l的斜率為1或【訓(xùn)練五】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將兩圓方程作差，得到直線的方程，則（

）A．直線確定過(guò)點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)，使兩圓心所在直線的斜率為C．對(duì)隨意實(shí)數(shù)，兩圓心所在直線與直線垂直D．過(guò)直線上隨意一點(diǎn)確定可作兩圓的切線，且切線長(zhǎng)相等【訓(xùn)練六】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的全部根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、【強(qiáng)化測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．22．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)料）圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（

）A． B．2 C． D．13．（2024·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市其次中學(xué)?？寄M預(yù)料）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．假如且，那么直線不通過(guò)（

）A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限5．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（

）A． B． C． D．7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點(diǎn)到的距離為38．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)料）如圖，拋物線和直線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．設(shè)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的最小值是；③當(dāng)時(shí)，的最小值是；④無(wú)論為何值，都存在最小值．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2024秋·高二單元測(cè)試）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．直線能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線C．對(duì)隨意實(shí)數(shù)，直線都與圓相交D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為10．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知圓是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B．的最小值為C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．是銳角11．（2024春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．存在使得直與直線垂直C．對(duì)于隨意，直線與圓相交D．若直線過(guò)第一象限，則12．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為 B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則C．若，則或 D．若A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則三、填空題13．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．14．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：被圓C：所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.15．（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．16．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的全部根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題17．如圖，為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)線段上異于O，A的任一點(diǎn)K作的垂線，交橢圓于P，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線上．18．一條直線過(guò)點(diǎn)，并且與直線平行，求這條直線的方程．19．（2024秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長(zhǎng)(3)求AB邊的高所在直線方程.20．如圖，已知直線與曲線在第一象限和第三象限分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，分別由點(diǎn)、向軸作垂線，垂足分別為、，記四邊形的面積為.(1