新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊一專題三數(shù)列第二講數(shù)列的通項(xiàng)與求和-大題備考微專題3數(shù)列與不等式問題

微專題3數(shù)列與不等式問題1.[2024·吉林延邊二模]已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，S11＝77，且a2，a6－1，a11成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．2．[2024·安徽定遠(yuǎn)中學(xué)一模]等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝4，a2＝.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn<.3.[2024·河北石家莊三模]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿意a1＝3，a2＋a3＝36，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，滿意3Sn＋n2＝3nbn＋n，b1＝.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若存在正整數(shù)n，使得－8Man≥0成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍．(≈1.4，ln3≈1.1)．技法領(lǐng)悟解決數(shù)列與不等式問題時(shí)，一般先解決數(shù)列的通項(xiàng)或求和，再利用作差比較法、放縮法等不等式的方法解決．[鞏固訓(xùn)練3]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4＋a12＝16，S7＝28.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿意bn＝，且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿意不等式an·|Tn－3|>1的n的值．微專題3數(shù)列與不等式問題保分題1．(1)解析：設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，由題意可得即又因?yàn)閐>0，所以故an＝n＋1.(2)解析：∵＝＝，∴Tn＝＋…＋＝＝.因?yàn)榇嬖趎∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立．即存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立．即存在n∈N*，使得λ≤成立．＝(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)取等號)．故λ≤，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，].2．(1)解析：設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意得，解得，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝.(2)解析：證明：由(1)知，an＝，則an＋1＝，∵cn＝＝)，∴Tn＝[(1－)＋()＋…＋()]＝(1－)＝，∵n∈N*，>0，∴<，∴Tn<.提分題[例3](1)解析：設(shè)數(shù)列{an}公比為q，由已知得3q＋3q2＝36，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，所以an＝3·3n－1＝3n.因?yàn)?Sn＋n2＝3nbn＋n，所以，當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)bn－1＋n－1，兩式作差得(3n－3)bn＝3(n－1)bn－1＋2n－2，因?yàn)閚≥2，所以bn－bn－1＝，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以bn＝＋(n－1)＝n.－8Man≥0?M≤，設(shè)cn＝，則M小于等于數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)．設(shè)n＝k時(shí)，cn最大，因?yàn)閏1＝，c2＝>c1，所以k>1，由，即，即，即，解得，即2.5≤k≤3.5(k∈Z)，所以k＝3，故數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)是c3＝＝1，所以M≤1，即實(shí)數(shù)M的取值范圍是(－∞，1].[鞏固訓(xùn)練3](1)解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得a1＝d＝1，故an＝n.(2)解析：依題意，bn＝，故Tn＝4·(＋…＋)，則Tn＝4·(＋…＋)，兩式相減可得：Tn＝4·(＋…＋)＝4·＝2－，解得Tn＝3－.故an·|Tn－3|>1可轉(zhuǎn)化