廣東省廣州市番禺中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i+12+i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合A={x|x2?4x?5≥0}，B={x|a?3<x<a+4}，若A∪B=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.{a|a>1} B.{a|1<a<2} C.{a|a<2} D.{a|1≤a≤2}3.已知角α頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(?35,45A.?210 B.210 4.中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲和乙兩支救援隊(duì)必須去同一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，則不同的安排方法數(shù)是(

)A.18 B.24 C.36 D.485.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量Y=2X+1，則P(Y≥5)=(

)X0123Pa15a1A.712 B.512 C.566.若定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的圖象如圖所示，則不等式f(x)f′(x)>0的解集是(

)

A.(?∞,?1)∪(0,1) B.(?1,0)∪(1,+∞)

C.(?∞,?1)∪(1,+∞) D.(?1,0)∪(0,1)7.下列命題正確的是(

)A.已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=10，則p=13

B.若隨機(jī)變量X滿足D(X)=2，則D(3?X)=1

C.已知隨機(jī)變量X～B(n,12)，若E(2X+1)=9，則n=4

8.設(shè)a=ln22，b=1e，c=2+ln22eA.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.關(guān)于(7?x)7的展開式，下列判斷正確的是(

)A.展開式共有7項(xiàng) B.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

C.展開式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為49 D.展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為610.甲盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球．先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒．用事件E表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件F表示“從甲盒中取出的是白球”；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，用事件G表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.事件F與G是互斥事件 B.事件E與G不是相互獨(dú)立事件

C.P(G)=1330 11.已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnxA.函數(shù)y=g(x)f(x)有極大值，且極大值點(diǎn)x0∈(1,2)

B.eln2>ln3

C.函數(shù)y=f(x)?g(x)的最小值為2

D.若P、Q三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2+x)(x?2)5的展開式中x2的系數(shù)為______(13.某小區(qū)有5個(gè)區(qū)域要種上鮮花(如圖)，現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個(gè)區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有______種.

14.若函數(shù)f(x)=lnx+2x2?ax存在與直線2x?y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=2，{Snn}是公差為1的等差數(shù)列16.(本小題15分)

為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分k的頻率分布直方圖如圖所示：

減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中17綜合得分k的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率k≥85一級(jí)品2a75≤k<85二級(jí)品370≤k<75三級(jí)品a(1)若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一級(jí)品的概率；

(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：

①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取4件，記X為其中二級(jí)品的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②從數(shù)學(xué)期望來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器利潤(rùn)率較大？17.(本小題15分)

如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△AA1C是以AC為斜邊的等腰直角三角形且側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為B1C1的中點(diǎn).

(1)求證：A1O⊥平面ABC；

(2)求平面ABC與平面BC18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(32,2)，且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍.斜率為13的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(如圖所示，點(diǎn)P在直線l的上方19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=12x2+x+aln(x+1)，a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由i+12+i=(i+1)(2?i)(2+i)(2?i)=3+i5=35+15i2.【答案】D

【解析】解：∵x2?4x?5≥0，∴x≤?1或x≥5，

∴A={x|x≤?1或x≥5}，

又A∪B=R，

∴a?3≤?1a+4≥5，解得1≤a≤2.

故選：D.

3.【答案】C

【解析】解：∵角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(?35,45)，

∴sinα=45，cosα=?35，4.【答案】C

【解析】解：若僅有甲和乙兩支救援去隊(duì)同一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，則有C31C31A22=18種不同的安排方法；

若甲和乙兩支救援隊(duì)和其中一個(gè)救援隊(duì)去同一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，則有C31C5.【答案】A

【解析】解：由題意a+13+5a+16=1，解得a=112，

而P(Y≥5)=P(2X+1≥5)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=512+166.【答案】B

【解析】解：由圖可知：

f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

則在區(qū)間(0,+∞)上f′(x)>0.

又由f(x)為偶函數(shù)．

則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減，

則在區(qū)間(?∞,0)上f′(x)<0.

由f(?1)=f(1)=0可得

在區(qū)間(?∞,?1)上f′(x)<0，f(x)>0.

在區(qū)間(?1,0)上f′(x)<0，f(x)<0.

在區(qū)間(0,1)上f′(x)>0，f(x)<0.

在區(qū)間(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)>0.

故不等式f(x)f′(x)>0的解集為(?1,0)∪(1,+∞)

故選B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性及單調(diào)性，由f(x)為偶函數(shù)，我們可以根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)--偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，判斷出函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的情況，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義，不難求出等式f(x)f′(x)>0的解集．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))，反之，f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))，則f′(x)>0(或f′(x)<0).7.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(n,p)，E(X)=30，D(X)=10，

則np=30np(1?p)=10，解得：p=23，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)镈(3?X)=D(X)=2，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)閄～B(n,12)，則E(X)=12n，

所以E(2X+1)=2E(X)+1=n+1=9，所以n=8，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)閄～B(6,12)8.【答案】C

【解析】解：∵b=1e=lnee，c=2+ln22e2=ln2e22e2，

構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx(x>0)，

則f′(x)=1?lnx9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于A，二項(xiàng)式(7?x)7展開式共有7+1=8項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128，故B正確；

對(duì)于C，展開式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C76=C71=7，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，令x=1可得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查概率的求解，以及互斥事件、相互獨(dú)立時(shí)間的概念，屬于中檔題．

對(duì)于A，結(jié)合互斥事件的定義，即可求解，對(duì)于B，結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義，即可求解，對(duì)于C，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，互斥事件和事件的概率公式，即可求解，對(duì)于D，結(jié)合條件概率公式，即可求解．【解答】

解：對(duì)于A，事件F和G能同時(shí)發(fā)生，事件F和G不是互斥事件，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，事件E發(fā)生與否與事件G有關(guān)，故B正確，

對(duì)于C，P(G)=C31C51×C31C61+11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A：y=g(x)f(x)=lnxex，y′=exx?exlnxe2x=1x?lnxex，

令?(x)=1x?lnx,(x>0)，

則?′(x)=?1x2?1x<0，

所以?(x)單調(diào)遞減，

注意到y(tǒng)′與?(x)同號(hào)，且?(1)=1>0,?(2)=12?ln2=lne2<ln1=0，

所以存在x0∈(1,2)，使得?(x0)=0，

當(dāng)0<x<x0時(shí)，?(x)>0，即y′>0，y關(guān)于x單調(diào)遞增，

當(dāng)x>x0時(shí)，?(x)<0，即y′<0，y關(guān)于x單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=g(x)f(x)有極大值，且極大值點(diǎn)x0∈(1,2)，故A正確；

對(duì)于B：e>2=log24>log23=ln3ln2?eln2>ln3，故B正確；

對(duì)于C：我們有y=f(x)?g(x)=ex?lnx≥ex?x+1>e0?0+1=2，

我們首先來(lái)看從左到右第一個(gè)不等式，只需證明φ(x)=lnx?x+1≤0，(x>0)即可，

φ′(x)=1x?1=1?xx，

當(dāng)0<x<1時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減，

所以φ(x)≤φ(1)=0，

從而說(shuō)明了從左到右第一個(gè)不等式成立，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1，12.【答案】?80

【解析】解：由題意可得：(2+x)(x?2)5=2(x?2)5+x?(x?2)5，

故其展開式中含x2的項(xiàng)為：2×C53?x2?(?2)3+x?13.【答案】72

【解析】解：如圖所示，依順序，A區(qū)域可種4種顏色，B區(qū)域可種3種顏色，C區(qū)域可種2種顏色，

①D區(qū)域若與B區(qū)域同色，則E有兩種顏色可選；

②D區(qū)域若不與B區(qū)域同色，則只有1種顏色可選，E也只有1種顏色可選，

故有4×3×2×(2+1)=72種方案．

故答案為：72.

由分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類討論即可．

本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．14.【答案】[2,+∞)

【解析】解：函數(shù)f(x)=lnx+2x2?ax存在與直線2x?y=0平行的切線，

即f′(x)=2在(0,+∞)上有解，

而f′(x)=1x+4x?a，

即1x+4x?a=2在(0,+∞)上有解，

得?a=2?4x?1x在(0,+∞)上有解，

∵?4x?1x=?(4x+1x)≤?24x?1x=?4，當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)“=”成立．15.【答案】(1)解：數(shù)列{an}中，a1=2，{Snn}是公差為1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為S1=2，

所以Snn=2+(n?1)=n+1，Sn=n(n+1)=n2+n，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=(n2【解析】(1)根據(jù){Snn}是等差數(shù)列求出Snn，得出Sn，再利用n≥2時(shí)an16.【答案】解：(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的頻率為0.08×5+0.04×5=0.6，

按等級(jí)用分層抽樣的方法抽取10件，

則抽取一級(jí)品為10×0.6=6(件)，

記“抽取的5件中至少有3件一級(jí)品”為事件A，則P(A)=C63C42+C64C41+C65C105=3142；

(2)①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為710，二級(jí)品的概率為14，三級(jí)品的概率為120，

由題意，X～B(4,14),XX01234P81272731所以E(X)=4×14=1；

①由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)率的平均值：

E1=35×2a+25×3a2=65a2+【解析】(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為0.6，根據(jù)分層抽樣，計(jì)算10件減排器中一級(jí)品的個(gè)數(shù)，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少3件一級(jí)品的概率；

(2)①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為710，二級(jí)品的概率為14，三級(jí)品的概率為120，若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取4件，則二級(jí)品數(shù)所有可能的取值為0，1，2，3，4，且X～B(4,1417.【答案】解：(1)因?yàn)椤鰽A1C是等腰直角三角形，AA1=CA1，O為AC中點(diǎn)，所以A1O⊥AC，

又側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，側(cè)面AA1C1C∩底面ABC=AC，A1O?側(cè)面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC；

(2)因?yàn)椤鰽BC為正三角形，O為AC中點(diǎn)，所以O(shè)B⊥OC，

由(1)知，A1O⊥平面ABC，OB，OC?平面ABC，所以A1O⊥OC，A1O⊥OB，

如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(3,1,1),C1(0,2,1)，

由(1)知，A1O⊥面ABC，所以平面ABC的一個(gè)法向量為OA1=(0,0,1)，

設(shè)面BCC1B1的一個(gè)法向量n1=(x1,y1,z1)，BB1=(0,1,1)，BC=(?3,1,0)，

所以n1?BC=?3x1+y1=0n1?BB1=y1+z1=0，不妨設(shè)x1=1，則【解析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到A1O⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)得證；

(2)首先可得OB⊥OC，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCC1B1的法向量，利用向量法求出夾角的余弦值，再求出其正弦值即可；

(3)設(shè)Q(x0,y0