數學八年級下《二次根式》復習教學案

二次根式復習課

【知識點匯總】

知識點一：二次根式的概念

形如短（。“）的式子叫做二次根式。

注:在二次根式中，被開放數可以就是數,也可以就是單項式、多項式、分式等代數式，但必

須注意：因為負數沒有平方根,所以“就是所為二次根式的前提條件,如

石，4r石，等就是二次根式,而右，等都不就是二次根式。

知識點二:取值范圍

1、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a叁0時，正有意義,就是二

次根式,所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。

2、二次根式無意義的條件:因負數沒有算術平方根,所以當a<0時，而沒有意義。

知識點三:二次根式、以（a之0）的非負性

石（aN0）表示a的算術平方根,也就就是說，石（a20）就是一個非負數,即石之

0（aN0）。

注:因為二次根式及（&之0）表示a的算術平方根,而正數的算術平方根就是正數,0的算

術平方根就是0,所以非負數（”20）的算術平方根就是非負數,即4之0（。20）,這個性

質也就就是非負數的算術平方根的性質，與絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時

應用較多，如若石+石=0,則a=O,b=O;若&+N=°,則a=0,b=0;若石+川=0,則

a=0,b=0o

知識點四:二次根式（'石）2的性質

（而）2=a（￡2>0）

文字語言敘述為:一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。

注:二次根式的性質公式（GP=a

:（a20）就是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公

'=（向2,如：2=（0）2,5=（R）：

式也可以反過來應用：若aNO,則，

知識點五:二次根式的性質

=川=<

-a(Y0)

文字語言敘述為:一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。

注:

化簡正時,一定要弄明白被開方數的底數a就是正數還就是負數,若就是正數或0,則

1、

等于a本身，即"=E=2°）；若a就是負數,則等于a的相反數-a,即

4^=IM=.

2、正中的a的取值范圍可以就是任意實數,即不論a取何值，廂一定有意義;

3、化簡痂時，先將它化成再根據絕對值的意義來進行化簡。

知識點六：（而?與萬的異同點

1、不同點：（向2與在'表示的意義就是不同的，（疝2表示一個正數a的算術平方根的

平方，而也1表示一個實數a的平方的算術平方根;在（而2中。20,而歷中a可以

就是正實數,0,負實數。但（疝?與值都就是非負數,即（而）?。，"之。。因而

廠2"川=「空）

它的運算的結果就是有差別的，（心）=a（°*°），而〔一。（&<0）

2、相同點：當被開方數都就是非負數，即時，（&）?="；a<0時，（而產無意義，

而志7=一&、

【歷年考點例析】

考點1、無理數

知識回顧：

無限不循環(huán)的小數，叫做無理數。

知識特點：

常見的無理數：

1、n以及滅的有理數倍數。

2、叵、M、75；

3、2.001

考查題型

例1、寫出一個有理數與一個無理數,使它們都就是小于一1的數。（08

年自貢市）

分析：-1的絕對值就是1,所以，小于一1的數的絕對值一定要大于1,只要符合這一點,就可

以了，所以,本題的答案不就是唯一的。

解:小于T的有理數-4、-5等等，小于一1的無理數-五、-JL-6等等。

例2、從實數一JL一Lo,”，4中，挑選出的兩個數都就是無理數的為（）

3

A、--,0B、”，4C、-72,4D、-JLn（08年湖北省宜昌市）

3

分析:根據常見的無理數,可以發(fā)現只有與n就是無理數,因此,選項D就是正確的。

解:選D。

例3、如圖1所示,A,B,C,D四張卡片上分別寫有-2,6,之，兀四個實數，從中任取兩張卡

7

片.

ABCD

⑴請列舉出所有可能的結果

（2）求取到的兩個數都就是無

分析:用列表的方式,把所有的結果找出來,雅辨無理數的定義，作出判斷。

解：

（1）仔細觀察上面的四個數,不難發(fā)現B、D就是無理數,A與C就是有理數，結果列表如下:

2仔細觀察上表,一共有12種可\能性，期中都

就是無理數的可能性有2種，ABCD

A\

因此,兩個數都就是無理數的概ABACAD率

、「21\

為：一=-?BEABCBD

126

\

CCACBCD

考點2、平方根

DDC

知識回顧：DADB

一般地，如果一個數x的平方等于a,即

x2=a,那么這個數x叫做a的平方根。記作土孔。讀作“正負根號a”

知識特點:

1、被開方數a,滿足的關系式就是:a'O;

2、平方根x與被開方數a,滿足的關系式就是:x=±&;

3、被開方數a與平方根x,滿足的關系式就是:a=x2=（±Va）2=4a2=（-五產；

4、兩個平方根之間滿足的關系式就是：右+（-JZ）=0,即兩個平方根互為相反數,所以,她

們的與為0、

如下說法都就是正確的：

①a的平方根就是土瓜;

②就是a的平方根；

③就是a的平方根；

@±JZ就是a的平方根;其中a就是非負數。

此外,0的平方根就是0這個特例要記清楚。

考查題型

例4、2的平方根就是（）

A.4B.V2C.-V2D.±>/2（08年南京市）

分析:根據平方根的特點，正數有兩個平方根，且常用“土”來體現“兩個”。

解:選D。

例5、9的算術平方根就是

A、±3B、3C、-3D、6（08恩施自治州）

分析:算術平方根就是平方根中的正數根,只有一個,所以,選項A、C都就是不正確的；

因為,3?=9,所以,9的算數平方根就是3。

解:選B、

例6、化簡：、/?=（）

A.2B.-2C.4D.-4（08年甘肅省白銀市）

分析:理解的意義就是解題的關鍵。V4的意義實際上就就是求正數4的算術平方根,

所以,應該只有一個,為正數,并且這個數的平方應該等于4,這樣只有選項A符合要求。

解:選A。

化簡J（T）2=o（08年安徽?。?/p>

分析:因為，（-4產=16,卜丫的意義就是求正數16的算數平方根,因為，

4=16,所以,，（對=4、

考點3、二次根式

知識回顧：

形如JZ（a20）的式子,叫做二次根式。

知識特點：

1、被開放數a就是一個非負數；

2、二次根式JZ就是一個非負數，即

3、有限個二次根式的與等于0,則每個二次根式的被開方數必須就是0、

考查題型

例7、若式子在實數范圍內有意義,則x的取值范圍就是

A、x>-5B、K-5C、xW-5D,x2-5（08常州市）

分析:在這里二次根式的被開方數就是x+5,要想使式子J不在實數范圍內有意義，

必須滿足條件:x+520,所以,x2-5,因此,選項D就是正確的。

解:選D。

例8、若,一2|+病。=0,則。=.（08年遵義市）

分析：

因為，Ia-21與7^3都就是非負數,并且它們的與就是0,

所以，|a-21=0且Jb-3=0,所以,a=2,b=3,

所以，a?-b=4-3=l、

例9、若實數x,〉，滿足而5+（y—6）2=0,則xy的值就是.（08年寧波市）

分析：

因為，V^+2與（丁一方）2都就是非負數,并且它們的與就是0,

所以，Jx+2=0且（y-=0,所以，x--2,y--x/3,

所以,xy=-2g、

考點4、二次根式的化簡與計算

知識回顧：

二次根式的化簡，實際上就就是把二次根式化成最簡二次根式,然后,通過合并同類二

次根式的方法進行二次根式的加減運算。

知識特點：

二次根式的加減運算:aJ嬴+bVm-(a+b)4m,(m2。);

二次根式的乘法運算：&、(a^O,b20);

二次根式的除法運算：&+赤=*=乂巫，(a，0,b>0);

4bb

二次根式的乘方運算：(、萬尸=%(a20);

二次根式的開方運算：必='"'""°

—a,a<0

考查題型

例10、下列計算正確的就是()

A.2G+4夜=6石B.我=4夜

C.a十百=3D.J(-3)2=-3(08年聊城市)

分析:這就就是二次根式化簡的綜合題目，2內與4的被開方數不相同,所以,它們不就

是同類二次根式,所以,不能進行合并計算,所以,A就是錯誤的；

因為，次=JM=萬瓦=2及，所以,B也就是錯誤的；

因為，①小百=同百=內=3,所以,C就是正確的；

根據二次根式的開方公式,得到D就是錯誤的。

解:選C。

例11、若》=&一=&+窈，則xy的值為()

A.14aB.14bC.a+hD.a—8(08年大連市)

分析:xy=(&-6)(0+/)=(八)2-(6)2=2-1:),所以,口就是正確的。

解:選D。

考點5、最簡二次根式

知識回顧：

滿足下列條件的二次根式,叫做最簡二次根式：

(1)被開方數的因數就是整數,因式就是整式；

(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

知識特點：

1、最簡二次根式中一定不含有分母；

2、對于數或者代數式,它們不能在寫成anXm的形式。

考查題型

例12、下列根式中屬最簡二次根式的就是（）

D、V27（08年湖北省荊州市）

分析:

因為B中含有分母,所以B不就是最簡二次根式;

而8=22X2,27=3?X3,所以,選項C、D都不就是最簡二次根式。

所以，只有選項A就是正確的。

解:選A。

考點6、估算

例13、估計后xJ+J藥的運算結果應在（）.

（08年蕪湖市）

分析：住x￡+而=而+病=4+2后

因為,4V5<9,所以，“伍Y石Y的,所以,2V石<3,

所以,4<2石<6,

所以,4+4<275+4<6+4,所以,8V2石+4V10,也就就是在8到9之間、

解:選擇C

【考試題型歸納】

一、基本概念型

例1、二次根式""中，字母的取值范圍就是（）

A、a<1B、a<1C、a>1D^a>1

析解:形如后（aNO）的式子叫二次根式,其中被開方數a的取值范圍就是a20。則二

次根式向T中,a-1*0,即“21,故選C。

說明:注意二次根式中被開方數就是非負數這個隱含條件就是解題關鍵。

例2、在下列根式4石、亞下、瓜瓜中，最簡二次根式有()

A、4個B、3個C、2個D、1個

析解:最簡二次根式的概念就是⑴被開方式的因數就是整數，因式就是整式;(2)被開方

數中不含能開得盡方的因數或因式。而屈=a岳、府=20。所以最簡二次根式

有46、北兩個，故選C。

例3、下列根式中，與逐就是同類二次根式的就是()

A、V24B,V12C、gD>V18

析解:幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同

類二次根式。而例=2而、V12=2V3,P=逅、9=3四,所以與0就是同類二

V22

次根式的就是位，故選B。

二、性質運用型

例4、已知x<2,則化簡>/偶—4x+4的結果就是()

A、x-2B、x+2C、~x—2D、2—x

析解：&_4X+4=J(X-2)2=|X-2|,因為x<2,x-2<0,所以

4x2-4x+4-2-xo故選D

例5、化簡力4x?一八+1一(J2x—3尸得()。

A、2B、-4x+4C、-2D、4x-4

析解:因為2X-3Z0,XN|,(J2X-3)2=2X-3,

所以2x—l>0,74X2-4X+1=|2X-1|=2x-1

故J4-—4x+l-(J2X-3)2=2x-l-(2x-3)=2,故選A。

說明：以上二例主要應用二次根式的性質:(1)必=囪=["""°1。

[-a(a<0)

(2)(右)2=a(a>0).正確應用二次根式的性質就是解決本題的關鍵。

三、結論開放型

例6、先將+化簡,然后自選一個合適的x值,代入化簡后的式子求

值。

析解:這就是一道結論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮與創(chuàng)造空間。但要注意x的取值

范圍就是2o

原式二丕21Jx-2

xVx2-2x

x—2.yjx2-2xx-2

=———xy/xxy/x-2=4x

尤一2

?/x>2,.?.取x=4，原式=2。

四、大小比較型

J22-1-Js2-1V42-1J52-1

例7、用計算器計算”-—~5■，…，根據您發(fā)現的規(guī)律，判斷

2-13-14-15-1

「=近三與。=也亞二l,（n為大于1的整數）的值的大小關系為（）

n-1（n+1）-1

A、P<QB、P=QC、P>QD、與n的取值有關

,2j_l>里二J52=1,從而可以推斷

析解：利用計算器計算得:

2-13-14-15-1

八需^。二牛常做選,。

例8、設。=遙-0\人=2-J5,c=6一2,則a,b,c的大小關系就是()

A^a>b>ca>c>bC、c>b>a

D、b>c>a

析解:'=J「=l廠+血，同理'=2+&J=6+2。因

aV3-V2(V3-V2)(V3+V2)bc

為石+2>2+后>追+夜>0,所以」>L>L>0,c<b<a。故選A。

cba

五、判斷正誤型

例9、化簡廠時，甲的解法就是：二3（省+/）,二6+1,

V5-V2V5-V2（V5-V2）（V5+V2）

乙的解法就是:七=三”

=V5+VI,以下判斷正確的就是（)

A、甲的解法正確，乙的解法不正確

B、甲的解法不正確,乙的解法正確

C、甲、乙的解法都正確

D、甲、乙的解法都不正確

析解：甲就是將分子與分母同乘以石+血進行分母有理化，乙就是利用

3=(V5+V2)(V5-V2)進行約分，所以二人都就是正確的，故選Co

例10、對于題目“化簡并求值:/-2,其中a=L',甲、乙兩人的解答不

aVa5

誰的解答就是錯誤的？為什么？

析解:乙的解答就是錯誤的。

因為當時，-=5,a--<0,所以、■上^^a--，而應當就是

5aa\aa

J(a-,)2=~a~a°

六、規(guī)律探索型

例11、細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題。

2

(V2)+l=3,52=y-;

(V3)2+1=4,5,=^-;

(1)請用含有n(n就是正整數)的等式表示上述變化規(guī)律。

(2)推算出。A1。的長。

(3)求出S：+S]+S：+…+Sfa的值。

析解:⑴通過類比,可推知(MY+1=〃+1,5“=?

(2)■/OAy=VT,OA0=V2,OA3=5/3,OAW=VToo

(3閭+S以+S；+…+S3

,&、2卓、2,6、2，加、2

=(—)+(—)+(—)+…+(^~)

2222

=-(1+2+3+-+10)=—

44

七、計算說理型

例12、有這樣一道題，計算：*+q〈+*一叫三±-52*>2）的值，其中

X-y/x2-4x+yjx2-4

x=1005,某同學把“x=1005”錯抄成“x=1050”，但她的計算結果就是正確的。請回

答這就是怎么回事？試說明理由。

析解:這就是一道說理型試題，既然x的值取錯，計算結果仍就是正確。那么可以猜測此

二次根式化簡后與x的值無關。這時應從二次根式的化簡入手,揭開它神秘的面紗。

/+■?-4+2x77^+-"2x4三”

八、數形結合型

例13、如圖1,正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,則網格上的三角形ABC中，邊

長為無理數的邊數有（）

A、0個B、1個C、2個D、3個

B

圖1

析解:由題意知BC=$2。+3?=V13,AC=+42=5,AB=J52+1?=J而。所以

邊長為無理數的邊數就是2個，故選C?

例14、“數軸上的點并不都表示有理數，如圖2中數軸上的點P所表示的數就是0”,

這種說明問題的方式體現的數學思想方法叫做()

A、代入法B、換元法C、數形結合D、分類討論

析解:本題“形”“數”結合，所反映的正就是數學中的一種思想方法“數形結合”故選

Co

九、閱讀理解型

例15、我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，

即已知三角形的三邊長,求它的面積。用現代式子表示即為：

S二心12；$2]……①(其中a、b、c為三角形的三邊長,s為面積)。

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=力風p-a)(p-b)(p-c)...②(其中p="+；+')

(1)若已知三角形的三邊長分別為5、7、8,試分別運用公式①與公式②，計算該三角形的

面積s;

(2)您能否由公式①推導出公式②？請試試。

析解：(1)s=&52X72—(F+7；—82)2]

V42

=1752(72-12)

=-748=1073

2

又p=g(5+7+8)=10,

.-.5=^10(10-5)(10-7)(10-8)=710x5x3x2=1073

(2)9/2_(。2+；2-。2)2]

42

=-(ah+a2+Z?2

42

=4上2—3一份2].[(。+切2-￡2]

Io

=-(C4-6T-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)

16

=^-(2p-2a)(2p-2b)-2p-(2p-2c)

lo

=p(p-<2)(p-b)(p-c)

1?廬-("+：~—)*2]=ylp(p-a)(p-b)(p-c)

【解題策略】

一、二次根式的定義

例1函數y=-72X-1的自變量X的取值范圍就是()

A.xN—B.x<—C.x工一D.x4—

2222

解題策略:根據二次根式的定義,被開方數必須就是非負數。答案為Ao

例2函數y=-^=-匕上的自變量x的取值范圍就是()

Jx-2x—3

A.2<x<5B.2<x<5

C.2<x<5且x。3D.2<x<5且x主3

解題策略:根據二次根式的定義，被開方數必須就是非負數，還應特別注意分式的分母

不能為零。答案為：C。

二、二次根式的性質

例3若y?+4y+4+Jx+y-l=0,則xy的值等于()

A、-6B、-2C、2D、6

解題策略：緊扣二次根式布(a20)就是一個非負數的性質，可以得到："+2)=°,

x+y-l=0

故x=3,y=—2。答案為:A

例4如果J(X-2)2=x-2,那么X的取值范圍就是()

A.x<2B.x<2c.x>2D.x>2

解題策略:運用二次根式布(aNO)就是一個非負數的性質知，x-2>0?答案為C。

例5若b<0,化簡Cab7的結果就是()

A.—bVabB.bj-abC.—bj-abD.bVab

解題策略:緊緊抓住二次根式被開方數必須就是非負數，由二次根式的性質

[a(a>0)

Va2=|a|=?知

-a(a<0)

V-ab3=J-abb=-bVab

答案為:C

三、最簡二次根式

例6把二次根式xR(y>0)化成最簡二次根式為。

例7下列各式中屬于最簡二次根式的就是()

A.&+1B.Jx2y$C.712D.705

解題策略：最簡二次根式必須滿足下列兩個條件：(1)被開方數的因數就是整數，因式

就是整式；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

例6的答案為：而，例1的答案為:A。

四、同類二次根式

例8在下列二次根式中與、歷就是同類二次根式的就是()

A.V8B.V10C.V12D.V27

例9在下列各組根式中，就是同類二次根式的就是()

A.V3^V18B.6和

C.和Tab7D.GTI和Va^T

解題策略：緊扣定義:化成最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次

根式。例8的答案為A,例9的答案為Bo