高考數學（理）一輪復習課時達標第二章函數導數及其應用10函數的圖象

課時達標第10講[解密考綱]數形結合是數學中的重要思想方法．利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質的應用問題，解決函數的零點、方程的解的問題，解決求解不等式的問題等．一、選擇題1．函數y＝eq\f(2x,lnx)的圖象大致為(D)解析由題意知x≠1，∵0<x<1時，2x>0，lnx<0.∴y<0，圖象在x軸下方，排除B項，C項；當x>1時，2x>0，lnx>0，∴y>0，圖象在x軸上方，當x→＋∞時，y＝eq\f(2x,lnx)→＋∞，故選D．2．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的圖象如圖所示，則f(－3)＝(C)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(5,4)C．－1 D．－2解析由圖象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,lnx＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故選C．3．設函數f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的圖象關于直線x＝1對稱，則a＝(A)A．3 B．2C．1 D．－1解析∵函數f(x)圖象關于直線x＝1對稱，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除D項，C項，又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知選A．4．(2018·四川成都模擬)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)為奇函數，所以不等式eq\f(fx－f－x,x)<0化為eq\f(fx,x)<0，即xf(x)<0，則f(x)的大致圖象如圖所示，所以xf(x)<0的解集為(－1,0)∪(0,1)．5．(2018·河南統(tǒng)考)若函數y＝f(2x＋1)是偶函數，則函數y＝f(2x)的圖象的對稱軸方程是(C)A．x＝－1 B．x＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2) D．x＝1解析∵f(2x＋1)是偶函數，其圖象關于y軸對稱，而f(2x＋1)＝feq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))))，∴f(2x)的圖象可由f(2x＋1)的圖象向右平移eq\f(1,2)個單位得到，即f(2x)的圖象的對稱軸方程是x＝eq\f(1,2).6．(2018·廣東名校模擬)已知函數f(x)＝4－x2，函數g(x)(x∈R且x≠0)是奇函數，當x>0時，g(x)＝log2x，則函數f(x)·g(x)的大致圖象為(D)解析易證函數f(x)＝4－x2為偶函數，又g(x)是奇函數，所以函數f(x)·g(x)為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A項、B項．當x>0時，f(x)·g(x)＝(4－x2)log2x有兩個零點1,2，且0<x<1時，f(x)·g(x)<0，因此排除C項，故選D．二、填空題7．若函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是__[－1,0)__.解析首先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|的圖象(如圖所示)，欲使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的圖象與x軸有交點，則－1≤m<0.8．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0))且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數a的取值范圍是__(0,1]__.解析當x≤0時，0<2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即f(x)＝a有兩個交點，所以由圖象可知0<a≤1．9．定義在R上的函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0))關于x的方程f(x)＝c(c為常數)恰有三個不同的實數根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝__0__.解析函數f(x)的圖象如圖，方程f(x)＝c有三個根，即y＝f(x)與y＝c的圖象有三個交點，易知c＝1，且一根為0，由lg|x|＝1知另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.三、解答題10．已知函數f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求實數m的值；(2)作出函數f(x)的圖象；(3)根據圖象指出f(x)的單調遞減區(qū)間；(4)若方程f(x)＝a只有一個實數根，求a的取值范圍．解析(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)f(x)＝x|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x<4.))f(x)的圖象如圖所示：(3)由圖象知f(x)的減區(qū)間是[2,4]．(4)由f(x)的圖象可知，當a>4或a<0時，f(x)的圖象與直線y＝a只有一個交點，方程f(x)＝a只有一個實數根，即a的取值范圍是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函數f(x)的圖象與函數h(x)＝x＋eq\f(1,x)＋2的圖象關于點A(0,1)對稱．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋eq\f(a,x)，且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數，求實數a的取值范圍．解析(1)設f(x)圖象上任一點P(x，y)，則點P關于點(0,1)的對稱點P′(－x,2－y)在h(x)的圖象上，即2－y＝－x－eq\f(1,x)＋2，∴y＝f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋eq\f(a,x)＝x＋eq\f(a＋1,x)，g′(x)＝1－eq\f(a＋1,x2).∵g(x)在(0,2]上為減函數，∴1－eq\f(a＋1,x2)≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范圍是[3，＋∞)．12．已知函數f(x)＝2x，x∈R.(1)當m取何值時方程|f(x)－2|＝m有一個解？兩個解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范圍．解析(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，畫出F(x)的圖象如圖所示：由圖象看出，當m＝0或m≥2時，函數F(x)與G(x)的圖象只有一個交點，原方程有一個解；當0<m<2時，函數F(x)與G(x)的圖象有兩個交點，原方程有兩個解．(2)令2x＝t(t>