廣西崇左市大新縣民族高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末 數(shù)學(xué)試題【含答案】

崇左市大新縣民族高中2024年春季學(xué)期期末試題高一數(shù)學(xué)命題范圍：必修二第六、七、八、九章（截止第九章9.2.4）（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的備選答案中，只有一個(gè)是符合題意的.1．已知向量表示“向東航行”，向量表示“向南航行”，則表示（

）A．向東南航行 B．向東南航行C．向東北航行 D．向東北航行2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．3．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4．復(fù)數(shù)與（其中，為虛數(shù)單位）的積是實(shí)數(shù)的充要條件是（

）A． B． C． D．5．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則A． B．C． D．6．平面與平面平行的條件可以是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與平行B．直線，直線，且//，//C．內(nèi)的任何直線都與平行D．直線//，//，且直線不在內(nèi)，也不在內(nèi)7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則四面體ABCD外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式，例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（

）A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的備選答案中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取了10名運(yùn)動(dòng)員的年齡進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.下列說(shuō)法中正確的有（

）A．1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡是總體 B．所抽取的10名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本C．樣本容量為10 D．每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會(huì)相等10．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為 B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D．三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小11．設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（

）A．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分.12．設(shè)k為實(shí)數(shù)，若向量，且，則k的值為．13．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.14．正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的倍，則其表面積擴(kuò)大到原來(lái)的倍，體積擴(kuò)大到原來(lái)的倍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或證明過(guò)程.15．已知邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，求邊上的中線向量的模.16．如圖，空間四邊形的每條邊和，的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).求證：，.17．從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間.進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中的值；(2)求在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù).18．已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.(1)求；(2)若，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，求.19．如圖，點(diǎn)是正方體的上底面的中心，過(guò)，，A三點(diǎn)作一個(gè)截面．求證：此截面與對(duì)角線的交點(diǎn)P一定在上．

1．B【分析】如圖，設(shè)，，以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形法則可知，根據(jù)，可得平行四邊形是正方形，從而得到答案．【詳解】如圖，設(shè)，，則，，以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形法則可知．∵，，∴平行四邊形是正方形，∴方向?yàn)闁|南方向．∵，∴．故選：B．2．B【分析】先將復(fù)數(shù)的分母化成實(shí)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】而的共軛復(fù)數(shù)是故選：B.3．A【分析】根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則判斷即可.【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.故選：A4．D【分析】計(jì)算，得到即得解.【詳解】解：是實(shí)數(shù)，所以.反過(guò)來(lái)，也成立.所以充要條件是.故選：D5．A【詳解】得，故選A．或．6．C【分析】根據(jù)面面平行的判定來(lái)判斷即可.【詳解】C選項(xiàng)是面面平行的定義，A，B，D中，平面與平面相交時(shí)都有可能滿足.故選：C.7．A【分析】首先由四點(diǎn)的坐標(biāo)，確定幾何體的關(guān)系，利用補(bǔ)體法，求四面體外接球的半徑，即可求球的表面積.【詳解】根據(jù)已知4個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得，平面，，所以四面體ABCD可以補(bǔ)成長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，2的長(zhǎng)方體，所以四面體ABCD外接球的半徑，所以四面體ABCD外接球的表面積為．

故選：A8．B【分析】令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，寫(xiě)出三棱柱、長(zhǎng)方體和三棱柱的體積列式求解即可.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)樗膫€(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，所以，所以，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.9．ACD【分析】根據(jù)抽樣方法，利用總體、樣本、樣本容量的定義逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡是總體，故A正確；對(duì)于B，所抽取的10名運(yùn)動(dòng)員的年齡是一個(gè)樣本，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，樣本容量為10，故C正確；對(duì)于D，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會(huì)相等，故D正確.故選：ACD.10．ABC【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計(jì)算可得；【詳解】解：依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以AC選項(xiàng)正確．圓錐的側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：ABC11．AC【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A；利用特殊值法可判斷B；利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷C；解方程可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則，其虛部為2，故A正確；對(duì)于B，取，此時(shí)，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故，故C正確；對(duì)于D，若，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【分析】解方程即得解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：13．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，，，則線段的中點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故答案為：14．【分析】設(shè)原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)為1，然后求出正方體的表面積和體積，再求出擴(kuò)大后有表面積和體積，比較可得答案.【詳解】解：由題意，設(shè)原來(lái)正方體的棱長(zhǎng)為1，其表面積為，體積為，則棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的倍后，正方體的棱長(zhǎng)為，則其表面積為，體積為，即表面積擴(kuò)大到原來(lái)的倍，體積擴(kuò)大到原來(lái)的倍.故答案為：，15．##【詳解】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，求得邊上的中線長(zhǎng)，即可求解.【解答】如圖所示，因?yàn)槭钦切?，所以邊上的中線向量的模就是三角形的高，即：，所以邊上的中線向量的模為.16．證明見(jiàn)解析【分析】連接，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可證得，則由線面垂直的判定可證得平面，從而可證得，同理可證得.【詳解】證明：如圖，連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證.17．(1)(2)70【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程可求出的值；（2）用100乘以的頻率即可【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）由頻率分布直方圖，可得用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則可得，，，，從而可求出，進(jìn)而可求出；（2）先求出，，然后可求出，的坐標(biāo)，從而可求出，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，的虛部?，所以，得，因?yàn)樵趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，，所以解得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋?/p>