四川省成都市蓉城高中教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年度下期高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，且，則的值為（

）A． B．3 C．12 D．2．下列說法正確的是（

）A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．平行于同一平面的兩個平面平行C．過平面外一點只有一條直線與這個平面平行D．直角三角形繞邊旋轉(zhuǎn)一周一定形成一個圓錐3．在中，已知，記，則（

）A．3 B．2 C．1 D．44．定義：，在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則滿足的一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童中，，平面與平面之間的距離為3，則此“芻童”的體積為（

）A．36 B．46 C．56 D．666．在邊長為1的正中，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．7．某正方體的平面展開圖如圖所示，如果將它還原為正方體，那么在該正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．線段與所在的直線異面B．線段與所在的直線平行C．線段與所在的直線所成的角為D．線段與所在的直線相交8．已知向量，記.如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則C．D．若，則或10．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再將的圖象向右移個單位長度得到的圖象.已知的圖象過點，則的值可以為（

）A． B． C．2 D．411．2020年11月28日8時30分許，隨著一陣汽笛聲響，創(chuàng)造了10909米中國載人深潛新紀(jì)錄的“奮斗者”號完成第二階段海試，順利返航.相比于現(xiàn)在先進的載人潛水器制造技術(shù)，在人類探秘深海初期，初一代的潛水器只是由鋼纜和電話線連接的簡易鋼鐵球殼.小李同學(xué)對潛水器很感興趣，他利用假期制作了一個簡易的“初一代”潛水器模型.他的模型外殼使用了面積為的金屬材料，并在內(nèi)部用12根等長的鋼筋搭建了一個正方體支架.為了研究外殼各個點位與支架之間的受力情況，如圖，作出支架的直觀圖正方體，設(shè)為外殼上的一個動點，則（

）

A．存在無數(shù)個點，使得平面B．當(dāng)平面平面時，點的軌跡長度為C．當(dāng)平面時，點的軌跡長度為D．存在無數(shù)個點，使得平面平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知是夾角為的兩個單位向量，則向量在向量上的投影向量為.13．坐落于四川省資陽市安岳縣的秦九韶紀(jì)念館是四川省第五批省級愛國主義教育基地之一.南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在湖州為母親守孝三年時，把長期積累的數(shù)學(xué)知識和研究所得加以編輯，寫成了聞名的巨著《數(shù)書九章》，它是中國樸素理學(xué)思想運用于生活實際的偉大數(shù)學(xué)成果.書中提出了三斜求積術(shù)，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式，可以看出我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平.設(shè)分別為內(nèi)角的對邊，表示的面積，其公式為.若已知，且，則的周長為.14．在空間內(nèi)，若，則直線與平面所成角的余弦值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，.(1)求角；(2)若，求的面積.16．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中點，是棱上的動點.

(1)求證：平面；(2)求證：.17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，的面積為.(1)求的值；(2)求的值.18．如圖，在四棱錐中，為棱的中點，底面為平行四邊形，平面，直線與底面所成的角為.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．已知函數(shù)僅滿足下列四個條件中的三個：①最小正周期為；②最大值為2；③；④.(1)請找出函數(shù)滿足的三個條件，并說明理由和求出函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在處取得最大值，求實數(shù)的值及的值域；(3)若函數(shù)在上的最大值比最小值大1，求實數(shù)的值.1．B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】由，則，得.故選：B2．B【分析】根據(jù)線線，線面，和面面的位置關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】A.垂直于同一條直線的兩直線平行，相交，或異面，故A錯誤；B.平行于同一平面的兩個平面平行，故B正確；C.過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行，故C錯誤；D.直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，形成上下兩個圓錐，兩個圓錐的底面重合，故D錯誤.故選：B3．C【分析】根據(jù)向量減法運算，再求模.【詳解】.故選：C4．A【分析】根據(jù)所給定義得到，由正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式得到，即可得解.【詳解】因為，所以，由正弦定理可得，即，又，，所以，所以，即，所以為等腰三角形.故選：A5．C【分析】首先說明幾何體為四棱臺，再代入臺體體積公式，即可求解.【詳解】由，，，，且，則交于同一點，該“芻童”為四棱臺，矩形的面積為,矩形的面積為,且上下底面的高為3，所以四棱臺的體積.故選：C6．A【分析】首先求出，再根據(jù)數(shù)量積的運算求出，，，最后由夾角公式計算可得.【詳解】因為在邊長為1的正中，，，所以，,所以，，，所以，因為，所以．故選：A．7．C【分析】首先還原正方體，再根據(jù)線線的位置關(guān)系，判斷選項.【詳解】由正方體展開圖還原正方體如下圖所示：線段與所在的直線相交，故A錯誤；線段與所在的直線異面，故B錯誤；如圖連接，，由正方體的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以為與所在的直線所成的角，故C正確；如圖連接，則，平面，平面，所以平面，又平面，所以與不相交，故D錯誤.故選：C8．C【分析】根據(jù)直棱柱的性質(zhì)求出相應(yīng)的線段的長度，利用余弦定理求出相應(yīng)的角的正弦值，再由所給定義計算可得.【詳解】對于A：因為直四棱柱的底面為菱形且，所以為等邊三角形，所以，設(shè)，則，且，又且，即，所以，故A正確；對于B：因為，在中，，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為，，，所以，所以，所以，故C錯誤；對于D：因為，，，所以，所以，所以，故D正確.故選：C9．AC【分析】根據(jù)余弦定理判斷A，根據(jù)三角函數(shù)，得到角的關(guān)系，判斷B，根據(jù)余弦定理變形判斷C，根據(jù)兩角和的余弦公式判斷D.【詳解】A.根據(jù)余弦定理，所以，故A正確；B.若，則或，所以或，故B錯誤；C.，故C正確；D.，則，，所以，則角是銳角，則,，，故D錯誤.故選：AC10．CD【分析】首先求函數(shù)得到解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，代入，即可求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律可知，，，函數(shù)的圖象過點，所以，則，所以.所以的值可以為2或4.故選：CD11．ACD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A，根據(jù)平面，判斷點的軌跡，判斷B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷點的軌跡，即可判斷C，若平面平面，確定點的軌跡，即可判斷D.【詳解】該球的表面積，所以，且正方體的棱長，滿足，則，

A.由題意可知，平面平面，且平面，故平面，則點的軌跡為正方形的外接圓，故有無數(shù)個點滿足，故A正確；B.易知平面，且平面平面，平面，故點的軌跡為矩形的外接圓，其周長為，故B錯誤；C.因為平面，設(shè)過且與平面平行的平面為，則的軌跡為與外接球的交線，其半徑為，周長為，故C正確；D.若平面平面，則點在以為軸截面的某個圓柱面上，該圓柱面與球面交線為曲線，故有無數(shù)個點滿足，故D正確.故選：ACD12．.【分析】設(shè)，則，且，取的中點，得到且，結(jié)合向量的投影的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，因為是夾角為60°的兩個單位向量，可得，取的中點，可得，可得，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.13．【分析】由正弦定理可得，令，則，，再由所給面積公式求出，即可得解.【詳解】因為，由正弦定理可得，令，則，，又，即，解得（負(fù)值已舍去），所以.故答案為：14．【分析】首先構(gòu)造線面角，根據(jù)直線在平面的射影為的角平分線，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，過點作平面，垂足為點，點在的平分線上，作，連結(jié)，因為平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)，則，，所以，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）由向量平行坐標(biāo)表示可得，由正弦定理邊化角可得，由此可得；（2）利用向量的數(shù)量積得出，再根據(jù)向量關(guān)系得出線段比例，再結(jié)合三角形面積公式即可求.【詳解】（1）由得：，由正弦定理得：，，，，則，，.（2）因為，所以，.16．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，通過構(gòu)造中位線，即可證明；（2）（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，點分別是的中點，所以，又因為平面，平面，

所以平面；（2）因為平面，且平面，所以，又因為，，平面，所以平面，且平面，所以.17．(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換，以及面積公式求，再根據(jù)余弦定理求；（2）根據(jù)三邊求，再求，再根據(jù)二倍角公式和兩角和的余弦公式，即可求解.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理邊化角，得,即，則，①由，得，由，所以②，由①②得，由余弦定理可知，,所以；（2）由（1）可知，，，所以，則,，，.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意及余弦定理可求出，從而根據(jù)勾股定理逆定理可得，從而可得，又易知，進而可得平面；（2）先根據(jù)線面角求出，再轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點與底面，可得三棱錐的體積為：，再計算即可得解；（3）取中點，則易證平面，從而可得所求角為，再解三角形，即可求解．【詳解】（1）底面為平行四邊形，，，根據(jù)余弦定理，即，解得，，，又，，又平面，平面，，又，平面，平面；（2）平面，平面，所以，直線與底面所成的角為，即，又，，又為的中點，到平面的距離等于到平面的距離的，三棱錐的體積為：；（3）如圖，取中點，連接，又為的中點，且，由（1）知平面，平面，直線與平面所成角為，又平面，，又，，故直線與平面所成角的正弦值為．19．(1)理由見解析，(2)，值域為(3)【分