高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)的教學(xué)案極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)-_第1頁
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...wd......wd......wd...高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案:極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)一、本章知識構(gòu)造:復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)相等的充要條件共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的加法法那么復(fù)數(shù)的減法法那么復(fù)數(shù)的乘法法那么復(fù)數(shù)的除法法那么〔a+bi〕+〔c+di〕=〔a+c〕〔b+d〕i復(fù)數(shù)加法的幾何意義〔a+bi〕-〔c+di〕=〔a-c〕〔b-d〕i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)平面上兩點間的距離d=|z1-z2|〔a+bi〕〔c+di〕=〔ac-bd〕+〔ad+bc〕ieq\f(a+bi,c+di)=eq\f(ac+bd,c2+d2)+eq\f(bc-ab,c2+d2)i二、重點知識回憶〔一〕極限1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法,它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步:證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確;假設(shè)當(dāng)n=k(k∈且k≥)時結(jié)論正確,證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。由〔1〕、〔2〕斷定命題對于從開場的一切正整數(shù)都成立。2、數(shù)列極限的定義設(shè)是一個無窮數(shù)列,A是一個常數(shù),如果對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得只要正整數(shù)n>N,就有|-A|<ε,那么就說數(shù)列以A為極限〔或A是數(shù)列的極限〕,記作=A。3、數(shù)列極限的運算法那么如果=A,=B,那么(1)(±)=±=A±B;(2)(·)=·=A·B〔3〕〔4〕〔c·〕=c·=cA〔c為常數(shù)〕極限運算法那么中的各個極限都應(yīng)存在,都可推廣到任意有限個極限的情況,不能推廣到無限個。在商的運算法那么中,要注意對式子的恒等變形,有些題目分母不能直接求極限。4、特殊數(shù)列的極限〔1〕C=C〔C為常數(shù)〕〔2〕0〔|a|<1〕=1〔a=l不存在〔|a|>1或a=-1〕(3)=0(α>0的常數(shù))(4)〔當(dāng)k=時〕=0〔當(dāng)k<時不存在〔當(dāng)k>時〕說明:欲求極限的式子中,含有項數(shù)與n有關(guān)的“和式〞或“積式〞,應(yīng)先求和或積。5、常見的數(shù)列極限的類型和求法〔1〕“〞型,分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化?!?〕“〞型,分子、分母先求和,再化簡,轉(zhuǎn)化為有極限?!?〕“〞型,將其看作分母為1的分式,轉(zhuǎn)化求極限。6、與和之間的關(guān)系=a==a。如果在點處左、右極限都存在并且等值,那么在點處的極限也存在,并且與左、右極限值一樣;如果在處的左、右極限至少有一個不存在,或者左、右極限都存在但不等值,那么函數(shù)在點處沒有極限,這種關(guān)系也反映出、、、也都在處連續(xù)?!捕硨?dǎo)數(shù)1.有關(guān)概念①平均變化率:②函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù):③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)==2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線上點〔〕處的切線的斜率說明:⑴.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡記為“k=〞,強化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)斜率〞⑵.曲線在點〔〕處的切線方程為3.導(dǎo)數(shù)的物理意義:s=s(t)是物體運動的位移函數(shù),物體在t=時刻的瞬時速度是說明:⑴.物理意義在教材上只是以引例形式出現(xiàn),教學(xué)大綱對它的要求不高,知道即可。⑵.物理意義可以簡記為=4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式5、求導(dǎo)法那么,,〔v≠0〕6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)=〔三〕復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)及分類形如a+bi〔a,b∈R〕的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中a為實部,b為虛部,ii是虛數(shù)單位,且滿足ii2=-1.復(fù)數(shù)z=a+bi〔a,b∈R〕eq\b\lc\{(\a\vs2(實數(shù)〔b=0〕,虛數(shù)〔b≠0〕eq\b\lc\{(\a\vs2(純虛數(shù)〔a=0〕,非純虛數(shù)〔a≠0〕))))2.復(fù)數(shù)相等的充要條件a+bii=c+diia=c,b=d〔a,b,c,d∈R〕.特別地a+bii=0a=b=0〔a,b∈R〕.3.i的冪i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i〔n∈Z〕.4.復(fù)數(shù)的加法和減法〔a+bi〕±〔c+di〕=〔a±c〕+〔b±d〕i〔a,b,c,d∈R〕.5.復(fù)數(shù)的乘法和除法⑴復(fù)數(shù)的乘法按多項式相乘進展,即〔a+bi〕〔c+di〕=ac+adi+bci+bdi2=〔ac-bd〕+〔ad+bc〕i.⑵復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運算,其實質(zhì)是分母實數(shù)化.6.共軛復(fù)數(shù)z=a+bi與eq\O(z,\s\up8(-))=a-bi互為共軛復(fù)數(shù)。7.復(fù)數(shù)的模設(shè)z=a+bi,那么復(fù)數(shù)的模:|z|=r=eq\r(a2+b2)8.復(fù)數(shù)與點的軌跡復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一一對應(yīng)的。⑴兩點間的距離公式:d=|z1-z2|;⑵圓的方程:|z-P|=r〔以點P為圓心,r為半徑〕;三、考點剖析考點一:數(shù)學(xué)歸納法【內(nèi)容解讀】數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴格而且標(biāo)準(zhǔn),兩個步驟缺一不可。第一步是命題遞推的根基;第二步是遞推的依據(jù),是論證過程的關(guān)鍵。在論證時,第一步驗算n=中的n不一定為1,根據(jù)題目的要求,有時可為2,3等。第二步證明n=k+1時命題也成立的過程中,歸納假設(shè)P〔k〕起著“條件〞的作用,必須利用歸納假設(shè)P〔k〕,恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運算推出P〔k+1〕,否那么就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論〞。數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個必要條件,兩者缺一不可,兩步均予以證明才具備了充分性,也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性?!久}規(guī)律】數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中,與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合,難度屬中等偏難。例1、〔2007全國1理22〕數(shù)列中,,.〔Ⅰ〕求的通項公式;〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列中,,,證明:,.解:〔Ⅰ〕由題設(shè):,.所以,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,,即的通項公式為,.〔Ⅱ〕用數(shù)學(xué)歸納法證明.〔ⅰ〕當(dāng)時,因,,所以,結(jié)論成立.〔ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時,結(jié)論成立,即,也即.當(dāng)時,,又,所以.也就是說,當(dāng)時,結(jié)論成立.根據(jù)〔ⅰ〕和〔ⅱ〕知,.點評:此題考察數(shù)學(xué)歸納法的證明,與數(shù)列、不等式等結(jié)合,屬中等偏難的試題。例2、〔2008浙江〕數(shù)列,,,.記:,.求證:當(dāng)時,〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕;〔Ⅲ〕〔Ⅰ〕證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時,因為是方程的正根,所以.②假設(shè)當(dāng)時,,因為,所以.即當(dāng)時,也成立.根據(jù)①和②,可知對任何都成立.〔Ⅱ〕證明:由,〔〕,得.因為,所以.由及得,所以.〔Ⅲ〕證明:由,得所以,于是,故當(dāng)時,,又因為,所以.點評:此題主要考察數(shù)列的遞推關(guān)系,數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等根基知識和基本技能,同時考察邏輯推理能力.考點二:極限的求解【內(nèi)容解讀】極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限,掌握幾個重要極限的求法,極限的四那么運算等內(nèi)容;理解函數(shù)在一點處的極限,并會求函數(shù)在一點處的極限.函數(shù)的左、右極限,會求函數(shù)在一點處的左右極限.【命題規(guī)律】極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用,是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點,是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容,是高考的熱點之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),難度適中。例3、〔2008陜西卷13〕,那么.1解:點評:數(shù)列極限是高考熱點題型之一,掌握幾種類型的求解方法。例4、〔2008重慶卷〕函數(shù)f(x)=,點在x=0處連續(xù),那么.解:又點在x=0處連續(xù),所以即故點評:在點處的極限值等于這點的函數(shù)值,即。函數(shù)在處連續(xù),反映在圖像上是的圖像在點x=處是不連續(xù)的。例5、〔2007湖北理〕和是兩個不相等的正整數(shù),且,那么〔〕A.0 B.1 C. D.解:方法一特殊值法,由題意取,那么,可見應(yīng)選C方法二令,分別取和,那么原式化為所以原式=〔分子、分母1的個數(shù)分別為個、個〕點評:此題考察數(shù)列的極限和運算法那么,可用特殊值探索結(jié)論,即同時考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運用極限運算法那么時,首先化簡變形,后用法那么即可。此題也表達了等比數(shù)列求和公式的逆用??键c三:導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題【內(nèi)容解讀】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;2、通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù);4、了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;5、了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件,會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,以及閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值;體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性;5、會用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實際問題,如生活中的最優(yōu)化問題等?!久}規(guī)律】考察導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算等內(nèi)容,在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型,難度不大;考察單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題,以中檔題為主,題型以解答題為主。例6、(2008福建)如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是〔〕解:由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負情況依次是正→負→正→負,只有答案A滿足.點評:深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵。例7、(2008廣東文)設(shè),假設(shè)函數(shù),有大于零的極值點,那么〔A〕A.B.C.D.解:依題意,有有大于0的實根,數(shù)形結(jié)合令,那么兩曲線交點在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.點評:畫出兩個函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合法求解,表達了數(shù)形結(jié)合的思想。例8、(2008湖北理)假設(shè)f(x)=上是減函數(shù),那么b的取值范圍是〔〕A.[-1,+∞]B.〔-1,+∞〕C.〔-∞,-1〕D.〔-∞,-1〕解:由題意可知,在上恒成立,即在上恒成立,由于,所以,故C為正確答案.點評:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零,那么函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù),反之也成立。如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零,那么函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。例9、(2008全國Ⅰ卷文)曲線在點處的切線的傾斜角為〔〕A.30° B.45° C.60° D.120°解:,在點〔1,3〕處切線的斜率為:k=3×12-2=1,所以傾斜角為45° ,選〔B〕。點評:此題考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在某點處的切線的斜率問題。例10、〔2008安徽文〕設(shè)函數(shù)為實數(shù)?!并瘛澈瘮?shù)在處取得極值,求的值;〔Ⅱ〕不等式對任意都成立,求實數(shù)的取值范圍。解:(1),由于函數(shù)在時取得極值,所以即(2)方法一:由題設(shè)知:對任意都成立即對任意都成立設(shè),那么對任意,為單調(diào)遞增函數(shù)所以對任意,恒成立的充分必要條件是即,于是的取值范圍是方法二:由題設(shè)知:對任意都成立即對任意都成立于是對任意都成立,即于是的取值范圍是點評:函數(shù)在某點處取得極值,那么在這點處的導(dǎo)數(shù)為0,反過來,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點的值為0,那么在函數(shù)這點處取得極值。例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地,方案在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算,如果將樓房建為x〔x10〕層,那么每平方米的平均建筑費用為560+48x〔單位:元〕。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為多少層〔注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用=〕解:設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元,依題意得那么,令,即,解得當(dāng)時,;當(dāng)時,,因此,當(dāng)時,取得最小值,元.答:為了使樓房每平方米的平均綜合費最少,該樓房應(yīng)建為15層。點評:此題是導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,求最值問題,經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在極值處取得最值。例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,年初為起點,根據(jù)歷年數(shù)據(jù),某水庫的蓄水量〔單位:億立方米〕關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V〔t〕=〔Ⅰ〕該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1<t<t表示第1月份〔i=1,2,…,12〕,同一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期〔Ⅱ〕求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量〔取e=2.7計算〕.解:〔Ⅰ〕①當(dāng)0<t10時,V(t)=(-t2+14t-40)化簡得t2-14t+40>0,解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4.②當(dāng)10<t12時,V〔t〕=4〔t-10〕〔3t-41〕+50<50,化簡得〔t-10〕〔3t-41〕<0,解得10<t<,又10<t12,故10<t12.綜合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期為1月,2月,,3月,4月,11月,12月共6個月.(Ⅱ)(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在〔4,10〕內(nèi)到達.由V′〔t〕=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).當(dāng)t變化時,V′(t)與V(t)的變化情況如下表:t(4,8)8(8,10)V′(t)+0-V(t)極大值由上表,V(t)在t=8時取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米點評:本小題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識,考察用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力.考點四:復(fù)數(shù)【內(nèi)容解讀】本章重點是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運算.難點是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運算.【命題規(guī)律】復(fù)數(shù)的概念及其運算是高考命題熱點,從近幾年高考試題來看,主要考察復(fù)數(shù)的概念及其運算,難度不大。例11、(2008福建理)假設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù),那么實數(shù)a的值為〔〕A.1 B.2 C.1或2 D.-1解:由得,且。點評:此題主要考察復(fù)數(shù)的概念,注意純虛數(shù)一定要使虛部不為0。例12、(2008江西理)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解:因所以對應(yīng)的點在第四象限,選〔D〕。點評:此題考察復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的知識,每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個點與之對應(yīng)。例13、(2008湖南理)復(fù)數(shù)等于()A.8 B.-8 C.8i D.-8i解:由,易知D正確.點評:此題考察復(fù)數(shù)的運算,掌握=-1。例14、(2008上海文)假設(shè)是實系數(shù)方程的一個虛根,且,那么.解:設(shè),那么方程的另一個根為,且,由韋達定理,得:所以xyxy···1-1-1CAB例15、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+|+|z-|=2,求|z++1|的最小值.解:由題設(shè)知,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點集是線段AB,如以以下圖,線段AB上B點到C點距離最短.∵|BC|=1,∴|z++1|的最小值為1.點評:在分析問題和解決問題時,要注意解析語言的意義及運用,要掌握圖形語言、符號語言及文字語言的互化,自覺地由“形〞到“數(shù)〞與由“形〞變“數(shù)〞地運用數(shù)形結(jié)合的思維方法.四、方法總結(jié)與2009年高考預(yù)測〔一〕方法總結(jié)1.極限的概念和運算法那么是微積分中最重要的工具,也是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的根基。它是歷年高考的重點考察內(nèi)容,多與分類討論相結(jié)合。通常與數(shù)列結(jié)合的題目要多一些,解答時要求先求出數(shù)列的通項公式或是前項和公式再求極限。求函數(shù)的極限時,經(jīng)常要用到常見函數(shù)的極限及兩個重要極限〔解決函數(shù)極限的小題時可用洛畢達法那么〕。通過恒等變形用函數(shù)極限的四那么運算法那么求相關(guān)函數(shù)的極限,或利用初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點處的極限值等于該點函數(shù)值求函數(shù)的極限或利用函數(shù)的極限判定函數(shù)在給定點處的連續(xù)性。歸納法也是本章常見的考察點,一定要注意

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