高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)的教學(xué)案極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)-

...wd......wd......wd...高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案：極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)一、本章知識構(gòu)造：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)相等的充要條件共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法法那么復(fù)數(shù)的減法法那么復(fù)數(shù)的乘法法那么復(fù)數(shù)的除法法那么〔a＋bi〕＋〔c＋di〕＝〔a＋c〕〔b＋d〕i復(fù)數(shù)加法的幾何意義〔a＋bi〕－〔c＋di〕＝〔a－c〕〔b－d〕i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離d＝｜z1－z2｜〔a＋bi〕〔c＋di〕＝〔ac－bd〕＋〔ad＋bc〕ieq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ab,c2＋d2)i二、重點(diǎn)知識回憶〔一〕極限1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法，它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步：證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)n=k(k∈且k≥)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。由〔1〕、〔2〕斷定命題對于從開場的一切正整數(shù)都成立。2、數(shù)列極限的定義設(shè)是一個無窮數(shù)列，A是一個常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n＞N，就有|-A|＜ε，那么就說數(shù)列以A為極限〔或A是數(shù)列的極限〕，記作=A。3、數(shù)列極限的運(yùn)算法那么如果=A，=B，那么(1)(±)=±=A±B；(2)(·)=·=A·B〔3〕〔4〕〔c·〕=c·=cA〔c為常數(shù)〕極限運(yùn)算法那么中的各個極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個。在商的運(yùn)算法那么中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。4、特殊數(shù)列的極限〔1〕C=C〔C為常數(shù)〕〔2〕0〔|a|＜1〕=1〔a=l不存在〔|a|＞1或a=-1〕(3)=0(α＞0的常數(shù))(4)〔當(dāng)k=時〕=0〔當(dāng)k＜時不存在〔當(dāng)k＞時〕說明：欲求極限的式子中，含有項(xiàng)數(shù)與n有關(guān)的“和式〞或“積式〞，應(yīng)先求和或積。5、常見的數(shù)列極限的類型和求法〔1〕“〞型，分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化。〔2〕“〞型，分子、分母先求和，再化簡，轉(zhuǎn)化為有極限?！?〕“〞型，將其看作分母為1的分式，轉(zhuǎn)化求極限。6、與和之間的關(guān)系=a==a。如果在點(diǎn)處左、右極限都存在并且等值，那么在點(diǎn)處的極限也存在，并且與左、右極限值一樣；如果在處的左、右極限至少有一個不存在，或者左、右極限都存在但不等值，那么函數(shù)在點(diǎn)處沒有極限，這種關(guān)系也反映出、、、也都在處連續(xù)?！捕硨?dǎo)數(shù)1.有關(guān)概念①平均變化率：②函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)＝＝2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點(diǎn)〔〕處的切線的斜率說明：⑴.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡記為“k=〞,強(qiáng)化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)斜率〞⑵.曲線在點(diǎn)〔〕處的切線方程為3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：s=s(t)是物體運(yùn)動的位移函數(shù)，物體在t=時刻的瞬時速度是說明：⑴.物理意義在教材上只是以引例形式出現(xiàn)，教學(xué)大綱對它的要求不高，知道即可。⑵.物理意義可以簡記為=4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式5、求導(dǎo)法那么，，〔v≠0〕6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)＝〔三〕復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)及分類形如a＋bi〔a，b∈R〕的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a為實(shí)部，b為虛部，ii是虛數(shù)單位，且滿足ii2＝－1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi〔a，b∈R〕eq\b\lc\{(\a\vs2(實(shí)數(shù)〔b＝0〕,虛數(shù)〔b≠0〕eq\b\lc\{(\a\vs2(純虛數(shù)〔a＝0〕,非純虛數(shù)〔a≠0〕))))2．復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bii＝c＋diia＝c，b＝d〔a，b，c，d∈R〕.特別地a＋bii＝0a＝b＝0〔a，b∈R〕.3．i的冪i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i〔n∈Z〕.4．復(fù)數(shù)的加法和減法〔a＋bi〕±〔c＋di〕＝〔a±c〕＋〔b±d〕i〔a，b，c，d∈R〕.5．復(fù)數(shù)的乘法和除法⑴復(fù)數(shù)的乘法按多項(xiàng)式相乘進(jìn)展，即〔a＋bi〕〔c＋di〕＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝〔ac－bd〕＋〔ad＋bc〕i.⑵復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化.6．共軛復(fù)數(shù)z＝a＋bi與eq\O(z,\s\up8(－))＝a－bi互為共軛復(fù)數(shù)。7．復(fù)數(shù)的模設(shè)z＝a＋bi，那么復(fù)數(shù)的模：｜z｜＝r＝eq\r(a2＋b2)8．復(fù)數(shù)與點(diǎn)的軌跡復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。⑴兩點(diǎn)間的距離公式：d＝｜z1－z2｜；⑵圓的方程：｜z－P｜＝r〔以點(diǎn)P為圓心，r為半徑〕；三、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)歸納法【內(nèi)容解讀】數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且標(biāo)準(zhǔn)，兩個步驟缺一不可。第一步是命題遞推的根基；第二步是遞推的依據(jù)，是論證過程的關(guān)鍵。在論證時，第一步驗(yàn)算n=中的n不一定為1，根據(jù)題目的要求，有時可為2，3等。第二步證明n=k+1時命題也成立的過程中，歸納假設(shè)P〔k〕起著“條件〞的作用，必須利用歸納假設(shè)P〔k〕，恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運(yùn)算推出P〔k+1〕，否那么就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論〞。數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個必要條件，兩者缺一不可，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性?！久}規(guī)律】數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中，與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合，難度屬中等偏難。例1、〔2007全國1理22〕數(shù)列中，，．〔Ⅰ〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列中，，，證明：，．解：〔Ⅰ〕由題設(shè)：，．所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即的通項(xiàng)公式為，．〔Ⅱ〕用數(shù)學(xué)歸納法證明．〔ⅰ〕當(dāng)時，因，，所以，結(jié)論成立．〔ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，也即．當(dāng)時，，又，所以．也就是說，當(dāng)時，結(jié)論成立．根據(jù)〔ⅰ〕和〔ⅱ〕知，．點(diǎn)評：此題考察數(shù)學(xué)歸納法的證明，與數(shù)列、不等式等結(jié)合，屬中等偏難的試題。例2、〔2008浙江〕數(shù)列，，，．記：，．求證：當(dāng)時，〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕〔Ⅰ〕證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時，因?yàn)槭欠匠痰恼?，所以．②假設(shè)當(dāng)時，，因?yàn)?，所以．即?dāng)時，也成立．根據(jù)①和②，可知對任何都成立．〔Ⅱ〕證明：由，〔〕，得．因?yàn)椋裕杉暗?，所以．〔Ⅲ〕證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時，，又因?yàn)椋裕c(diǎn)評：此題主要考察數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等根基知識和基本技能，同時考察邏輯推理能力．考點(diǎn)二：極限的求解【內(nèi)容解讀】極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，掌握幾個重要極限的求法，極限的四那么運(yùn)算等內(nèi)容；理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限，并會求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限．函數(shù)的左、右極限，會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左右極限．【命題規(guī)律】極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。例3、〔2008陜西卷13〕，那么．1解：點(diǎn)評：數(shù)列極限是高考熱點(diǎn)題型之一，掌握幾種類型的求解方法。例4、〔2008重慶卷〕函數(shù)f(x)=，點(diǎn)在x=0處連續(xù)，那么.解：又點(diǎn)在x=0處連續(xù)，所以即故點(diǎn)評：在點(diǎn)處的極限值等于這點(diǎn)的函數(shù)值，即。函數(shù)在處連續(xù)，反映在圖像上是的圖像在點(diǎn)x=處是不連續(xù)的。例5、〔2007湖北理〕和是兩個不相等的正整數(shù)，且，那么〔〕A．0 B．1 C． D．解：方法一特殊值法，由題意取，那么，可見應(yīng)選C方法二令，分別取和，那么原式化為所以原式=〔分子、分母1的個數(shù)分別為個、個〕點(diǎn)評：此題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法那么，可用特殊值探索結(jié)論，即同時考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法那么時，首先化簡變形，后用法那么即可。此題也表達(dá)了等比數(shù)列求和公式的逆用?？键c(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題【內(nèi)容解讀】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2、通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5、了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性；5、會用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題，如生活中的最優(yōu)化問題等?！久}規(guī)律】考察導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算等內(nèi)容，在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型，難度不大；考察單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主。例6、(2008福建)如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是〔〕解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù),只有答案A滿足.點(diǎn)評：深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵。例7、(2008廣東文)設(shè)，假設(shè)函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，那么〔A〕A．B.C.D.解：依題意，有有大于0的實(shí)根,數(shù)形結(jié)合令,那么兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.點(diǎn)評：畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想。例8、(2008湖北理)假設(shè)f(x)=上是減函數(shù)，那么b的取值范圍是〔〕A.[-1，+∞]B.〔-1，+∞〕C.〔-∞，-1〕D.〔-∞，-1〕解：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ為正確答案．點(diǎn)評：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，那么函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)，反之也成立。如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，那么函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。例9、(2008全國Ⅰ卷文)曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為〔〕A．30° B．45° C．60° D．120°解：，在點(diǎn)〔1,3〕處切線的斜率為：k＝3×12－2＝1，所以傾斜角為45° ，選〔B〕。點(diǎn)評：此題考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某點(diǎn)處的切線的斜率問題。例10、〔2008安徽文〕設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)?！并瘛澈瘮?shù)在處取得極值，求的值；〔Ⅱ〕不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:(1)，由于函數(shù)在時取得極值，所以即(2)方法一：由題設(shè)知：對任意都成立即對任意都成立設(shè),那么對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)所以對任意，恒成立的充分必要條件是即，于是的取值范圍是方法二：由題設(shè)知：對任意都成立即對任意都成立于是對任意都成立，即于是的取值范圍是點(diǎn)評：函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，那么在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，反過來，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值為0，那么在函數(shù)這點(diǎn)處取得極值。例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地，方案在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為x〔x10〕層，那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x〔單位：元〕。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層〔注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=〕解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得那么，令，即，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。點(diǎn)評：此題是導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，求最值問題，經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在極值處取得最值。例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量〔單位：億立方米〕關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V〔t〕=〔Ⅰ〕該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份〔i=1,2,…,12〕,同一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期〔Ⅱ〕求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量〔取e=2.7計算〕.解：〔Ⅰ〕①當(dāng)0＜t10時，V(t)=(-t2+14t-40)化簡得t2-14t+40>0,解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.②當(dāng)10＜t12時，V〔t〕＝4〔t-10〕〔3t-41〕+50＜50,化簡得〔t-10〕〔3t-41〕＜0,解得10＜t＜，又10＜t12,故10＜t12.綜合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在〔4，10〕內(nèi)到達(dá).由V′〔t〕=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).當(dāng)t變化時，V′(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V′(t)+0-V(t)極大值由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米點(diǎn)評：本小題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識，考察用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力.考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)【內(nèi)容解讀】本章重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運(yùn)算.難點(diǎn)是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算.【命題規(guī)律】復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算是高考命題熱點(diǎn)，從近幾年高考試題來看，主要考察復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算，難度不大。例11、(2008福建理)假設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為〔〕A.1 B.2 C.1或2 D.-1解：由得,且。點(diǎn)評：此題主要考察復(fù)數(shù)的概念，注意純虛數(shù)一定要使虛部不為0。例12、(2008江西理)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解：因所以對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，選〔D〕。點(diǎn)評：此題考察復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的知識，每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個點(diǎn)與之對應(yīng)。例13、(2008湖南理)復(fù)數(shù)等于()A.8 B.－8 C.8i D.－8i解：由,易知D正確.點(diǎn)評：此題考察復(fù)數(shù)的運(yùn)算，掌握＝－1。例14、(2008上海文)假設(shè)是實(shí)系數(shù)方程的一個虛根，且，那么．解：設(shè),那么方程的另一個根為,且，由韋達(dá)定理，得：所以xyxy···1－1－1CAB例15、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z＋|＋|z－|=2，求|z＋＋1|的最小值．解：由題設(shè)知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)集是線段AB，如以以下圖，線段AB上B點(diǎn)到C點(diǎn)距離最短．∵|BC|=1，∴|z＋＋1|的最小值為1．點(diǎn)評：在分析問題和解決問題時，要注意解析語言的意義及運(yùn)用，要掌握圖形語言、符號語言及文字語言的互化，自覺地由“形〞到“數(shù)〞與由“形〞變“數(shù)〞地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法．四、方法總結(jié)與2009年高考預(yù)測〔一〕方法總結(jié)1.極限的概念和運(yùn)算法那么是微積分中最重要的工具，也是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的根基。它是歷年高考的重點(diǎn)考察內(nèi)容，多與分類討論相結(jié)合。通常與數(shù)列結(jié)合的題目要多一些，解答時要求先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或是前項(xiàng)和公式再求極限。求函數(shù)的極限時，經(jīng)常要用到常見函數(shù)的極限及兩個重要極限〔解決函數(shù)極限的小題時可用洛畢達(dá)法那么〕。通過恒等變形用函數(shù)極限的四那么運(yùn)算法那么求相關(guān)函數(shù)的極限，或利用初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值求函數(shù)的極限或利用函數(shù)的極限判定函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性。歸納法也是本章常見的考察點(diǎn)，一定要注意