高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：5 2 1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(人教A版)

第五章 5.2導(dǎo)數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在利用導(dǎo)數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)012x2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝____________f(x)＝sinxf′(x)＝______________f(x)＝cosxf′(x)＝______________f(x)＝axf′(x)＝______________

(a>0)f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logaxf′(x)＝_______(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝_______0αxα－1cosx－sinxaxlnaex點睛(1)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式中，一要注意名稱的改變，二要注意符號的變換.可用口訣記憶：正弦求導(dǎo)數(shù)，弦變符不變；余弦求導(dǎo)數(shù)，弦變符也變.(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)時，一定要看清原函數(shù)的形式.只有當(dāng)函數(shù)符合上述形式時，才能用導(dǎo)數(shù)公式表求導(dǎo).

1.思考辨析，判斷正誤(1)若f(x)＝0，則f′(x)＝0.(

)√×√(4)若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xlog4e.(

)×提示

若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xln4.2.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9C解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9C解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.D4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為________.1解析

f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.課堂互動題型剖析2題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解

(1)y′＝0；求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運算比較繁瑣；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.思維升華求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運算比較繁瑣；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.思維升華【訓(xùn)練1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(3)y′＝(sinx)′＝cosx；題型二利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4B角度2求參數(shù)值【例3】

已知y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.角度3曲線上的點到直線的最小距離問題【例4】

設(shè)P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離.解如圖，設(shè)l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點到直線y＝x的距離最小.設(shè)直線l與曲線y＝ex相切于點P(x0，y0).因為y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù).(2)如果已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.思維升華解

設(shè)所求切線的斜率為k.(2)求曲線y＝lnx的斜率等于4的切線方程.解

設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0).即4x－y－1－ln4＝0.【例5】某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)題型三導(dǎo)數(shù)公式的實際應(yīng)用解

由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，導(dǎo)數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).思維升華【訓(xùn)練3】

從時刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安).解

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題C1.函數(shù)y＝3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為(

)A.9 B.6 C.9ln3 D.6ln3解析

y′＝(3x)′＝3xln3，故所求導(dǎo)數(shù)為9ln3.2.(多選題)下列結(jié)論中，正確的是(

)ACD解析

由(xn)′＝nxn－1知，選項D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴選項A，C，D正確.3.設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角α的范圍是(

)A解析

∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤tanα≤1，又∵α∈[0，π)，4.函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(

) A.1條

B.2條 C.3條

D.不確定B5.若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(

) A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0A解析

由題意，知切線l的斜率k＝4.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4＝4，解得x0＝1，∴切點為(1，1)，∴l(xiāng)的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.17.若y＝10x，則y′|x＝1＝________.10ln10解析

y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.8.曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________.解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴在點(2，e2)處的切線斜率為k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時，y＝－e2，當(dāng)y＝0時，x＝1.三、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：10.已知兩條曲線y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使得在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由.解

不存在，理由如下：因為y1＝sinx，y2＝cosx，所以y1′＝cosx，y2′＝－sinx.設(shè)兩條曲線的一個公共點為點P(x0，y0)，則兩條曲線在點P(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若兩條切線互相垂直，則cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，所以sin2x0＝2，顯然不成立，所以這兩條曲線不存在這樣的公共點，使得在這一點處的兩條切線互相垂直.11.設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2021(x)＝(

) A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosxB解析根據(jù)題意，f0(x)＝cosx，則f1(x)＝f0′(x)＝－sinx，f2(x)＝f1′(x)＝－cosx，f3(x)＝f2′(x)＝sinx，f4(x)＝f3′(x)＝cosx，…，則fn(x)的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)，故f2021(x)＝f4×505＋1(x)＝f1(x)＝－sinx.12.已知P為曲線y＝lnx上的一動點，Q為直線y＝x＋1上的一動點，則當(dāng)P的坐標(biāo)為________時，PQ最小，此時最小值為________.(1，0)解

設(shè)切點為(m，log2m)(m>0).21備用工具&資料12.已知P為曲線y＝lnx上的一動點，Q為直線y＝x＋1上的一動點，則當(dāng)P的坐標(biāo)為________時，PQ最小，此時最小值為___