高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題多維練(新高考專用)第29練空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示(原卷版+解析)

專題09空間向量與立體幾何第29練空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．(2023·江蘇南通·模擬）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．(2023·河北石家莊·一模）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．(2023·天津三中三模）在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，在線段上，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．5．(2023·河南鄭州·二模（理））已知向量，且，則實(shí)數(shù)________________．6．(2023·上海長寧·二模）已知，若，則_________．1．(2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（

）A． B．若平面PAC，則C．若為鈍角三角形，則 D．若，則為銳角三角形2．（2023·江西九江·三模（文））如圖所示，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有；④存在點(diǎn)P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④3．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，M為的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是_______（填寫序號(hào)）①平面

②三棱錐的體積的最大值為③存在點(diǎn)P，使得與平面所成的角為

④存在點(diǎn)P，使得與垂直4．(2023·河南洛陽·模擬（文））在正方體中，N為底面ABCD的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是______．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）（1）CM與PN是異面直線（2）（3）過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形（4）平面平面5．在長方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．6．（2023·四川達(dá)州·一模（理））兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則___________．7．（2023·浙江省杭州第二中學(xué)模擬）已知三棱錐中，，且，長度為1的線段的端點(diǎn)在上，端點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若的中點(diǎn)為，的重心為，則的最小值是_________.1．（多選題）(2023·遼寧·東北育才雙語學(xué)校模擬）已知正方體的邊長為2，為的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為 D．與所成角的余弦值為2．（多選題）(2023·湖北武漢·模擬）已知正方體的棱長為2（如圖所示），點(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A，，M確定的平面為，則下列說法正確的是（

）A．平面截正方體的截面始終為四邊形B．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積為定值C．平面截正方體的截面面積的最大值為D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍為3．（多選題）(2023·湖南邵陽·一模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長度的最小值是4．(2023·湖南師大附中三模）已知棱長為的正四面體，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，平面經(jīng)過點(diǎn)，且平面平面，則平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長為_________.5．(2023·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校模擬）正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.專題09空間向量與立體幾何第29練空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．(2023·江蘇南通·模擬）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，由正六邊形的性質(zhì)可得，，設(shè)，其中，所以，，所以，所以的取值范圍.故選：A.2．(2023·河北石家莊·一模）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．答案：B【解析】由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，由于動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則存在實(shí)數(shù)使得，又，所以，所以，又，所以，化簡可得，即，又，又，所以，,所以，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以的最大值為.故選：B.3．(2023·安徽淮北·一模（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵，，，∴，∴，∴在方向上的投影數(shù)量為，∴點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.4．(2023·天津三中三模）在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，在線段上，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以故選：C5．(2023·河南鄭州·二模（理））已知向量，且，則實(shí)數(shù)________________．答案：【解析】，則，解得故答案為：6．(2023·上海長寧·二模）已知，若，則_________．答案：2【解析】因?yàn)?，故，即，故，故故答案為?1．(2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（

）A． B．若平面PAC，則C．若為鈍角三角形，則 D．若，則為銳角三角形答案：C【解析】如圖（1）所示：對(duì)于A中，正方體中，連接，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又由且，所以平面，因?yàn)椋云矫妫?，所以A正確；對(duì)于B中，正方體中，連接，可得，且，所以平面，若平面，可得點(diǎn)在平面中，可得，又由，所以，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)正方體的棱長為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，可得，，由余弦定理可得，可得，所以若為鈍角三角形，則是不正確的，故C不正確；對(duì)于D中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示不妨設(shè)正方體的棱長為1，則，可得，,由，令，解得或（舍去），又由，所以，即當(dāng)時(shí)，，即為銳角，又因?yàn)橹?，，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：C.2．（2023·江西九江·三模（文））如圖所示，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有；④存在點(diǎn)P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④答案：C【解析】如下圖所示：設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.對(duì)于①，不是定值，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，則平面，，則點(diǎn)到平面的距離為定值，而的面積也為定值，所以，三棱錐的體積為定值，②正確；對(duì)于③，，，所以，，因此，對(duì)任意點(diǎn)，都有，③正確；對(duì)于④，，，，，這樣的不存在，所以，不存在點(diǎn)，使得平面，④錯(cuò)誤．故選：C．3．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，M為的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是_______（填寫序號(hào)）①平面

②三棱錐的體積的最大值為③存在點(diǎn)P，使得與平面所成的角為

④存在點(diǎn)P，使得與垂直答案：②③【解析】由題意得．則，易得，所以與不垂直．故①錯(cuò)誤；，點(diǎn)B到平面的距離為，由，得，得，又，則，故②正確；與平面所成的角即為與平面所成的角，設(shè)為，易知當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，最小，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Р與重合時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí)，故存在點(diǎn)P，使得與平面所成的角為，③正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)．則有，故不存在點(diǎn)P，使得與垂直，④錯(cuò)誤．故答案為：②③4．(2023·河南洛陽·模擬（文））在正方體中，N為底面ABCD的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是______．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）（1）CM與PN是異面直線（2）（3）過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形（4）平面平面答案：（2），（4）【解析】對(duì)于（1），連接，因?yàn)橛牲c(diǎn)在上，在平面內(nèi)，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，所以在平面內(nèi)，因?yàn)樵谏?，在平面?nèi)，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，所以在內(nèi)，所以CM與PN不是異面直線，所以（1）錯(cuò)誤，對(duì)于（2），以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?）正確，對(duì)于（3），當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則∥，，所以四邊形為等腰梯形，所以（3）錯(cuò)誤，對(duì)于（4），因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即平面平面，所以?）正確，故答案為：（2），（4）5．在長方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．答案：【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（）則，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閠>0所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故答案為：6．（2023·四川達(dá)州·一模（理））兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則___________．答案：【解析】因?yàn)椋?，所以，故，所以，故答案為?．（2023·浙江省杭州第二中學(xué)模擬）已知三棱錐中，，且，長度為1的線段的端點(diǎn)在上，端點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若的中點(diǎn)為，的重心為，則的最小值是_________.答案：【解析】因，則平面PBC，在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)P作Pz⊥PC，則Pz⊥平面PAC以點(diǎn)P為原點(diǎn)，射線PA，PC，Pz分別為x，y，z軸非負(fù)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因，則有，設(shè)，，則的中點(diǎn)，連BG并延長交AC于點(diǎn)D，因G(m，n，p)是的重心，則D是BC中點(diǎn)，且，而,，，則，即，因，即，則，即，所以點(diǎn)T的軌跡是以P為球心，為半徑的球面在三棱錐內(nèi)的部分(含邊界)，而，點(diǎn)G在上述軌跡外，且線段GP與上述軌跡必相交，所以故答案為：1．（多選題）(2023·遼寧·東北育才雙語學(xué)校模擬）已知正方體的邊長為2，為的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為 D．與所成角的余弦值為答案：BC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡可得，所以動(dòng)點(diǎn)在直線上，A選項(xiàng)：，，，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，平面，平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：動(dòng)點(diǎn)在直線上，且為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則在線段上，，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.2．（多選題）(2023·湖北武漢·模擬）已知正方體的棱長為2（如圖所示），點(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A，，M確定的平面為，則下列說法正確的是（

）A．平面截正方體的截面始終為四邊形B．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積為定值C．平面截正方體的截面面積的最大值為D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍為答案：BCD【解析】正方體的棱長為2，點(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，平面只與正方體的共點(diǎn)D的三個(gè)面有公共點(diǎn)，所得截面為三角形，A不正確；對(duì)于B，點(diǎn)M到平面的距離為2，而，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，截面為正三角形，其邊長為，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C不重合時(shí)，平面平面，如圖，，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，截面是正方體的對(duì)角面，其面積為，令，截面是等腰梯形，則，，等腰梯形的高，截面面積，令，顯然在上遞增，，則，所以截面面積，最大值為，C正確；對(duì)于D，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)點(diǎn)，，三棱錐的外接球截平面所得截面小圓是的外接圓，其圓心為中點(diǎn)，三棱錐的外接球球心O在過點(diǎn)E垂直于平面的直線l上，設(shè)點(diǎn)，由得：，即，有，所以三棱錐的外接球表面積，D正確.故選：BCD3．（多選題）(2023·湖南邵陽·一模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長度的最小值是答案：AC【解析】A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離不變，不變，故四棱錐的體積不變，故A正確；B.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，設(shè)與所成的角為，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，所以與所成角的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；C.因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲?，不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的