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文檔簡(jiǎn)介
2023屆高三開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷
(新高考n卷)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合2={了€2||了一3|<1},。={3,2,1,0},則PIQ=()
A.{3,2,1}B.{2,1,0}C.{3}D.{2,3}
2.(l+i)(2-i)=()
A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i
3.已知S“,7”分別為等差數(shù)列{〃"},{4}的前"項(xiàng)和,/=米|,設(shè)點(diǎn)4是直線BC外
uunuiuuun
一點(diǎn),點(diǎn)P是直線3C上一點(diǎn),且AP=,_^A8+/IAC,則實(shí)數(shù);I的值為()
4
A."B—C.AD.更
25252525
4.已知向量a=(l,m),*=(2,-3),ab=,l,則m的值為()
414
A.——B.OC.-D.-
333
5.為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展,營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”的濃
厚氛圍,某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這
五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排,以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2
個(gè)階段,且主題班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰,則不同的安排方案共有()
A.12種B.28種C.20種D.16種
6.已知a,〃為銳角,且tana=2,cos(a+j3)=9則tan(a-£)=()
7.在體積為呼的直三棱柱ABC-A隹G中,ZVWC為等邊三角形,且△ABC的外接圓半
徑為誓,則該三棱柱外接球的表面積為()
A.12兀B.87TC.6兀D.3兀
8.已知函數(shù)〃x)是R上的偶函數(shù),且的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,當(dāng)xe[0,1]時(shí),
f(x)=2-2x,則〃0)+〃1)+〃2)+...+〃2022)的值為().
A.-2B.-lC.OD.l
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符
合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。
9.下列關(guān)于函數(shù)丫=41)(28+5)的說(shuō)法正確的是().
A.在區(qū)間,-1上單調(diào)遞增
L1212」
B.最小正周期是兀
C.圖象關(guān)于點(diǎn)心0)中心對(duì)稱
D.圖象關(guān)于直線x=-型對(duì)稱
12
10.已知拋物線d=1),的焦點(diǎn)為尸,仞(辦,yJ,N(馬,%)是該拋物線上兩點(diǎn),則下列結(jié)論正
確的是()
A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為仁,0)
B.若直線MN過(guò)點(diǎn)凡則砧=吊
C.若〃戶=/IN戶,貝1」|例"|的最小值為1
2
D.若|"/|+|加|=三,則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為士
28
11.如圖所示,A8cr>-AB|G.為正方體,以下四個(gè)結(jié)論中正確的有()
A.AG>1平面CB|Z)|
B.直線BC與BD所成的角為60°
C.二面角C—8Q-G的正切值是逐
D.AC}與底面ABCD所成角的正切值是0
12.設(shè)x>0,y>0,則下列結(jié)論正確的是()
A.函數(shù)f(x)=3,+3T的最小值為2
B.不等式(》+>)[,+!卜4恒成立
lxy)
C.函數(shù)/(%)=—的最小值為-
x+3x+l5
D.若'+'=1,貝l]x+2y的最小值是20
x+1y+1
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.設(shè)隨機(jī)變量*~汽(3,4),若尸(乂>7)=0.16,則「(一掇哌7)=.
14.已知函數(shù)/(x)=e'+Inx,則函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為.
15.已知圓C:x?+>2+2x+aj+a+4=0,直線/:x-y+2=0,若直線/與圓C交于A,B
兩點(diǎn),且Nfi4c=60。,貝ij“=.
?v2
16.已知橢圓(7彳+\=1的左、右頂點(diǎn)分別為M,N,點(diǎn)尸(〃?,〃)在橢圓C上,點(diǎn)
Qkm-n),若直線MP,NQ的交點(diǎn)為R,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OR|的取值范圍為.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.記S?為數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和.已知分+〃=2%+1.
n
(1)證明:{%}是等差數(shù)列;
(2)若見(jiàn),%,如成等比數(shù)列,求S“的最小值.
18.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,%4=生心.
tan6b
⑴求角A;
(2)若"BC的外接圓半徑r=2,b+c=2a,求△/WC的面積.
19.交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記
交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分別有五個(gè)級(jí)別:Te[0,2),暢通;Te[2,4),基本暢
通;Te[4,6),輕度擁堵;Te[6,8),中度擁堵:Te[8[0],嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段
(T>2),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻
率分布直方圖如圖所示.
頻率
組距
25
0,20
0.J5
o.
O.J0
SQ5
°2345678910交通指數(shù)
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù).
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段,求依次
抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù).
(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.
20.如圖,五面體MCDEF中,四邊形ABC。為等腰梯形,AB//CD,且
(1)求證:£)£//平面Ab;
(2)若平面平面A8CD,且平面49莊:J_平面A88,求二面角A-C尸-8的余弦
值.
21.已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=M(-2,0),N(2,0)分別為雙曲線的左、右
焦點(diǎn),
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)P為雙曲線C上任意一點(diǎn),連接直線PM,PN分別交C于點(diǎn)A,B,且向=
PN=,求證:4+〃為定值,并求出該定值.
22.已知函數(shù)/(x)=mx\nx-x1-x(meR).
⑴若m=1,討論,(x)的單調(diào)性;
(2)若方程/(x)+x=O有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%,乙.
⑴求m的取值范圍;
3
(ii)若2X2>3%,求證:nu}x2>e.
(參考數(shù)據(jù):In1.5?0.405)
答案以及解析
1.答案:C
解析:解不等式|x-3|<l,SP-1<X-3<1,解得2cx<4,則PIQ={3},故選C.
2.答案:D
解析:(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.i^jtD.
3.答案:B
解析:因?yàn)镻,B,C三點(diǎn)共線,所以亥土幺+4=1,所以%+2=1,
4瓦
%+%”5
%_一『X,_邑_3x5+2_17所以%+7=型+/1=1,A=-—,故選B.
-^-4x5+5-2542525
4.答案:D
4
解析:由夕〃=一2,可得lx2+,”x(—3)=—2,解得〃?=—,故選D.
5.答案:C
解析:若中心組學(xué)習(xí)安排在第1階段,則其余四種活動(dòng)的安排方法有A:A;=12(種);
若中心組學(xué)習(xí)安排在第2階段,則主題班會(huì)、主題團(tuán)日可安排在第3,4階段或者第4,5
階段,專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日分別安排在剩下的2個(gè)階段,不同的安排方法有
2A;A;=8(種).故共有12+8=20種不同的安排方案.
故選:C.
6.答案:A
解析:因?yàn)閍,7?為銳角,所以a+〃e(0,兀).
由cos(a+/)=一';,得sin(a+,)=Jl-cos2(a+/?)=,
則tan(a+(3)=--.又tan2a=?、'血?=-—,
31-tan2a3
故tan(a-/7)=tan[2a一(a+0]=須加一+」)=_?,故選、
1+tan2atan(a+4)13
7.答案:A
解析:設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為m由AABC的外接圓半徑為里可得,一=2x叵
故
3.兀3
a=4,則^ABC的面積S=正/=拽.由三棱柱的體積為逑可得
442
鼠例=乎-44,=呼,故例=羋.設(shè)三棱柱外接球的半徑為R,則
故該三棱柱外接球的表面積為4K/?2=127t.
8.答案:C
解析:因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)
稱,則/(x)=-f(2—x),所以f(_x)=-,f(2-x),則f(x)=-/(2+x),得
/-(4+x)=-/(2+x)=/(x),即/(x+4)=/(x),所以“X)是周期函數(shù),且周期T=4,當(dāng)
xe[0,l]時(shí),/(x)=2-2\則f(0)=lJ⑴=0,
/(2)=-/(O)=-l,/(3)=/(-3)=/(1)=0,則/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,則
/(0)+/(1)+/(2)+L+/(2022)=/(0)+/(1)+/(2)+505x0=/(0)+/(1)+/(2)=0.
9.答案:ABD
解析:^--+2kn.<2x+-<-+2kji,ZeZ,
232
得一變++keZ,又「一至二]在此區(qū)間上,故A正確;
1212L1212J
T=—=—=71,故B正確;
co2
因?yàn)閥=sinx的圖象關(guān)于點(diǎn)(E,0),&eZ中心對(duì)稱,所以令2x+;=E,keZ,得
X=y-^,keZ,所以尸sin(2x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)右吟0),々eZ中心對(duì)稱,故
C錯(cuò)誤;
由y=sinx的圖象關(guān)于直線x=]+E,ZwZ對(duì)稱可知,y=sin(2x+1)的圖象關(guān)于直線
x=—+—,々eZ對(duì)稱,當(dāng)人=—1時(shí),x=—變,故D正確.故選ABD.
12212
10.答案:BCD
解析:本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì).
對(duì)于選項(xiàng)A:易知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B:由題意知直線的斜率必然存在,所以若直線過(guò)焦點(diǎn)F,則可設(shè)直線
1)'=區(qū)+1卜1公+11
2
MN的方程為丁=依+-,由《*得%——x-----=0,則4=-------->O,XjX2=-----,
812164,216
X2=-V
2-
故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:若用"=4N尸,則直線MN過(guò)焦點(diǎn)R貝的最小值即為拋物線的通徑
長(zhǎng),最小值為2夕=;,故C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D:拋物線/=_1>的焦點(diǎn)為(0」),準(zhǔn)線方程為y=-J,過(guò)點(diǎn)M,N,尸分別作
準(zhǔn)線的垂線尸P,垂足分別為AT,N;P'(圖略),所以
|MW'|=|AfF|,|W|=|/VF|,所以+用+|府|=],所以
MMNN
\PP\J'\^'\=1,所以線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為|PP|_g=m,故
D正確.
故選BCD.
11.答案:AB
解析:如圖,連接4cl.???8Q_LAG,±A4,,ACIAM=A>平面AAG-
???ACJU平面AAG,.??4〃LAG?同理,-LACt.vB{DtQBtC=B,,.?.AG,平面
CBQ,故A正確.?:BDHBD,異面直線B〔C與BD所成的角是NQB|C或其補(bǔ)角.
是等邊三角形,」.NQ81c=60。,故B正確.設(shè)AGn4£)1=O,連接0C,則
NCOG是二面角C-BQ1-G的平面角,tanNCOG=四=&,故C不正確.連接AC,
OCy
?.?CC|_L平面ABC。,.?.NGAC是AG與底面ABCZ)所成的角,tanZC,/IC=,
AC2
故D不正確.
12.答案:BD
解析:函數(shù)f(x)=3*+3T22,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),又x>0,所以表達(dá)式?jīng)]有最小
值,所以A不正確;不等式歷?也=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),所
lxy)xy
以B正確;函數(shù)=—=―\—<-,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)取得最大值
x+3x+l,l.55
XvH----rJ
X
所以C不正確;若——+—!—=1,則x+2y=(x+l+2y+2)f」一+——|-3
x+1y+\(x+1y+lj
生電+土里22a,當(dāng)且僅當(dāng)>=立,x=&時(shí),表達(dá)式取得最小值20,所以D正
x+1y+12
確.故選BD.
13.答案:0.68
解析:由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X<-l)=P(X>7)=0.16,所以
尸(-啜N7)=1-P(X<-1)-P(X>7)=0.68.
14.答案:(e+l)x-y-l=0
解析:因?yàn)?(x)=e*+L/W=e,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e),函數(shù)/(x)在x=l處的切線斜率
X
攵=/'(D=e+l,所以所求的切線方程為y-e=(e+l)(x-l),BP(e+l)x-^-l=0.
15.答案:22
解析:由題可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x++[y+=*一:-12>0,圓心4
半徑,二°-4々-12,由。2一4。-12>0,得々>6或av-2.
-1+-+2
圓心C到直線/的距離”=——----因?yàn)橹本€/與圓C交于A,8兩點(diǎn),且
—141-2I—I—
ZBAC=60°,所以d=----—二旦=蟲(chóng)74-4”12,_2o?-44=O,解得
衣222
。=22或。=-2,又。>6或a<-2,故a=22.
16.答案:(2,內(nèi))
解析:本題考查橢圓的方程、直線的方程.依題意,得機(jī)/0,則0<?。?,易知
M(-2,0),N(2,0),則直線MP的斜率匕=」一,直線MP的方程為y=/一(x+2),直
機(jī)+2777+2
__y=—^—(x+2),
線NQ的斜率太=二-,直線NQ的方程為丫=」-。-2),聯(lián)立m+2解得
tn-2tn-2-n/…
0<加2<4,得|0R|的取值范圍為(2,物).
17.答案:(1)證明見(jiàn)解析
(2)-78
29
解析:(1)由一-+n=2an+lf得2s“+/=2〃“〃+〃①,
n
2
所以2s向+(〃+1)=2an+l(7?+1)+(〃+1)②,
②-①,得2〃“+]+2〃+1=2a/l+l(〃+1)—2a/+1,
化簡(jiǎn)得c*一々〃=1,
所以數(shù)列{勺}是公差為1的等差數(shù)列.
(2)由(1)知數(shù)列{%}的公差為1.
由巧=a4a(),得(4+6)=(q+3)(4+8),
解得q=-12.
n(n-l)n2-25n25|2625
所以S“=-12〃+n--I一_r
222
所以當(dāng)”=12或13時(shí),S“取得最小值,最小值為-78.
18.答案:(1)A=烏.
3
⑵。=3技
解析:(1)因?yàn)棰?蟲(chóng),所以由正弦定理,得吧^=2sinJsin',
tanBbtan8sinB
rr-risinAcosB2sinC-sinB
所以---------=------------,
cosAsinBsin3
所以sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA=2sinCcosA-sinBcosA,
所以sinAcosB+cosAsinB=2sinCeosA,
即sinC=2sinCeosA,又sinCwO,
所以cosA=—.
2
jr
又OVAVTI,故4=—.
3
(2)由題意知a=2rsinA=4sin工=268+。=24=4百.
3
由余弦定理a2=h2+c2-2Z?ccosA,得/=g+c)2-3bc,
所以(26)2=(4行)2-3征,則從=12,
故=—fecsinA=—xl2x—=3\/3.
zi/ioc-222,
19.答案:(1)輕度擁堵的路段有6個(gè);中度擁堵的路段有9個(gè);嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?個(gè)
(2)分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1
(3)概率為|
解析:(1)由頻率分布直方圖得,這20個(gè)交通路段中,
輕度擁堵的路段有(0.1+0.2)x1x20=6(個(gè)),
中度擁堵的路段有(0.25+0.2)x1x20=9(個(gè)),
嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡校?.1+0.05)x1x20=3(個(gè)).
⑵由⑴知,擁堵路段共有6+9+3=18(個(gè)),
按分層抽樣,從18個(gè)路段抽取6個(gè),則抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)分別為
—x6=2,—x9=3,—x3=l,
181818
即從交通指數(shù)在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1.
(3)記抽取的2個(gè)輕度擁堵路段為&4,抽取的3個(gè)中度擁堵路段為牛層,房,
抽取的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢镃「
從這6個(gè)路段中抽取2個(gè)路段,試驗(yàn)的樣本空間為
C={(A,4),(A,BJ,(A,BJ(A,8J(A,G),(4,BJ,(4,B2),
(4,四),(4,Cj,(耳,4),(B],生),(,G),(),(B?,Cj,(生,G)},
共15個(gè)樣本點(diǎn),其中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的包含的樣本點(diǎn)有:
(A,4MA,片),(A,8J,(A,員),(A,G),(&,8J,(4,82),(A,B,),(4C),共9個(gè).
所以所抽取的2個(gè)路段中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率為2=3.
155
20.答案:⑴見(jiàn)解析
⑵-迤
35
解析:(1)因?yàn)锳B//C力,COu平面。平面CDE/,故■//平面CDEF.
X5??ABFEX平面CDEF=EF,所以AB〃E尸,
則EFHCD,
又CD=EF,所以四邊形C7)所為平行四邊形,
則DE//CF,
又CFu平面ACF,DE<Z平面ACF,所以DEH平面ACF.
(2)過(guò)E作即_LM于點(diǎn)P,因?yàn)槠矫姊?莊,平面45CD,且平面MFEI平面
ABCD=AB,因此£P(guān)_L平面ABCD,過(guò)E作EQJ.AD于點(diǎn)Q,又平面AD£J_平面
ABCD,且平面ADEI平面ABCE>=">,因此EQ_L平面ABC£),而過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅
有一條直線與已知平面垂直,因此EREQ重合于E4,即£4,平面A8CO.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AE所在直線分別為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)9=1,則A(O,O,O),F(O,1,1),C¥,|,0),8(0,2,0),
uimuum(R3、minutn
則AF=(0,l,l),AC=^-,-,0,BF=(0-1,1),BC=
122J
設(shè)平面ACF的法向量為m=(x,y,z),
皿
UALFy+z=0
加
G,3八,
——x+—y=0
22
令x=G,則y=-l,z=l,
故平面ACF的一個(gè)法向量為機(jī)=(6,-1,1).
設(shè)平面灰戶的法向量為〃=(x',y',z'),
urn-y'+z'=0
n-BF=0
則uun得凡,X-o,
〃BC=a
22
令V=1,則了=-75,z,=百,
故平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,73,73),
e“/\m-n<3VI05
因此cos(in,n)--------=-—f==-----,
'/|"小|〃|75x7735
由圖易知二面角A—CF—8為鈍二面角,
故二面角A-CF-B的余弦值為-返.
35
21.答案:(1)=[
3
(2)見(jiàn)解析
,2
解析:(1)由題意可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為與-4=l(a>0/>0),
ab
')=c
由已知得c=2,則'解得a=l,b=6,
a2+b2=4,
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f-工=1.
3
(2)由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)P在第一象限,
設(shè)尸(%,%),B(x2,y2).
若直線PB的斜率存在,則kPB=kPN=
%-2
則直線PB的方程為y=-2).
%一2
y
聯(lián)立消去x整理得(3%;-12x0+12-^)/+12%(入0-2)y+9y;=0,
x2--=1,
3
將片一號(hào)=1代入上式整理得(15-12%)V+12%(%-2)y+9巾=0,15-12xo^O,
A>0,
甌__34…3%
則
%>2=——y2?一
15-12x05-4x05-4x0
故必國(guó)=工f_=2.
NByz3%3
4%-5
(根據(jù)向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系)
同理可得彳二-4竺二§,故久+〃=一9
33
若直線尸8的斜率不存在,則P(2,3),此時(shí)軸,〃=1,直線PA的方程為
3
y=—(x+2)n3x-4y+6=0.
4
3x-4j+6=0,
聯(lián)立,2消去x整理得13y2-48y+27=。,
k-av
Q
解得y=
故%=——=——,此時(shí)幾+4=——.
M33
綜上所述,4+〃為定值-3.
一題多解由于尸,N,B三點(diǎn)共線,設(shè)8(司,力),川與,%),
又N(2,0),所以由西〃而,。河=(2-%,-%),N月=(%2-2,為),得
》2(2-兩)=%(2-々)n聞乃一巧%=2(為一%)①.
2
%22
2-
超-3=1,"華=無(wú),
由
于
2nv2V2
2為
一
巧=1卜汶-號(hào)=9
一3
將上述兩式相減可得(%%-X2%乂與乃+々%)=(為-%)(乃十:^②-
將①代入②可得與丫2+々為=”產(chǎn)③.
①+③得2與%=生二皿,解
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