高考數(shù)學(xué)微專題集專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形(原卷版+解析)

專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形【微點綜述】在近幾年全國各地高考的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到與一個特殊的三角形——由拋物線的弦及過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形有關(guān)的問題，這個三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標(biāo)法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，能很好的提升學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，落實邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).鑒于此，微點研究阿基米德三角形。一、預(yù)備知識——拋物線上一點的切線方程（1）過拋物線上一點的切線方程為：；（2）過拋物線上一點的切線方程為：；（3）過拋物線上一點的切線方程為：；（4）過拋物線上一點的切線方程為：．下面僅以情形（3）為例給出證明，同理可證其余三種情形。證法1：設(shè)拋物線上一點的切線方程為：，代入，整理得，由，得拋物線上一點處的切線唯一，關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。證法2：，甴導(dǎo)數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。二、阿基米德三角形概念拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形（如圖1，即為阿基米德三角形）．重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二．阿基米德運用逼近的方法證明了這個結(jié)論．證明：如圖3，是中邊上的中線，則平行于軸（下面的性質(zhì)1證明會證到），過作拋物線的切線，分別交、于，則、也是阿基米德三角形，可知是中邊上的中線，且平行于軸，可得點是的中點，同理是的中點，故是的中點，則是的，由此可知：是的，是的，以此類推，圖2中藍(lán)色部分的面積是紅色部分而知的，累加至無窮盡處，便證得重要結(jié)論．三、阿基米德三角形的性質(zhì)【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．證明：設(shè)為弦AB的中點，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程，，，解得兩切線交點，又，//軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．證明：設(shè)，，為拋物線內(nèi)的定點，弦的過定點，則過的切線方程為，過的切線方程為，則設(shè)另一頂點，滿足且，故弦所在的直線方程為，又由于弦過拋物線內(nèi)的定點，故，即點的軌跡方程為直線．【性質(zhì)3】拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡．證明：由性質(zhì)2的證明可知：點的軌跡方程為直線．∵點為弦的中點，故的軌跡方程為，斜率；而弦所在的直線方程為，由性質(zhì)1的證明可知：，，故弦所在的直線方程為，斜率，又∵直線與的軌跡方程不重合，故可知兩者平行．【性質(zhì)4】若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點（若直線方程為：，則定點的坐標(biāo)為．證明：任取直線：上的一點，則有，即┅①，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則又由性質(zhì)2的證明可知：弦所在的直線方程為，把①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直線過定點．【性質(zhì)5】底邊為的阿基米德三角形的面積最大值為．證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知：（直角邊與斜邊），設(shè)直線的方程為，則，∴．【性質(zhì)6】若阿基米德三角形的底邊過焦點，頂點的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點，則，點的軌跡方程是，即為準(zhǔn)線；易驗證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點，阿基米德三角形的面積最小值為．【性質(zhì)7】在阿基米德三角形中，．證明：作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，∴，又∵，由三角形全等可得，∴，同理可得，∴．【性質(zhì)8】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，則的垂心在準(zhǔn)線上．證明：設(shè)，，，可求得過的切線交點，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點的縱坐標(biāo)為，同理可知：，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點的縱坐標(biāo)為：，即交點坐標(biāo)相同，即可得的垂心在準(zhǔn)線上．【性質(zhì)9】．證明：，而．【性質(zhì)10】的中點在拋物線上，且處的切線與平行．證明：由性質(zhì)1知，可得點坐標(biāo)為，此點顯然在拋物線上；過點的切線斜率為，結(jié)論得證．【性質(zhì)11】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖所示：由阿基米德重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二可知：的面積是弦與拋物線圍成的面積減去弦和弦與拋物線圍成的面積，即（），而的面積則是（），故的面積是面積的2倍．四、特殊的阿基米德三角形：過拋物線焦點作拋物線的弦，與拋物線交于兩點，線段的中點為，分別過兩點做拋物線的切線相交于點，得到阿基米德三角形，過作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點，該圖形滿足以下特性：結(jié)論1．點必在拋物線的準(zhǔn)線上（性質(zhì)6）．證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，設(shè)，既在直線上，也在直線上，直線的方程為，又直線經(jīng)過焦點．這就證明了該結(jié)論．結(jié)論2．//軸（性質(zhì)1）且是線段的中點．證明：由結(jié)論1的證明可計算出的縱坐標(biāo)：，，又//軸且是線段的中點．結(jié)論3．為直角三角形，且角為直角．證明：如圖，由（中位線），可得：為直角．結(jié)論4．為直角三角形，且角為直角；【證法1】如圖，，，且，可知，即為直角．【證法2】如圖，由性質(zhì)7的證明可得，，且，≌且≌，故有：，即為直角．結(jié)論5．．證明：如圖，由結(jié)論4的政法2得≌，，即．結(jié)論6．若弦的傾斜角為，則．證明：（這個結(jié)論證法很多）．五、阿基米德三角形的推廣過圓錐曲線上任意兩點分別作兩條切線相交于點,則稱△為阿基米德三角形。其中為頂角，為底邊，當(dāng)過圓錐曲線的焦點，此時△叫阿基米德焦點三角形。如下分別為橢圓、雙曲線、拋物線的阿基米德三角形。值得注意的是，橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì)，我們不再贅述。六、阿基米德三角形與蒙日圓當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時，則阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓，參見專題“蒙日圓”。七、典型例題例1．（2023高考全國乙卷理21）已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值．（1）求；（2）若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．答案：（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點，，，利用導(dǎo)數(shù)求出直線，，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點為，，∴與圓上點的距離的最小值為，解得．（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線公共點，則，∴點的坐標(biāo)滿足方程，∴直線的方程為，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，，點到直線的距離為，∴，，由已知可得，∴當(dāng)時，的面積取最大值．【評注】對于拋物線，設(shè)，是的兩條切線，，是切點，則阿基米德三角形的面積為：．例2．（2023高考新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，D為直線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點；（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積．【解析】（1）證明：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點，，即有，，切線DA的方程為，即為，切線DB的方程為，聯(lián)立兩切線方程可得，可得，即，直線AB的方程為，即，可化為，可得AB恒過定點．（2）設(shè)直線AB的方程為，由（1）可得，，AB中點，由H為切點可得E到直線AB的距離即為，可得，解得或，即有直線AB的方程為或，由可得，四邊形ADBE的面積為，由，可得，此時到直線AB的距離為，到直線AB的距離為，則四邊形ADBE的面積為．綜上可得四邊形ADBE的面積為．例3．如圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點的坐標(biāo)為時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標(biāo)原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（Ⅰ）證明：由題意設(shè)，，，．由得，得，∴，．因此直線MA的方程為，直線MB的方程為．∴，①．②由①、②得，因此，即三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，將其代入①、②并整理得：，，∴，是方程的兩根，因此，，又，∴．由弦長公式得．又，∴或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則CD的中點坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的方程為，由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，代入得，若在拋物線上，則，因此或，即或．（1）當(dāng)時，則，此時，點適合題意．（2）當(dāng)，對于，此時，，又，，∴，即，矛盾．對于，∵，此時直線CD平行于y軸，又，∴直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，∴時，不存在符合題意的M點．綜上所述，僅存在一點適合題意．例4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于AB兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線交于P，Q．（1）若，求c的值；（2）若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．【解析】（1）設(shè)過C點的直線為，∴，即，設(shè)，，，，∵，∴，即，，∴，即，∴（舍去）．（2）設(shè)過A的切線為，，∴，即，它與的交點為，又，∴，∵，∴，∴，∴點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知，∵軸，∴，∵，∴P為AB的中點．例5．如圖，設(shè)拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線，且與拋物線分別相切于兩點．（1）求△APB的重心G的軌跡方程．（2）證明∠PFA=∠PFB．【解析】（1）設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為，∴切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點的坐標(biāo)為：，∴△APB的重心G的坐標(biāo)為，∴，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：（2）解法1：∵由于P點在拋物線外，則，同理有．解法2：①當(dāng)點坐標(biāo)為，則點到直線的距離為：即，點到直線的距離為：，，．②當(dāng)時，直線AF的方程：直線BF的方程：點到直線的距離為：，同理可得到點到直線的距離為：，，．例6．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為Ｍ．（Ⅰ）證明·為定值；（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．【解析】(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x，∴過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)，∴·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0，∴·為定值，其值為0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝＝＝＋．∵|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是S＝|AB||FM|＝(＋)3，由＋≥2知S≥4，且當(dāng)λ＝1時，S取得最小值4．例7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．【解析】（1）設(shè)過C點的直線為，∴，即，設(shè)A，=，，∵，∴，即，∴，即∴（2）設(shè)過Q的切線為，，∴，即，它與的交點為M，又，∴Q，∵，∴，∴M，∴點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，∵PQ軸，∴，∵，∴P為AB的中點．例8．（2008山東卷理22）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．（Ⅰ）求證：三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)點的坐標(biāo)為時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標(biāo)原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．由得，得，∴，．因此直線的方程為，直線的方程為．∴，①．②由①、②得，因此，即，∴三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，將其代入①、②并整理得：，，∴是方程的兩根，因此，，又，∴．由弦長公式得，又，∴或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則的中點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點在直線上，并注意到點也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或，即或．（1）當(dāng)時，則，此時，點適合題意．（2）當(dāng)，對于，此時，，又，，∴，即，矛盾．對于，∵，此時直線平行于軸，又，∴直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，∴時，不存在符合題意的點．綜上所述，僅存在一點適合題意．【針對訓(xùn)練】1．被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287~前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二，這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系中，是焦點為的拋物線上的任意一點，且的最小值是．若直線與拋物線交于，兩點，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為________．(2023·河南五市二模）2．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A?B兩點，分別過A?B兩點作拋物線的切線，相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且為直角；③.已知P為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為___________.3．設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB.4．已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）證明：為定值；（2）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．5．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為,經(jīng)過上任意一點作拋物線的兩條切線，切點分別為、.（1）求證：以為直徑的圓經(jīng)過點；（2）比較與的大小.6．設(shè)點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點．（1）求證：三點共線；（2）過點作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程．專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形【微點綜述】在近幾年全國各地高考的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到與一個特殊的三角形——由拋物線的弦及過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形有關(guān)的問題，這個三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標(biāo)法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，能很好的提升學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，落實邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).鑒于此，微點研究阿基米德三角形。一、預(yù)備知識——拋物線上一點的切線方程（1）過拋物線上一點的切線方程為：；（2）過拋物線上一點的切線方程為：；（3）過拋物線上一點的切線方程為：；（4）過拋物線上一點的切線方程為：．下面僅以情形（3）為例給出證明，同理可證其余三種情形。證法1：設(shè)拋物線上一點的切線方程為：，代入，整理得，由，得拋物線上一點處的切線唯一，關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。證法2：，甴導(dǎo)數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。二、阿基米德三角形概念拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形（如圖1，即為阿基米德三角形）．重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二．阿基米德運用逼近的方法證明了這個結(jié)論．證明：如圖3，是中邊上的中線，則平行于軸（下面的性質(zhì)1證明會證到），過作拋物線的切線，分別交、于，則、也是阿基米德三角形，可知是中邊上的中線，且平行于軸，可得點是的中點，同理是的中點，故是的中點，則是的，由此可知：是的，是的，以此類推，圖2中藍(lán)色部分的面積是紅色部分而知的，累加至無窮盡處，便證得重要結(jié)論．三、阿基米德三角形的性質(zhì)【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．證明：設(shè)為弦AB的中點，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程，，，解得兩切線交點，又，//軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．證明：設(shè)，，為拋物線內(nèi)的定點，弦的過定點，則過的切線方程為，過的切線方程為，則設(shè)另一頂點，滿足且，故弦所在的直線方程為，又由于弦過拋物線內(nèi)的定點，故，即點的軌跡方程為直線．【性質(zhì)3】拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡．證明：由性質(zhì)2的證明可知：點的軌跡方程為直線．∵點為弦的中點，故的軌跡方程為，斜率；而弦所在的直線方程為，由性質(zhì)1的證明可知：，，故弦所在的直線方程為，斜率，又∵直線與的軌跡方程不重合，故可知兩者平行．【性質(zhì)4】若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點（若直線方程為：，則定點的坐標(biāo)為．證明：任取直線：上的一點，則有，即┅①，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則又由性質(zhì)2的證明可知：弦所在的直線方程為，把①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直線過定點．【性質(zhì)5】底邊為的阿基米德三角形的面積最大值為．證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知：（直角邊與斜邊），設(shè)直線的方程為，則，∴．【性質(zhì)6】若阿基米德三角形的底邊過焦點，頂點的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點，則，點的軌跡方程是，即為準(zhǔn)線；易驗證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點，阿基米德三角形的面積最小值為．【性質(zhì)7】在阿基米德三角形中，．證明：作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，∴，又∵，由三角形全等可得，∴，同理可得，∴．【性質(zhì)8】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，則的垂心在準(zhǔn)線上．證明：設(shè)，，，可求得過的切線交點，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點的縱坐標(biāo)為，同理可知：，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點的縱坐標(biāo)為：，即交點坐標(biāo)相同，即可得的垂心在準(zhǔn)線上．【性質(zhì)9】．證明：，而．【性質(zhì)10】的中點在拋物線上，且處的切線與平行．證明：由性質(zhì)1知，可得點坐標(biāo)為，此點顯然在拋物線上；過點的切線斜率為，結(jié)論得證．【性質(zhì)11】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖所示：由阿基米德重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二可知：的面積是弦與拋物線圍成的面積減去弦和弦與拋物線圍成的面積，即（），而的面積則是（），故的面積是面積的2倍．四、特殊的阿基米德三角形：過拋物線焦點作拋物線的弦，與拋物線交于兩點，線段的中點為，分別過兩點做拋物線的切線相交于點，得到阿基米德三角形，過作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點，該圖形滿足以下特性：結(jié)論1．點必在拋物線的準(zhǔn)線上（性質(zhì)6）．證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，設(shè)，既在直線上，也在直線上，直線的方程為，又直線經(jīng)過焦點．這就證明了該結(jié)論．結(jié)論2．//軸（性質(zhì)1）且是線段的中點．證明：由結(jié)論1的證明可計算出的縱坐標(biāo)：，，又//軸且是線段的中點．結(jié)論3．為直角三角形，且角為直角．證明：如圖，由（中位線），可得：為直角．結(jié)論4．為直角三角形，且角為直角；【證法1】如圖，，，且，可知，即為直角．【證法2】如圖，由性質(zhì)7的證明可得，，且，≌且≌，故有：，即為直角．結(jié)論5．．證明：如圖，由結(jié)論4的政法2得≌，，即．結(jié)論6．若弦的傾斜角為，則．證明：（這個結(jié)論證法很多）．五、阿基米德三角形的推廣過圓錐曲線上任意兩點分別作兩條切線相交于點,則稱△為阿基米德三角形。其中為頂角，為底邊，當(dāng)過圓錐曲線的焦點，此時△叫阿基米德焦點三角形。如下分別為橢圓、雙曲線、拋物線的阿基米德三角形。值得注意的是，橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì)，我們不再贅述。六、阿基米德三角形與蒙日圓當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時，則阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓，參見專題“蒙日圓”。七、典型例題例1．（2023高考全國乙卷理21）已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值．（1）求；（2）若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．答案：（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點，，，利用導(dǎo)數(shù)求出直線，，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點為，，∴與圓上點的距離的最小值為，解得．（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線公共點，則，∴點的坐標(biāo)滿足方程，∴直線的方程為，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，，點到直線的距離為，∴，，由已知可得，∴當(dāng)時，的面積取最大值．【評注】對于拋物線，設(shè)，是的兩條切線，，是切點，則阿基米德三角形的面積為：．例2．（2023高考新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，D為直線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點；（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積．【解析】（1）證明：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點，，即有，，切線DA的方程為，即為，切線DB的方程為，聯(lián)立兩切線方程可得，可得，即，直線AB的方程為，即，可化為，可得AB恒過定點．（2）設(shè)直線AB的方程為，由（1）可得，，AB中點，由H為切點可得E到直線AB的距離即為，可得，解得或，即有直線AB的方程為或，由可得，四邊形ADBE的面積為，由，可得，此時到直線AB的距離為，到直線AB的距離為，則四邊形ADBE的面積為．綜上可得四邊形ADBE的面積為．例3．如圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點的坐標(biāo)為時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標(biāo)原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（Ⅰ）證明：由題意設(shè)，，，．由得，得，∴，．因此直線MA的方程為，直線MB的方程為．∴，①．②由①、②得，因此，即三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，將其代入①、②并整理得：，，∴，是方程的兩根，因此，，又，∴．由弦長公式得．又，∴或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則CD的中點坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的方程為，由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，代入得，若在拋物線上，則，因此或，即或．（1）當(dāng)時，則，此時，點適合題意．（2）當(dāng)，對于，此時，，又，，∴，即，矛盾．對于，∵，此時直線CD平行于y軸，又，∴直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，∴時，不存在符合題意的M點．綜上所述，僅存在一點適合題意．例4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于AB兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線交于P，Q．（1）若，求c的值；（2）若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．【解析】（1）設(shè)過C點的直線為，∴，即，設(shè)，，，，∵，∴，即，，∴，即，∴（舍去）．（2）設(shè)過A的切線為，，∴，即，它與的交點為，又，∴，∵，∴，∴，∴點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知，∵軸，∴，∵，∴P為AB的中點．例5．如圖，設(shè)拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線，且與拋物線分別相切于兩點．（1）求△APB的重心G的軌跡方程．（2）證明∠PFA=∠PFB．【解析】（1）設(shè)切點A、B坐標(biāo)分別為，∴切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點的坐標(biāo)為：，∴△APB的重心G的坐標(biāo)為，∴，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：（2）解法1：∵由于P點在拋物線外，則，同理有．解法2：①當(dāng)點坐標(biāo)為，則點到直線的距離為：即，點到直線的距離為：，，．②當(dāng)時，直線AF的方程：直線BF的方程：點到直線的距離為：，同理可得到點到直線的距離為：，，．例6．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為Ｍ．（Ⅰ）證明·為定值；（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．【解析】(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x，∴過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)，∴·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0，∴·為定值，其值為0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝＝＝＋．∵|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是S＝|AB||FM|＝(＋)3，由＋≥2知S≥4，且當(dāng)λ＝1時，S取得最小值4．例7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．【解析】（1）設(shè)過C點的直線為，∴，即，設(shè)A，=，，∵，∴，即，∴，即∴（2）設(shè)過Q的切線為，，∴，即，它與的交點為M，又，∴Q，∵，∴，∴M，∴點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，∵PQ軸，∴，∵，∴P為AB的中點．例8．（2008山東卷理22）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．（Ⅰ）求證：三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)點的坐標(biāo)為時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點，使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標(biāo)原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．由得，得，∴，．因此直線的方程為，直線的方程為．∴，①．②由①、②得，因此，即，∴三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，將其代入①、②并整理得：，，∴是方程的兩根，因此，，又，∴．由弦長公式得，又，∴或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則的中點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點在直線上，并注意到點也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或，即或．（1）當(dāng)時，則，此時，點適合題意．（2）當(dāng)，對于，此時，，又，，∴，即，矛盾．對于，∵，此時直線平行于軸，又，∴直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，∴時，不存在符合題意的點．綜上所述，僅存在一點適合題意．【針對訓(xùn)練】1．被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287~前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二，這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系中，是焦點為的拋物線上的任意一點，且的最小值是．若直線與拋物線交于，兩點，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為________．(2023·河南五市二模）2．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A?B兩點，分別過A?B兩點作拋物線的切線，相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且為直角；③.已知P為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為___________.3．設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB.4．已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）證明：為定值；（2）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．5．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為,經(jīng)過上任意一點作拋物線的兩條切線，切點分別為、.（1）求證：以為直徑的圓經(jīng)過點；（2）比較與的大小.6．設(shè)點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點．（1）求證：三點共線；（2）過點作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程．參考答案：1．分析：由題意求得到拋物線，聯(lián)立，解得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得拋物線過點，點的切線方程，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而得到所以圍成的三角形面積為，結(jié)合題意，即可求得封閉圖形的面積．【詳解】由的最小值是，可得，解得，所以拋物線的方程是，聯(lián)立方程組，解得，又由拋物線可化為，可得，設(shè)拋物線在點的切線斜率分別為，，則，，所以拋物線過點，點的切線方程分別是和，聯(lián)立方程組，解得，所以拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積為，所以弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積．故答案為：.2．4分析：設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求得，通過PF⊥AB求得，進(jìn)而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.【詳解】易知，焦點，準(zhǔn)線方程，直線斜率必然存在，設(shè)，，，聯(lián)立得，顯然；又PF⊥AB可得，即，化簡得，過作軸交于點，如圖所示：則，所以為中點，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故三角形PAB的面積的最小值為4，故答案為：43．(1)(2)見解析【詳解】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題．解：（1）設(shè)切點，坐標(biāo)分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標(biāo)為，，所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：，即．（2）方法1：因為，，．由于點在拋物線外，則．，同理有，