人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(原卷版+解析)

3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠局R點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．知識點(diǎn)詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5．單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7．利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8．利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點(diǎn)二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2．一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3．反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4．二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點(diǎn)三、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個．【題型歸納目錄】題型一：單調(diào)性的概念題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系題型七：求函數(shù)的最值題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【典型例題】題型一：單調(diào)性的概念例1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對任意正數(shù)a?b，都有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是增函數(shù)，且 B．是増函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且 D．是減函數(shù)，且【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增例3．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋阎獮樯系臏p函數(shù)，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)例5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0例6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若的定義域和值域都是，求的最大值．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大??？（作差）（3）如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）例8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時(shí)，，求的值.例9．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法加以證明.例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷并證明在的單調(diào)性.例11．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，且(1)求解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.例12．（2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性，并證明；(2)若，求函數(shù)在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．例14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例15．（2022·四川巴中·高一期中）的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．例16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）畫出下列函數(shù)的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)．例17．（2022·黑龍江·哈九中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域（直接寫出結(jié)果即可）.例18．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是______，單調(diào)遞減區(qū)間是______．例19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______．例20．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例21．（2022·海南·瓊山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．例22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).若的減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)a的值為___________；若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.故答案為：；.例23．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的值為___________.例24．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例25．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例26．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例27．（2022·黑龍江·雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例28．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例29．（2022·廣西·南寧市東盟中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式例30．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．例31．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例32．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例33．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）例34．（2022·全國·高一單元測試）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，，，都有，，則滿足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．例35．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例36．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系例37．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，數(shù)形結(jié)合．例38．（多選題）（2022·全國·高一）若函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且則（

）A．f(0)＞f(3) B．?x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，則1＜m＜3例39．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．例40．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，（其中e=2.71828…），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．例41．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在是增函數(shù)，若，則有

（

）A． B．C． D．題型七：求函數(shù)的最值例42．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．例43．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）檢驗(yàn)下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值點(diǎn)．(1)；(2)；(3)；(4)．例44．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足下列3個條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞減；③函數(shù)過定點(diǎn)．(1)請猜測出一個滿足題意的函數(shù)，并寫出其解析式；(2)求（1）中所猜函數(shù)在上的最大值．例45．（2022·浙江·溫州市第二十二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.例46．（2022·浙江·金華市云富高級中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=+的最大值為__________.例47．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或例48．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．例49．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對任意的，，都有，則稱滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足“L條件”的是（

）A．， B．，C．， D．，例50．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明例51．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢θ我庹龑?shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進(jìn)行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．例52．（2022·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的的取值集合．例53．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對一切，，都有，?dāng)時(shí)，總有.(1)求的值；(2)證明：是定義域上的減函數(shù)；(3)若，解不等式.例54．（2022·河北滄州·高一開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)都有；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；(3)如果存在正數(shù)，使不等式有解，求正數(shù)的取值范圍.例55．（2022·遼寧·育明高中高一期末）已知函數(shù)對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)若關(guān)于a的方程的一個實(shí)根是1，求的值；(3)在（2）的條件下，已知，解關(guān)于x的不等式．例56．（2022·湖北黃石·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．例57．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，對定義域的任意都有，且當(dāng)時(shí)，，；(1)求證：；(2)試判斷在的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；(3)解不等式題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例58．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并寫出的函數(shù)的表達(dá)式.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對稱軸的位置不確定時(shí)，則需要進(jìn)行分類討論．例59．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中高一期中）1.已知二次函數(shù)滿足，且的最大值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，求在區(qū)間上的最大值．例60．（2022·吉林油田高級中學(xué)高一期中）已知是二次函數(shù)，且滿足，，．(1)求函數(shù)的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，，，求函數(shù)的最小值．例61．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當(dāng)時(shí)，求的最大值.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為0，最大值為3 B．的最小值為，最大值為0C．的最小值為，最大值為3 D．既無最小值，也無最大值3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．244．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，,則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·江蘇常州·高一期中）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高一期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域、值域分別是， B．單調(diào)減區(qū)間是C．定義域、值域分別是， D．單調(diào)減區(qū)間是10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C．0 D．112．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，若對任意，存在正數(shù)M，使得成立，則稱函數(shù)是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（

）A．

B．C．

D．三、填空題13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）對任意，函數(shù)，則的最小值是_______．15．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）函數(shù)在上是增函數(shù)，則a的取值范圍為________．16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．四、解答題17．（2022·全國·高一單元測試）已知．(1)用分段函數(shù)的形式表示；(2)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．18．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)，已知函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)的對稱軸為.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.19．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，，在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)對于，成立；(2)對于，，成立．21．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，利用函數(shù)圖象解決下列問題．(1)若，試比較與的大小．(2)若函數(shù)在區(qū)間D上的值域也為D，則稱函數(shù)具有較好的保值性，這個區(qū)間稱為保值區(qū)間，保值區(qū)間有三種形式：，，．試問是否具有較好的保值性？若具有，求出保值區(qū)間．22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值．3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠局R點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．知識點(diǎn)詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5．單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7．利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8．利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點(diǎn)二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2．一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3．反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4．二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點(diǎn)三、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個．【題型歸納目錄】題型一：單調(diào)性的概念題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系題型七：求函數(shù)的最值題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【典型例題】題型一：單調(diào)性的概念例1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對任意正數(shù)a?b，都有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是增函數(shù)，且 B．是増函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且 D．是減函數(shù)，且【答案】D【解析】法一：取，滿足題干條件，則是減函數(shù)，且；法二：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，由已知，.所以，即，所以是減函數(shù)，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.例3．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，已知為上的減函數(shù)，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，反之不成立，所以是的的充分不必要條件．故選：A例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)不等量的關(guān)系，兩個相同單調(diào)性的函數(shù)相加單調(diào)性不變，選項(xiàng)A,B正確；選項(xiàng)D:為增函數(shù)，則為減函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，選項(xiàng)D正確；選選C:若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則的增減性不確定.例如為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，故不能確定的單調(diào)性.故選:C例5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正確的是：.故選：.例6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的單調(diào)性定義知，若函數(shù)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則，與同號，由此可知，選項(xiàng)A，B，D都正確.若，則，故選項(xiàng)C不正確.故選：C.題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若的定義域和值域都是，求的最大值．【解析】（1）證明：任取，且，則，因?yàn)?，，所以，所以，故，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榈亩x域和值域都是，所以，所以m，n為關(guān)于x的方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，化簡方程可得，則，解得，所以因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值．最大值為．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大??？（作差）（3）如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）例8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時(shí)，，求的值.【解析】（1）證明：若，則，當(dāng)時(shí)，，所以所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）①當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；②當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則滿足：，聯(lián)立，即解得，不滿足條件；③當(dāng)時(shí)，令，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；同理可證，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)最小值應(yīng)在處取得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最小值為，所以，解得，符合條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最小值為，所以，解得，不符合條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最小值為，所以，解得：，不符合條件；綜上，.例9．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法加以證明.【解析】（1）因?yàn)椋?，所?（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，所以，因?yàn)?，所以所以，即，所以在上單調(diào)遞增.例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷并證明在的單調(diào)性.【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：任取，所以因?yàn)?，所以，所以所以原函?shù)單調(diào)遞增。例11．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，且(1)求解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.【解析】(1)且，解得.所以函數(shù)的解析式為.(2)∵.∵，，所以，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.例12．（2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性，并證明；(2)若，求函數(shù)在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)若，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在上的最大值為.(3)，使得成立，即，由（2）知，故，解得或.例13．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．【解析】（1）任取，且，則，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，，由可得，解得，故不等式的解集為例14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由如下：任取，，且，．因?yàn)?，所以，，，所以所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例15．（2022·四川巴中·高一期中）的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得或，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以在上遞增，在上遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．例16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）畫出下列函數(shù)的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)．【解析】（1）畫出的圖象如圖所示，可得其單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2），作出該函數(shù)的圖象如圖所示，觀察圖象，知該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．例17．（2022·黑龍江·哈九中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域（直接寫出結(jié)果即可）.【解析】（1）函數(shù)的解析式．，；（2）因?yàn)榍?，所以，解得，，解得（舍去），，解得，綜上或．（3）畫出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域．例18．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是______，單調(diào)遞減區(qū)間是______．【答案】

，

，【解析】由函數(shù)圖象可得：單調(diào)遞增區(qū)間為：，；單調(diào)遞減區(qū)間為：，故答案為：，；，例19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______．【答案】和.【解析】解析:時(shí)，，對稱軸，開口向上，在遞增，時(shí)，，對稱軸，開口向下，在遞增，函數(shù)的遞增區(qū)間是和.故答案為：和.例20．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.【答案】【解析】函數(shù)是由函數(shù)和組成的復(fù)合函數(shù)，，解得或，函數(shù)的定義域是或，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．故答案為：.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例21．（2022·海南·瓊山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上單調(diào)需滿足或，即或，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．例22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).若的減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)a的值為___________；若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】

【解析】由題意知，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；.例23．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)的增區(qū)間是，所以，所以.故答案為：.例24．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)a=0時(shí)，，不符合題意.當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)，則函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.當(dāng)a<0時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得a<0.綜上，a的取值范圍為.故B，C，D錯誤.故選：A.例25．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上遞減，且，解得，故選：.例26．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，解得，故選：B例27．（2022·黑龍江·雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，即；故選：B例28．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的對稱軸為，則要想在上不單調(diào)，則，解得：故選：B例29．（2022·廣西·南寧市東盟中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以故選：C題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式例30．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．例31．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，不妨設(shè)，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，，不等式兩邊同除以得：，因?yàn)?，所以，即，根?jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：故選：B例32．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.例33．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【解析】因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，所以由，故選：A例34．（2022·全國·高一單元測試）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，，，都有，，則滿足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則，∴.令，由單調(diào)性定義可知，為上的增函數(shù).∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即x的取值范圍為.故選：B.例35．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：B例36．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即且，即且，解得且或，即故答案為：.題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系例37．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，數(shù)形結(jié)合．例38．（多選題）（2022·全國·高一）若函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且則（

）A．f(0)＞f(3) B．?x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，則1＜m＜3【答案】AC【解析】由，，可得圖象關(guān)于對稱，由，，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，最小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對稱性得：距離越近函數(shù)值越小，則顯然A正確，B不正確；對C，，C正確；對D，時(shí)，距更遠(yuǎn)，則，解得或，D不正確．故選：AC.例39．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意為偶函數(shù)，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且,所以，所以，故選：B．例40．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，（其中e=2.71828…），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，而，所以，所以，故選：B.例41．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在是增函數(shù)，若，則有

（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，又函數(shù)在上是增函數(shù)，故故選：C.題型七：求函數(shù)的最值例42．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．例43．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）檢驗(yàn)下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值點(diǎn)．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【解析】(1)任取，設(shè)則由，知所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，且(2)任取，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上為增減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，且(3)任取，設(shè)，則由時(shí)，知，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，且(4)任取，設(shè)，則由時(shí)，知，則在上為增函數(shù)，所以函數(shù)無最值.例44．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足下列3個條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞減；③函數(shù)過定點(diǎn)．(1)請猜測出一個滿足題意的函數(shù)，并寫出其解析式；(2)求（1）中所猜函數(shù)在上的最大值．【解析】（1）由的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱知為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，可猜想，，猜測一個滿足題意的函數(shù)為；（2）易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)例45．（2022·浙江·溫州市第二十二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，即，解得：所以，設(shè)且，所以，因?yàn)榍遥?，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，函數(shù)的值域是故答案為：例46．（2022·浙江·金華市云富高級中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=+的最大值為__________.【答案】【解析】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：例47．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得．綜上，a的值為故選:B.例48．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞減，，解得：.故選：B.例49．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對任意的，，都有，則稱滿足“L條件”，則下列函數(shù)不滿足“L條件”的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】由定義知函數(shù)的最大值與最小值差的絕對值小于1.選項(xiàng)A，，，取，，則，不滿足“L條件”；選項(xiàng)B，，，任取，，其中，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為，所以對任意的，，都有，所以，滿足“L條件”；選項(xiàng)C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以的最大值為，最小值為，，所以，不滿足“L條件”；選項(xiàng)D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然不滿足“L條件”.故選：ACD例50．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明例51．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．【解析】證明：任取、，且，則．因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)是上的增函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進(jìn)行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．例52．（2022·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的的取值集合．【解析】(1)得，則，而，且，則；(2)取定義域中的任意的，，且，，當(dāng)時(shí)，，，，在上為減函數(shù)．(3)由條件①及（1）的結(jié)果得，，，，，解得，故的取值集合為.例53．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對一切，，都有，?dāng)時(shí)，總有.(1)求的值；(2)證明：是定義域上的減函數(shù)；(3)若，解不等式.【解析】（1）令，則，解得：；（2）設(shè)，則，，，，是定義域上的減函數(shù)；（3）由得：，即，又，，是定義域上的減函數(shù)，，解得：；又，，的解集為.例54．（2022·河北滄州·高一開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)都有；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；(3)如果存在正數(shù)，使不等式有解，求正數(shù)的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題意，令，有對任意都成立，所以.因?yàn)榭傻?，?2)在上是單調(diào)遞減的函數(shù)，理由如下：對任意的，有：，，所以在上是單調(diào)遞減的函數(shù).(3)，由于在上是單調(diào)遞減，只需要有解，即，又因?yàn)槭钦龜?shù)，只需要，即或（舍）當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸是，一定有，，所以在內(nèi)必定有解.綜上可知，的取值范圍是.例55．（2022·遼寧·育明高中高一期末）已知函數(shù)對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)若關(guān)于a的方程的一個實(shí)根是1，求的值；(3)在（2）的條件下，已知，解關(guān)于x的不等式．【解析】(1)依題意，且時(shí)，，令，則，，任取，，由于，所以，所以，所以在上遞增.(2)由（1）知，在上遞增，，.(3)依題意，在上遞增，.，，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.例56．（2022·湖北黃石·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，令，得，即；?）由題意知，，∴由，可得，又在R上單調(diào)遞增，∴，即，∴的取值范圍是．例57．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，對定義域的任意都有，且當(dāng)時(shí)，，；(1)求證：；(2)試判斷在的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；(3)解不等式【解析】（1）令，得，解得再令，則所以（2）在上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，所以由（1）知所以所以在上為增函數(shù).（3）因?yàn)?，所以，得，又因?yàn)?，所以，所以由上可知，是定義在上為增函數(shù)所以，原不等式，解得，即原不等式的解集為.題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例58．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并寫出的函數(shù)的表達(dá)式.【解析】（1）設(shè)，，又，，由知，（2），對稱軸為：，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，所以【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對稱軸的位置不確定時(shí)，則需要進(jìn)行分類討論．例59．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中高一期中）1.已知二次函數(shù)滿足，且的最大值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，求在區(qū)間上的最大值．【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)，因?yàn)?，且的最大值為，所以，解得：，故二次函?shù)(2)，對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故綜上：例60．（2022·吉林油田高級中學(xué)高一期中）已知是二次函數(shù)，且滿足，，．(1)求函數(shù)的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，，，求函數(shù)的最小值．【解析】(1)設(shè)，，，即，解得，，則.證明：任取，，且因?yàn)?，則，所以，∴在上單調(diào)遞增．(2)令，則由（1）知，則，記，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故．例61．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當(dāng)時(shí)，求的最大值.【解析】（1）對一切實(shí)數(shù)，都有成立，則二次函數(shù)的對稱軸為直線，又，則二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，因此，；（2），對稱軸為直線，，則.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，則，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，，，且，，則，整理得，解得，此時(shí)，.因此，，則實(shí)數(shù)的最大值為.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：A2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為0，最大值為3 B．的最小值為，最大值為0C．的最小值為，最大值為3 D．既無最小值，也無最大值【答案】C【解析】函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．結(jié)合函數(shù)圖像可知，函數(shù)的最大值為3，最小值為．故選：C.3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，m則（

）A．4 B．6 C．10 D．24【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是減函數(shù).所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故選：C.4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.由一次函數(shù)的性質(zhì)知：在上為增函數(shù)，故錯誤；B.由二次函數(shù)的性質(zhì)知：在的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在遞增，在上遞減，故錯誤；C.由反比例函數(shù)的性質(zhì)知：在上遞增，在遞增，則在上為增函數(shù)，故錯誤；D.由知：函數(shù)在上為減函數(shù)，故正確；故選：D.5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，,則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上單調(diào)遞減，則可變形為，則，解得，所以的取值范圍為，,故選：C6．（2022·江蘇常州·高一期中）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以2?m<02?m+2m?7≤?1，解得.故選：A7．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高一期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，故或，同理或，，，故.故選：