湖南省師大附中梅溪湖中學2025屆九上數學期末教學質量檢測試題含解析

湖南省師大附中梅溪湖中學2025屆九上數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在菱形中，，，為中點，是上一點，為上一點，且，，交于點，關于下列結論，正確序號的選項是（）①，②，③④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④2．如圖，已知一次函數y=ax+b和反比例函數y=的圖象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）兩點，則不等式ax+b＜的解集為（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞13．若x＝2是關于x的一元二次方程x2﹣2a＝0的一個根，則a的值為（）A．3 B．2 C．4 D．54．已知，則的值是（）A． B． C． D．5．在數軸上，點A所表示的實數為3，點B所表示的實數為a，⊙A的半徑為2，下列說法中不正確的是（）A．當1<a<5時，點B在⊙A內B．當a<5時，點B在⊙A內C．當a<1時，點B在⊙A外D．當a>5時，點B在⊙A外6．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當x=1時，函數y有最大值，設（x1，y1），（x2，y2）是這個函數圖象上的兩點，且1＜x1＜x2，那么（）A．a＞0，y1＞y2B．a＞0，y1＜y2C．a＜0，y1＞y2D．a＜0，y1＜y27．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，則EC的長是（）A．4 B．2 C． D．8．在一個不透明的袋子里裝有若干個白球和15個黃球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經過很多次重復試驗，發(fā)現摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.75，則袋中白球有（）A．5個 B．15個 C．20個 D．35個9．若整數a使關于x的分式方程＝2有整數解，且使關于x的不等式組至少有4個整數解，則滿足條件的所有整數a的和是（）A．﹣14 B．﹣17 C．﹣20 D．﹣2310．方程的根是（）A． B． C．， D．，二、填空題(每小題3分,共24分)11．在中，，,，則的長是__________．12．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=1．給出下列結論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正確的是（寫出所有正確結論的序號）．13．一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；如果購買樹苗超過60棵，在一定范圍內，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價降低0.5元，若該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，設該校共購買了棵樹苗，則可列出方程__________．14．如圖，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點（不與A、B重合），過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為▲．15．函數的自變量的取值范圍是．16．設、是關于的方程的兩個根，則__________．17．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是______．18．如果函數是關于的二次函數，則__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′．（1）在正方形網格中，畫出△AB′C′；（2）計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積．20．（6分）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠0），線段AB的兩個端點坐標分別為A(﹣1，2)，B(2，2)．（1）該二次函數的圖象的對稱軸是直線；（2）當a＝﹣1時，若點B(2，2)恰好在此函數圖象上，求此二次函數的關系式；（3）當a＝﹣1時，當此二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點時，求k的取值范圍；（4）若k＝a+3，過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，當﹣1＜x＜2，此二次函數圖象與四邊形APQB的邊交點個數是大于0的偶數時，直接寫出k的取值范圍．21．（6分）如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30分鐘后到達B處，此時再測得該島在北偏東30°的方向上，（1）求B到C的距離；（2）如果在C島周圍9海里的區(qū)域內有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由（≈1.732）．22．（8分）有四組家庭參加親子活動，A、B、C、D分別代表四個家長，他們的孩子分別是a、b、c、d，若主持人隨機從家長、孩子中各選擇一個，請你用樹狀圖或列表的方法求出選中的兩人剛好是同一個家庭的概率.23．（8分）解方程：x+3＝x（x+3）24．（8分）如圖，在矩形的邊上取一點，連接并延長和的延長線交于點，過點作的垂線與的延長線交于點，與交于點，連接．（1）當且時，求的長；（2）求證：；（3）連接，求證：．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第二象限內，點B在x軸上，∠BAO＝30°，AB＝BO，反比例函數y＝(x＜0)的圖象經過點A（1）求∠AOB的度數（2）若OA=，求點A的坐標（3）若S△ABO＝，求反比例函數的解析式26．（10分）如圖，直線y＝k1x+b與雙曲線y＝交于點A(1，4)，點B(3，m)．（1）求k1與k2的值；（2）求△AOB的面積．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】依據，，即可得到；依據，即可得出；過作于，依據，根據相似三角形的性質得到；依據，，可得，進而得到．【詳解】解：∵菱形中，，．∴，，∴，故①正確；∴，又∵，為中點，，∴，即，又∵，∴∵，∴，∴，∴，故②正確；如圖，過作于，則，∴，，，∴中，，又∵，∴，故③正確；∵，，，，∴，，∴，∴，故④錯誤；故選：B．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質、菱形的性質、等邊三角形的性質的綜合運用．解題關鍵在于掌握判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．2、D【解析】分析：根據一次函數圖象與反比例函數圖象的上下位置關系結合交點坐標，即可得出不等式的解集．詳解：觀察函數圖象，發(fā)現：當-2＜x＜0或x＞1時，一次函數圖象在反比例函數圖象的下方，

∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1．

故選D．點睛：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是根據兩函數圖象的上下位置關系解不等式．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據兩函數圖象的上下位置關系結合交點坐標得出不等式的解集是關鍵．3、A【分析】把x＝2代入已知方程，列出關于a的新方程，通過解新方程可以求得a的值．【詳解】∵x＝2是關于x的一元二次方程x2﹣2a＝0的一個根，∴22×﹣2a＝0，解得a＝1．即a的值是1．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．4、A【解析】先把二次根式化簡變形，然后把a、b的值代入計算，即可求出答案.【詳解】解：∵，∴===；故選：A.【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式進行化簡.5、B【解析】試題解析：由于圓心A在數軸上的坐標為3，圓的半徑為2，∴當d=r時，⊙A與數軸交于兩點：1、5，故當a=1、5時點B在⊙A上；當d＜r即當1＜a＜5時，點B在⊙A內；當d＞r即當a＜1或a＞5時，點B在⊙A外．由以上結論可知選項A、C、D正確，選項B錯誤．故選B．點睛：若用d、r分別表示點到圓心的距離和圓的半徑，則當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．6、C【解析】由當x=2時，函數y有最大值，根據拋物線的性質得a＜0，拋物線的對稱軸為直線x=2，當x＞2時，y隨x的增大而減小，所以由2＜x2＜x2得到y(tǒng)2＞y2．【詳解】∵當x=2時，函數y有最大值，∴a＜0，拋物線的對稱軸為直線x=2．∵2＜x2＜x2，∴y2＞y2．故選C．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上的點滿足其解析式．也考查了二次函數的性質．7、C【分析】根據平行線分線段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．【詳解】解：∵DE∥AC，∴DB：AB＝BE：BC，∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，∴4：6＝3：BC，解得：BC＝，∴EC＝BC﹣BE＝．故選C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是注意掌握各比例線段的對應關系．8、A【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：設袋中白球有x個，根據題意得：=0.75，解得：x=5，經檢驗：x=5是分式方程的解，故袋中白球有5個．故選A．【點睛】此題考查了利用概率的求法估計總體個數，利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=是解題關鍵．9、A【解析】根據不等式組求出a的范圍，然后再根據分式方程求出a的范圍，從而確定a滿足條件的所有整數值，求和即可.【詳解】不等式組整理得：,由不等式組至少有4個整數解，得到a+2＜﹣1，解得：a＜﹣3，分式方程去分母得：12﹣ax＝2x+4，解得：x＝，∵分式方程有整數解且a是整數∴a+2＝±1、±2、±4、±8，即a＝﹣1、﹣3、0、﹣4、2、﹣6、6、﹣10，又∵x＝≠﹣2，∴a≠﹣6，由a＜﹣3得：a＝﹣10或﹣4，∴所有滿足條件的a的和是﹣14，故選：A．【點睛】本題主要考查含參數的分式方程和一元一次不等式組的綜合，熟練掌握分式方程和一元一次不等式組的解法，是解題的關鍵，特別注意，要檢驗分式方程的增根.10、D【分析】先移項然后通過因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】或故選：D．【點睛】本題主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】根據∠A的余弦值列出比例式即可求出AC的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，，∴AC=故答案為1．【點睛】此題考查是已知一個角的余弦值，求直角三角形的邊長，掌握余弦的定義是解決此題的關鍵．12、①②④．【解析】①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED，故①正確；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2，故②正確；③∵AF=1，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=，故③錯誤；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF?AG=×6×，∵△ADF∽△AED，∴，∴=，∴S△AED=，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=；故④正確．故答案為①②④．13、【分析】根據“總售價=每棵的售價×棵數”列方程即可．【詳解】解：根據題意可得：故答案為：．【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用，掌握實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．14、1．【分析】利用垂徑定理和中位線的性質即可求解.【詳解】∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂徑定理得：AC=PC，PD=BD，∴CD是△APB的中位線，∴CD=AB=×8=1．故答案為115、x＞1【詳解】解：依題意可得，解得，所以函數的自變量的取值范圍是16、1【分析】根據根與系數的關系確定和，然后代入計算即可．【詳解】解：∵∴=-3,=-5∴-3-(-5)=1故答案為1．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，牢記對于(a≠0),則有：，是解答本題的關鍵．17、1【分析】首先證明AB=AC=a，根據條件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到點A的最大距離即可解決問題．【詳解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如圖延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=1，∴a的最大值為1．故答案為1．【點睛】圓外一點到圓上一點的距離最大值為點到圓心的距離加半徑，最小值為點到圓心的距離減去半徑．18、1【分析】根據二次函數的定義得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．【詳解】∵函數是關于的二次函數，

∴且，解方程得：或(舍去)，

∴．

故答案為：1．【點睛】本題考查二次函數的定義，關鍵是掌握二次函數的定義：一般地，形如(是常數，)的函數，叫做二次函數．三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）π．【分析】（1）分別作出點、繞點按順時針方向旋轉得到的對應點，再順次連接可得；（2）根據扇形的面積公式列式計算可得．【詳解】（1）解：如圖所示：△AB′C′即為所求（2）解：∵AB==5，∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積為：=π【點睛】本題主要考查作圖以及旋轉變換，解題的關鍵是根據旋轉的性質作出變換后的對應點及扇形的面積公式．20、（1）x＝1；（2）y＝﹣x2+2x+2；（3）2＜k≤5或k＝1；（4）2≤k＜或k＜2【分析】（1）根據二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠2）即可求此二次函數的對稱軸；（2）當a＝﹣1時，把B（2，2）代入即可求此二次函數的關系式；（3）當a＝﹣1時，根據二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，分三種情況說明：當拋物線頂點落在AB上時，k+1＝2，k＝1；當拋物線經過點B時，k＝2；當拋物線經過點A時，k＝5，即可求此k的取值范圍；（4）當k＝a+3，根據題意畫出圖形，觀察圖形即可求此k的取值范圍．【詳解】解：（1）二次函數y＝ax2﹣2ax+k（a、k為常數，a≠2），二次函數的圖象的對稱軸是直線x＝1．故答案為x＝1；（2）當a＝﹣1時，y＝﹣x2+2x+k把B（2，2）代入，得k＝2，∴y＝﹣x2+2x+2（3）當a＝﹣1時，y＝﹣x2+2x+k＝﹣（x﹣1）2+k+1∵此二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，當拋物線頂點落在AB上時，k+1＝2，k＝1當拋物線經過點B時，k＝2當拋物線經過點A時，﹣1﹣2+k＝2，k＝5綜上所述：2＜k≤5或k＝1；（4）當k＝a+3時，y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3所以頂點坐標為（1，3）∴a+3＜3∴a＜2．如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，∴P（﹣1，2），Q（2，2）當﹣1＜x＜2，此二次函數圖象與四邊形APQB的邊交點個數是大于2的偶數，當拋物線過點P時，a+2a+a+3＝2，解得a＝﹣∴k＝a+3＝，當拋物線經過點B時，4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣1，∴k＝2，當拋物線經過點Q時，4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣3，∴k＝2綜上所述：2≤k＜或k＜2．【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系，解決本題的關鍵是綜合運用一元一次不等式組的整數解、二次函數圖象上的點的坐標特征、拋物線與xx軸的交點．21、（1）12海里；（2）該貨船無觸礁危險，理由見解析【分析】（1）證出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；（2）過點C作CD⊥AD于點D，分別在Rt△CBD、Rt△CAD中解直角三角形，可先求得BD的長，然后得出CD的長，從而再將CD與9比較，若大于9則無危險，否則有危險．【詳解】解：（1）由題意得：∠BAC＝90°﹣10°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝10°，∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；（2）該貨船無觸礁危險，理由如下：過點C作CD⊥AD于點D，如圖所示：∵∠EAC＝10°，∠FBC＝30°，∴∠CAB＝30°，∠CBD＝10°．∴在Rt△CBD中，CD＝BD，BC=2BD,由（1）知BC=AB,∴AB=2BD.在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，∴BD＝1．∴CD＝1．∵1＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題、等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．22、概率為.【分析】選擇用列表法求解，先列出隨機選擇一個家長和一個孩子的所有可能的結果，再看兩人恰好是同一個家庭的結果，利用概率公式求解即可.【詳解】依題意列表得：孩子家長abcdA（A，a）（A，b）（A，c）（A，d）B（B，a）（B，b）（B，c）（B，d）C（C，a）（C，b）（C，c）（C，d）D（D，a）（D，b）（D，c）（D，d）由上表可得，共有16種結果，每種結果出現的可能性相同，選中的兩個人剛好是一個家庭的有4組：（A，a）、（B，b）、（C，c）、（D，d）故所求的概率為.【點睛】本題考查了用列舉法求概率，根據題意列出所有可能的結果是解題關鍵.23、x1＝1，x2＝﹣1【分析】先利用乘法分配律將括號外面的分配到括號里面，再通過移項化成一元二次方程的標準形式，利用提取公因式即可得出結果.【詳解】解：方程移項得：（x+1）﹣x（x+1）＝0，分解因式得：（x+1）（1﹣x）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要包括：提取公因式，公式法，十字相乘等.24、（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據已知條件先求出CE的長，再證明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的長，最后利用勾股定理求CH的長；（2）證明，進而得出結果；（3）由（2）得，進而，即，再結合，可得出，進一步得出結果.【詳解】（1）解：∵矩形，，∴.而，，∴，又∵，，∴，易得.∴，∴.∴.（2）證明：∵矩形，，∴，而，∴，∴，∴；（3）證明：由（2）得，∴，即，而，∴，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質以及解直角三角形，關鍵是掌握基本的概念與