金融中的數(shù)學(xué)分析方法

關(guān)于金融中的數(shù)學(xué)分析方法一、金融與數(shù)學(xué)

金融學(xué)是一門年輕的學(xué)科，最早起源于西方的會計學(xué)和法律。二十世紀(jì)七十年代以來逐漸發(fā)展成為一門相對獨(dú)立的學(xué)科，具有特定的研究對象、研究方法和研究思路。第2頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數(shù)學(xué)資產(chǎn)組合理論與資本資產(chǎn)定價模型基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險厭惡的。數(shù)學(xué)方法：概率論、均值方差理論期權(quán)定價模型基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險中性的。數(shù)學(xué)方法：布朗運(yùn)動、伊藤公式、隨機(jī)偏微分方程第3頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數(shù)學(xué)美式期權(quán)定價與復(fù)雜期權(quán)基本假設(shè)：投資者是風(fēng)險中性的。數(shù)學(xué)方法：計算機(jī)技術(shù)（RocketScience)、蒙特卡洛模擬、數(shù)值分析、人工智能（遺傳算法）、鞅、測度理論。第4頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數(shù)學(xué)信息理論：基本假設(shè)：市場價格能反映所有的信息；價格波動符合隨機(jī)游走假設(shè)。數(shù)學(xué)方法：時間序列數(shù)據(jù)分析、人工智能（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)）、概率理論、小波分析。第5頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數(shù)學(xué)時間序列分析跨時序分析與經(jīng)濟(jì)建模計算機(jī)金融第6頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列的平穩(wěn)性時間序列的自相關(guān)性時間序列的異方差現(xiàn)象第7頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析以下是我國1986年至2005年的國民生產(chǎn)總值和人口數(shù)，回歸結(jié)果為：GDP=-74.15+6.7AP?；貧w合理嗎？怎么解決？第8頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析實際上，GDP、AP都是隨時間遞增的，都不是平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)，因此導(dǎo)致了偽回歸。第9頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析平穩(wěn)時間序列：第10頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析

平穩(wěn)時間序列：均值不隨時間變化而變化的數(shù)據(jù)。實際生活當(dāng)中，平穩(wěn)時間序列是很少見的。如果對具有共同趨勢的非平穩(wěn)時間序列采用經(jīng)典的回歸分析方法來進(jìn)行分析，就會產(chǎn)生偽回歸，亦即不存在的、虛假的關(guān)系。比如，用你的年齡與我國的GDP回歸。第11頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析解決辦法：一階差分、二階差分或三階差分，或考察兩者的增長率的關(guān)系。第12頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析結(jié)論：我國GDP與人口數(shù)都隨時間遞增，但兩者的增長率與時間沒有顯著的線性關(guān)系。第13頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波動規(guī)律并決定在適當(dāng)?shù)臅r候買入和賣出嗎？第14頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析

股票A的收益率服從以零為期望值、方差為1的正態(tài)分布。由于在每一個時間段的期望值、方差點(diǎn)不變，因此是平穩(wěn)過程。

第15頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列相關(guān)的類型分為：自回歸過程(AR)移動平均過程(MA)

第16頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析當(dāng)p=1且Alpha=1時，自回歸過程AR就服從布朗運(yùn)動。第17頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析自相關(guān)過程p=1，Alpha=1（布朗運(yùn)動）。第18頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析移動平均過程(MA)：加入移動平均趨勢的一階自相關(guān)過程。第19頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析自相關(guān)移動平均過程ARIMA（1，0，1）：第20頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析同方差的時間序列：第21頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析異方差的時間序列數(shù)據(jù)ARCH(3)：第22頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列的平穩(wěn)性：時間序列的自相關(guān)性：AR時間序列的異方差現(xiàn)象：ARCH第23頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、跨時序分析與經(jīng)濟(jì)建?？鐣r序分析(Inter-temporalModel)----消費(fèi)者效用最大化的跨時序列分析

定義1：效用是指個人通過消費(fèi)商品獲得的滿足程度,是所消費(fèi)商品量的函數(shù)，即第24頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費(fèi)者效用跨時序分析假設(shè)1：消費(fèi)函數(shù)是一個遞增的凹函數(shù)，即UC第25頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費(fèi)者效用跨時序分析我們考察兩個時期內(nèi)個人的消費(fèi)決策問題。設(shè)個人在第1期和第2期消費(fèi)的商品分別為和，則個人得到的效用為：其中Beta是個人偏好貼現(xiàn)因子，且第26頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費(fèi)者效用跨時序分析設(shè)個人在第1期和第2期的收入水平分別為、，r表示第1期資本市場的借貸利率，則個人的消費(fèi)預(yù)算必須滿足以下約束條件：第27頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費(fèi)者效用跨時序分析個人的消費(fèi)行為可以表示為：第28頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費(fèi)者效用跨時序分析當(dāng)上式取等號時（假設(shè)個人的壽命為2）。個人效用最大化行為必須滿足一階條件（EulerEquilibrium)：第29頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融確定性過程隨機(jī)過程可微分不可微分第30頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融確定性函數(shù)第31頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融布朗運(yùn)動第32頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融從概率論到測度論從正態(tài)分布到布朗運(yùn)動計算

隨機(jī)計算

微分

Ito微分積分

Ito積分概率統(tǒng)計

隨機(jī)過程

密度分布

測度概率對應(yīng)概率第33頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融布朗運(yùn)動性質(zhì)、伊藤公式馬爾珂夫鏈和鞅過程（Martingale）第34頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融布萊克—斯克爾斯期權(quán)定價公式從二叉樹模型到布萊克—斯克爾斯公式無套利均衡模型條件期望模型第35頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融二叉樹模型美式期權(quán)與自由邊界問題二叉樹模型BinomialmodelVSBlack-Scholesmodel第36頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融蒙特卡洛模擬

有限差分法

Idea:Idea:產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)泰勒公式近似地表示微分項

第37頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融蒙特卡洛模擬(MonteCarloSimulation)第38頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融蒙特卡洛模擬(Monte-CarloSimulation)蒙特卡洛模擬的算法及其實現(xiàn)MonteCarloVSBlack-Scholesmodel蒙特卡洛減方差技巧的算法及其實現(xiàn)基于LSM的美式期權(quán)定價方法第39頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機(jī)金融有限差分法

顯性法：Crank-Nicholson算法

隱性法：AlternativeDirectionImplicitScheme算法第40頁,共52頁，星期六，2024年，5月五、集合1.集合的運(yùn)算2.集合及其擴(kuò)展序列、映射、數(shù)域第41頁,共52頁，星期六，2024年，5月六、矩陣及其運(yùn)算1.矩陣及其運(yùn)算矩陣的運(yùn)算矩陣的秩、矩陣的逆、正定矩陣第42頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率無條件概率與條件概率聯(lián)合概率第43頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率期望與方差第44頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率協(xié)相關(guān)與相關(guān)系數(shù)第45頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率練習(xí)1.如果硬幣的正面=2，反面=10，同時擲兩個硬幣，硬幣點(diǎn)數(shù)的和的方差是多少？練習(xí)2.未來的經(jīng)濟(jì)可以分為三種狀態(tài)，以下是A、B兩支股票的收益率，計算它們的協(xié)方差。事件事件發(fā)生的概率經(jīng)濟(jì)膨脹0.30.200.30正常0.50.120.10經(jīng)濟(jì)衰退0.20.050.00第46頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率貝葉斯公式第47頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率已知：P(Iu)=0.3,P(Id)=0.7,P(Ru|Iu)=0.6,P(Ru|Id)=0.4。求P（Iu|Ru)IIuIdRuRdRuRd第48頁,共52頁，星期六，2024年，5月八、概率分布二項式分布期望值與方差、應(yīng)用二項式給期權(quán)定價SuSdSu