四川省宜賓市宜賓市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page182022級(jí)高二上期半期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題滿分150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，，，則關(guān)于事件A與B的關(guān)系正確的是（）A.事件A與B互斥不對(duì)立 B.事件A與B對(duì)立C.事件A與B相互獨(dú)立 D.事件A與B不相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥與獨(dú)立事件的定義判斷即可【詳解】因?yàn)椋耘c能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故AB錯(cuò)誤；，所以，又，故成立，故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.2.在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面可得，解之即可.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，，所以，解得.故選：B.3.無論為何值，直線都過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線方程整理成即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】將直線方程整理成，令，解得，即直線經(jīng)過定點(diǎn).故選：C.4.已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值（）A.2 B.4 C. D.1【答案】B【解析】【分析】表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，求出圓心到原點(diǎn)的距離，利用圓的幾何性質(zhì)可求得最值.【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則點(diǎn)在以為圓心半徑為1的圓上，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，所以的最大值為4.故選：B5.在三棱柱中，，，.點(diǎn)在棱上，且，為的中點(diǎn)，若以為基底，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)及向量加減法的運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：D6.已知雙曲線：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為A.2 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時(shí)，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.7.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.8.已知、為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且.則該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為.A. B. C.l D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)，.橢圓方程為，雙曲線方程為兩曲線的半焦距為、，且.由圓錐曲線定義得，.于是，，.又由余弦定理得.由均值不等式得.當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立.從而，該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.與直線垂直，且與點(diǎn)距離為的直線方程可能為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】依題意設(shè)所求直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離，解得或，所以所求直線方程為或.故選：AB10.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為4，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4 B.C.的周長為 D.的內(nèi)切圓半徑為【答案】BC【解析】【分析】此題先算出橢圓的基本量，運(yùn)用三角形面積公式即得；再利用點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得的邊長，運(yùn)用勾股定理逆定理即得；根據(jù)橢圓的定義式可得的周長；最后利用面積相等即得內(nèi)切圓半徑.【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)，由可得故，則面積為解得：，對(duì)于A選項(xiàng)，由上分析知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由知，此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)，故，又由知，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因點(diǎn)在橢圓上，故有于是的周長為故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積相等可得：，解之得：故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A：抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5，事件：抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8，則（）A.事件A與事件對(duì)立事件 B.事件與事件是互斥事件C.事件發(fā)生的概率為 D.事件發(fā)生的概率為【答案】BC【解析】【分析】求得從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含個(gè)基本事件；再寫出事件A,B包含的基本事件，即可判斷A,B；寫出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判斷C,D.【詳解】由題意知：從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含個(gè)基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11個(gè)基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個(gè)基本事件，可以看出，事件是事件的子事件，故錯(cuò)；事件包括：，，，，，，，，共9個(gè)事件，每個(gè)事件中兩小球標(biāo)號(hào)之積都小于8，故與事件是互斥事件，故正確；事件包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，共11個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為，故正確；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12個(gè)，所以事件包含的基本事件為：，，，共3個(gè)基本事件，所以事件發(fā)生的概率為，故不正確，故選：．12.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡所圍成區(qū)域的面積為B.面積的最大值為C.點(diǎn)到直線距離的最大值為D.若圓上存在滿足條件的點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由可整理得到點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；根據(jù)圓的面積公式可知A正確；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的最大值為可求得B正確；由圓上點(diǎn)到直線距離最大值為圓心到直線距離加上半徑可求得C錯(cuò)誤；根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)可得兩圓位置關(guān)系，從而得到圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，解不等式可求得D正確.【詳解】設(shè)，由得：，，整理可得：，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；對(duì)于A，點(diǎn)軌跡圍成的區(qū)域面積為，A正確；對(duì)于B，，若取得最大值，則點(diǎn)到直線的距離最大，即到軸的距離最大，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，面積的最大值為，B正確；對(duì)于C，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線距離的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：點(diǎn)的軌跡與圓有公共點(diǎn)，即兩圓有公共點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距為，，解得：，即的取值范圍為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，圓，若圓與圓相外切，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，，所以，因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.故答案為：2.14.已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為________.【答案】【解析】【分析】求出與的交點(diǎn)，再任選另一點(diǎn)，求出其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，從而由兩點(diǎn)式求出直線方程.【詳解】與不平行，故經(jīng)過與的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即在上，取上另一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，過兩點(diǎn)和，故方程為，即故答案為：15.若雙曲線的漸近線與圓相切，則________.【答案】【解析】【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程，再求出圓心坐標(biāo)與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓即圓，圓心為，半徑，依題意可得，解得，則.故答案為：16.在長方體，，，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)，的面積最小值時(shí)，三棱錐Q-ACD的體積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正方體的性質(zhì)，可以得出在和的中點(diǎn)的連線上，從而判斷面積最小時(shí)，進(jìn)而求得三棱錐的底面上的高，然后利用體積公式計(jì)算.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為,連接,易知,由所以,延長交于,易得為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小，的面積最小值，此時(shí)，,,,過作，垂足為,易知為三棱錐的底面上的高，，∴三棱錐Q-ACD的體積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】由確定在上，是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)面積最小,確定，接下來利用直角三角形中的射影定理求得的長，然后求得三棱錐.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17設(shè)直線與.（1）若∥，求、之間的距離；（2）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之間的距離；（2）表示直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，配方法求出最大，即可求直線l2的方程．【詳解】（1）若l1∥l2，則，∴，∴m＝6，∴l(xiāng)1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l(xiāng)1，l2之間的距離d；（2）由題意，，∴0＜m＜3，直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積Sm（3﹣m），∴m時(shí)，S最大為，此時(shí)直線l2的方程為2x+2y﹣3＝0．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題.（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”和“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率，然后根據(jù)互斥事件概率加法公式，求得“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率.（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的概率.【詳解】把3個(gè)選擇題記為，2個(gè)判斷題記為“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有，，，，，，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有，，共2種.因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則.記“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為.（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則為“甲、乙兩人都抽到判斷題”，由題意，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查互斥事件概率計(jì)算，考查對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面；（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．小問1詳解】證明：由題意，在矩形中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，在四棱錐中，面面，面面，，平面面，面，，，，，面，面，，面，面，，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，,0,，面的一個(gè)法向量為，，平面，平面．【小問2詳解】由題意及（1）得：在平面中，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，設(shè)平面的法向量為，則，取，得,,，平面的一個(gè)法向量為,0,，設(shè)二面角的平面角為，由圖得為鈍角，二面角的余弦值為：．20.已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．（1）求雙曲線C的方程．（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程并求弦長．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；（2）首先利用點(diǎn)差法求直線的斜率，并求解直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，代入弦長公式，即可求解.【小問1詳解】由題意得橢圓的焦點(diǎn)為，，設(shè)雙曲線方程為，則，∴，解得，雙曲線方程;小問2詳解】把，分別代入雙曲線，兩式相減，得，把，，代入，得，，直線的方程為，即把代入，消去y得，.21.已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2.且被直線截得的弦長為.（1）圓的方程；（2）設(shè)是直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析；定點(diǎn)和.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合垂徑定理列式求得值，則圓的方程可求；（2）由已知設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再由已知可知過，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓，設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則，整理可得圓系方程，聯(lián)立即可求得經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離由題意可得，即，解得或（舍）所以圓的方程為（2）證明：∵是直線上一點(diǎn).設(shè)∵為圓的切線，∴，即過、、三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓設(shè)圓上任一點(diǎn)，則∵，∴即故解得或因此經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦長求圓的方程，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓系過定的問題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，是中檔題．22.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且為等邊三角形.經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）試探究：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn),使得為定值【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三邊長相等可知，根據(jù)周長為可求得，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得結(jié)果；（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示出，