人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章第3節(jié)微專(zhuān)題抽象函數(shù)的性質(zhì)課件

第二章

函數(shù)微專(zhuān)題抽象函數(shù)的性質(zhì)抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是近幾年高考試題的熱點(diǎn)．抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性和對(duì)稱(chēng)性相結(jié)合的題目往往難度大，綜合性強(qiáng)，解此類(lèi)題目定義是根本，特值代入是妙法，充分理解和運(yùn)用已知的抽象式是關(guān)鍵．抽象函數(shù)一般都基于基本初等函數(shù)，找到原型，數(shù)形結(jié)合可化抽象為具體．本專(zhuān)題就抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用予以講解．

比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。?lèi)型二抽象函數(shù)的周期性【例2】(2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，則

f＝1f(k)＝(

)A.－3 B．－2C．0 D．1

√思維建模A

解析：因?yàn)閒(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，從而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，即有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋6)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)閒(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一個(gè)周期內(nèi)的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.因?yàn)?2＝3×6＋4，所以

f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.

思維建模

√

【例4】(2022·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，g(2)＝4，則

f＝1f(k)＝(

)A．－21 B．－22C．－23 D．－24

√D

解析：因?yàn)閥＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因?yàn)間(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因?yàn)閒(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因?yàn)閒(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因?yàn)間(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因?yàn)閒(x)＋g(2－x)＝5，聯(lián)立，得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，6)中心對(duì)稱(chēng)．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽，所以g(3)＝6.因?yàn)閒(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以

f(k)＝f(1)＋