第2章 第1課時(shí)　函數(shù)的概念及其表示-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、函數(shù)性質(zhì)的綜合．函數(shù)的性質(zhì)主要考查與抽象函數(shù)有關(guān)的問題(奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等)．2．輪考點(diǎn)：函數(shù)的概念、圖象、函數(shù)的應(yīng)用．(1)函數(shù)的概念主要考查新定義問題、分段函數(shù)的求值等問題；(2)函數(shù)的圖象主要考查基本初等函數(shù)圖象的識別；(3)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)主要考查代數(shù)值的大小比較，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用等問題；(4)函數(shù)的應(yīng)用主要考查函數(shù)零點(diǎn)問題、函數(shù)模型的應(yīng)用等．第1課時(shí)函數(shù)的概念及其表示[考試要求]1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.2．在實(shí)際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.1．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2．同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法：解析法、圖象法、列表法．提醒：與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．[常用結(jié)論]1．注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合．(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合．(3)f(x)的解析式為對數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正數(shù)且不為1的實(shí)數(shù)集合．(4)若f(x)＝x0，則f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域?yàn)閤x≠k2．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?ac?b24a，+∞(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù)． ()(2)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B． ()(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象可以是一條封閉曲線． ()(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P101T7改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝3x2+2x，A．16B．4C．5D．－4A[f(f(－1))＝f(2)＝16.故選A.]2．(人教A版必修第一冊P69練習(xí)T2改編)函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()ABCDB[函數(shù)f(x)＝|x－1|＝x?1，3．(多選)(人教A版必修第一冊P67練習(xí)T3改編)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()A．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝?x3與g(x)＝C．f(x)＝xx與g(x)＝D．f(x)＝x與g(x)＝xAC[f(x)＝?x3與g(x)＝x?x的值域不同；f(x)＝x與g(x)＝x24．(人教A版必修第一冊P65例2改編)已知函數(shù)f(x)＝x＋1x，則f(x)的定義域?yàn)開_______；若f(a)＝2，則a(－∞，0)∪(0，＋∞)1[要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，故f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋1a＝2，解得a＝1．考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域[典例1](1)(2024·河北衡水中學(xué)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，4]，則函數(shù)y＝fx+1x?1＋(A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3](2)(2024·河南南陽模擬)函數(shù)y＝lg(1＋tanπx)＋1?4x(1)C(2)?14，12[(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，4]，函數(shù)y＝fx+1x?1＋(x－2)所以函數(shù)y＝fx+1x?1＋(x－2)(2)由題意得1+tanπx>0，πx≠k求函數(shù)的定義域的策略(1)求給定函數(shù)的定義域：由函數(shù)解析式列出不等式(組)使解析式有意義．(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域．②若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的取值范圍，即為f(x)的定義域．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·重慶模擬)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－2，3]，則y＝f(2x－1)的定義域是()A．0，52C．[－5，5] D．[－3，7](2)若函數(shù)y＝ax+1ax2A．0，12C．0，12(1)A(2)D[(1)∵函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域?yàn)閇－2，3]，∴x∈[－2，3]，則x＋1∈[－1，4]，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，4]，∴－1≤2x－1≤4，得0≤x≤52∴函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域?yàn)?，故選A.(2)由題意知，ax2－4ax＋2＞0的解集為R.當(dāng)a＝0時(shí)，2＞0恒成立，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，a>0，Δ=16a綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式[典例2]求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx+1x＝x2＋1x2(3)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．【教師備選資源】(5)設(shè)f(x)＝1+x1?x，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，則f2024A．1+x1?xC．x D．－1[解](1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配湊法)∵fx+1x＝x2＋1令t＝x＋1x，當(dāng)xt≥2x·1x當(dāng)x＜0時(shí)，t＝－?x?1x當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號，∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以2a即a=所以f(x)＝12x2－32x(4)(解方程組法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.【教師備選資源】(5)C[(歸納法)由已知條件得到f2(x)＝f(f1(x))＝1+f1x1?f3(x)＝f(f2(x))＝1+f2x1?f4(x)＝f(f3(x))＝1+f3x1?f5(x)＝f(f4(x))＝1+可見fn(x)是以4為周期的函數(shù)，而2024＝506×4，所以f2024(x)＝f4(x)＝x.]求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法．(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范圍．(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f1x或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過解方程組求出f(x[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(易錯題)已知f(x＋1)＝x－2x，則f(x)＝________．(2)已知f(x)滿足f(x)－2f1x＝2x，則f(x(3)設(shè)函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足f(f(x))＝16x＋5，則f(x)＝________．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)－23x－43x(3)4x＋1[(1)法一(換元法)：令t＝x＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x法二(配湊法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，因?yàn)閤＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)因?yàn)閒(x)－2f1x＝2x，以1x代替①中的x，得f1x－2f(x)＝2①＋②×2得－3f(x)＝2x＋4x所以f(x)＝－23x－4(3)∵f(x)為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合題意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1．考點(diǎn)三分段函數(shù)求值問題[典例3](1)(2024·四川成都七中模擬)已知函數(shù)f(x)＝fx+1，xA．－6 B．0C．4 D．6(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2?4，x>2，x?3+a，x≤(1)A(2)2[(1)由分段函數(shù)可知，當(dāng)x≤0時(shí)，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6，所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故選A.(2)因?yàn)?>2，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]解方程或不等式[典例4](1)函數(shù)f(x)＝x+1，?1<x<0，2x，x≥0，若實(shí)數(shù)a滿足A．2 B．4C．6 D．8(2)已知函數(shù)f(x)＝log2x，x＞1，x2(1)D(2)?12，+∞[(1)由分段函數(shù)的定義知，f(x)的定義域是(－1，＋∞①當(dāng)0<a<1時(shí)，－1<a－1<0，則f(a)＝f(a－1)可化為2a＝a，解得a＝14，∴f1a＝f②當(dāng)a≥1時(shí)，a－1≥0，則f(a)＝f(a－1)可化為2a＝2(a－1)，方程無解．故選D.(2)由題意知，當(dāng)x≤0時(shí)，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)?x2－1＜(x＋1)2－1，解得－12＜x≤當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x＋1＞1，此時(shí)f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0.所以當(dāng)0＜x≤1時(shí)，恒有f(x)＜f(x＋1)，當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜f(x＋1)?log2x＜log2(x＋1)恒成立．綜上可知，f(x)＜f(x＋1)的解集為?1分段函數(shù)的幾類題型及解決方法(1)若分段函數(shù)中含有參數(shù)，則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參．(2)若是求自變量的值，則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進(jìn)行分類討論，再求值．(3)涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題，主要表現(xiàn)為解不等式，當(dāng)自變量取值不確定時(shí)，往往要分類討論求解；當(dāng)自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知函數(shù)f(x)＝x+2，x≤0，x+A．0或1 B．－1或1C．0或－2 D．－2或－1(2)已知函數(shù)f(x)＝?x2?3x+2，x＜?1，2x?3，x≥(1)D(2)－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)[(1)令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當(dāng)t＝0時(shí)，即f(a)＝0，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2，當(dāng)t＝1時(shí)，即f(a)＝1，顯然a≤0，因此a＋2＝1?a＝－1，綜上所述，a＝－2或－1.(2)若f(a)＝4，則a<?1，?解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，則a<?1，?解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范圍是[－3，－1)∪[4，＋∞)．]課時(shí)分層作業(yè)(六)函數(shù)的概念及其表示一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·浙江溫州學(xué)業(yè)考試)函數(shù)f(x)＝x+A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)D[因?yàn)閒(x)＝x+所以x＞0，lnx≠0所以f(x)的定義域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)．故選D.]2．(2024·江蘇南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2x，x>0A．2 B．1C．－1 D．2C[由條件可得f?π6＝－sin?π則ff?π6＝f12＝log故選C.]3．(2024·福建福州模擬)下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝2lgx，g(x)＝lgx2C．f(x)＝|x|，g(x)＝xD．f(x)＝12x，g(xC[A選項(xiàng)，f(x)＝x的定義域是R，g(x)＝x2x的定義域是{x|xB選項(xiàng)，f(x)＝2lgx的定義域是{x|x＞0}，g(x)＝lgx2的定義域是{x|x≠0}，所以不是同一個(gè)函數(shù)；C選項(xiàng)，g(x)＝x2＝|x|＝f(xD選項(xiàng)，f(x)＝12x的定義域是R，g(x)＝x12的定義域是{x故選C.]4．下列四個(gè)函數(shù)，定義域和值域不相同的是()A．y＝－x＋1 B．y＝xC．y＝ln|x| D．y＝2x?1C[對于選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域和值域都是R；對于選項(xiàng)B，根據(jù)分段函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的定義域和值域都是R；對于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，值域?yàn)镽；對于選項(xiàng)D，因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x?1x?2＝2＋3x?2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)，值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋5．已知A＝B＝R，y＝x2－2x－2是集合A到集合B的函數(shù)，若對于實(shí)數(shù)k∈B，在集合A中沒有實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．[－3，＋∞)C[A＝B＝R，y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3∈[－3，＋∞)是集合A到集合B的函數(shù)，若對于實(shí)數(shù)k∈B，在集合A中沒有實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，故k不在函數(shù)的值域之內(nèi)，∴k＜－3.故選C.]6．圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時(shí)30s注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時(shí)間為t，則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是()ABCDA[水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，所以在注水恒定的情況下，開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后又變快，由圖可知選項(xiàng)A符合．]7．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x∈R均滿足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1A[由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2，②①＋②得：3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1.故選A.]8．設(shè)函數(shù)f(x)＝2?x，x≤0，1，x>0，A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1，0) D．(－∞，0)D[因?yàn)閒(x)＝2?x所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．由圖可知，當(dāng)x＋1≤0且2x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x＋1)＜f(2x)轉(zhuǎn)化為x＋1＞2x.此時(shí)x≤－1.當(dāng)2x＜0且x＋1＞0時(shí)，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，滿足f(x＋1)＜f(2x)．此時(shí)－1＜x＜0.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．]二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·河南三門峽模擬)已知函數(shù)f(x＋1)＝2x＋x－1，則()A．f(3)＝9B．f(x)＝2x2－3x(x≥0)C．f(x)的最小值為－1D．f(x)的圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)ACD[令t＝x＋1≥1，得x＝t－1，則x＝(t－1)2，得f(x＋1)＝f(t)＝2t2－3t，故f(x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f(3)＝9，A正確，B錯誤．f(x)＝2x2－3x＝2x?342－98，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－1，f(10．已知函數(shù)f(x)＝x+2，x≤A．f(f(－2))＝0B．f(x)的值域?yàn)?－∞，4)C．f(x)<1的解集為(－1，1)D．若f(x)＝3，則x的值是3ABD[函數(shù)f(x)＝x+2易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正確；f(x)的值域?yàn)?－∞，4)，故B正確；由f(x)<1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C錯誤；f(x)＝3，即x2=3，?1<x<2三、填空題11．(2024·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，則y＝fx[－2，－1)[因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，所以函數(shù)y＝fx+1x2?2x?3的x12．(2024·浙江寧波模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三點(diǎn)，請寫出2個(gè)函數(shù)關(guān)系式，使函數(shù)圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)：________，________．y＝1－x2y＝1－x24(答案不唯一，符合題意即可)[已知A(－2，0)，B(2，0)關(guān)于y軸對稱，且C①可設(shè)y＝kx＋m，則2k解得m=1，k=②可設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則4a+2b+c=0，13．(2024·山西太原模擬)十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D(x)＝1，x∈Q，0，x∈?RQ，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f(x)＝A．3 B．2C．1 D．0C[由題意可知f(x)＝x2－D(x)＝x所以f(1)＝12－1＝0，f(2)＝(2)2＝2，f(3)＝(3)2＝3，而f(x)＝1無解．故選C.]14．(多選)(2024·浙江杭州模擬)我們常拿背誦圓周率π(π＝3.14159265358979323846264338327950288…)來衡量某人的記憶水平，如果記圓周率π小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)字為f(n)，則下列說法正確的是()A．y＝f(n)，n∈N*是一個(gè)函數(shù)B．當(dāng)n＝6時(shí)，f(n)＝3.14159C．f(4)＝f(8)D．f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}A