2024年高中數學新高二暑期培優(yōu)講義第14講 拋物線（學生版）

第第頁第14講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標準方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【知識點梳理】知識點一：拋物線的定義定義：平面內與一個定點SKIPIF1<0和一條定直線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0不經過點SKIPIF1<0)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點SKIPIF1<0叫做拋物線的焦點，定直線SKIPIF1<0叫做拋物線的準線．知識點詮釋:(1)上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值(2)定義中的隱含條件：焦點F不在準線SKIPIF1<0上，若F在SKIPIF1<0上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與SKIPIF1<0的一條直線.(3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化.知識點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。知識點詮釋：①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如拋物線SKIPIF1<0的一次項為SKIPIF1<0，故其焦點在SKIPIF1<0軸上，且開口向負方向(向下)③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數。用待定系數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型(一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型)，然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況。知識點三：拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程SKIPIF1<0的幾何性質范圍：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(x，y)的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關于x軸對稱拋物線y2=2px(p＞0)關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是(0，0)。拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)頂點O(0，0)范圍x≥0，SKIPIF1<0x≤0，SKIPIF1<0y≥0，SKIPIF1<0y≤0，SKIPIF1<0對稱軸x軸y軸焦點SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0離心率e=1準線方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦半徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點詮釋：(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；(2)標準方程中的參數p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線SKIPIF1<0上這一隱含條件；參數p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義例1．若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F為拋物線的焦點，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關系為()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定例2．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，SKIPIF1<0是C上一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．4題型二：求拋物線的標準方程例3．若拋物線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0到其準線的距離為3，則拋物線的標準方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例4．已知拋物線的焦點為SKIPIF1<0，則拋物線的標準方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：拋物線的綜合問題例5．(多選題)已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是拋物線上兩點，則下列結論正確的(

)A．點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0B．若直線SKIPIF1<0經過焦點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0經過焦點SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0題型四：軌跡方程例6．已知圓的方程為SKIPIF1<0，若拋物線過點A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P是拋物線C上一動點，則線段FP的中點Q的軌跡方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：拋物線的幾何性質例8．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0中點的縱坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.例9．拋物線SKIPIF1<0在第一象限上一點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為該拋物線的焦點，則直線SKIPIF1<0的斜率為______.題型六：拋物線中的范圍與最值問題例10．已知點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值是__________．例11．已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的動點，則點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離與點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離之和最小值為__________.題型七：焦半徑問題例12．過拋物線M：SKIPIF1<0焦點的直線交拋物線M于A，B兩點，若線段AB的中點P到M的準線的距離等于9，則SKIPIF1<0__________．例13．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________________.【過關測試】一、單選題1．過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0作直線，交拋物線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．42．已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交該拋物線于SKIPIF1<0兩點．若線段SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0斜率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．過拋物線SKIPIF1<0的焦點F作傾斜角為SKIPIF1<0的弦AB，則SKIPIF1<0的值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題4．拋物線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0到焦點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的縱坐標為________.5．拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，過點F作斜率為SKIPIF1<0的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是____.6．已知點F為拋物線S