山西省朔州市懷仁2024-2025高三數(shù)學上學期第一次月考試題

山西省朔州市懷仁2024-2025高三上學期第一次月考數(shù)學試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘。留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．請按題依次在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清晰。4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交。5．本卷主要考查內容：高考范圍。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．下列向量關系式中，正確的是（）A． B． C． D．3．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A． B．10 C．11 D．4．若，則函數(shù)有（）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值5．二項式的綻開式中的常數(shù)項為（）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－11206．某人家的抽屜里有4雙不同花色的襪子，從中隨機任取3只，則這3只襪子中恰有2只花色相同的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若在內的兩個根為，，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域為M，若存在正實數(shù)m，對隨意的，都有，則稱函數(shù)具有性質．已知函數(shù)具有性質，則k的最小值為（）A．2 B．1 C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列函數(shù)中，在上單調遞增，且其圖象存在對稱軸的有（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A．函數(shù)在處取得微小值0B．C．若函數(shù)在上恒成立，則D．函數(shù)有三個零點11．在長方體中，已知，，則下列結論正確的有（）A． B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的余弦值為 D．四面體的體積為12．已知，是拋物線上異于坐標原點O的兩個動點，且以AB為直徑的圓過點O，過點O作于點M，則（）A．直線AB的斜率為 B．直線AB過定點C．點M的軌跡方程為 D．的重心G的軌跡為拋物線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知全集，集合，，則______．14．為了建設社會主義新農(nóng)村，近年來某城關鎮(zhèn)主動招商引資，加快經(jīng)濟建設，使居民收人得到了較大的提高．已知該城關鎮(zhèn)2016年至2024年（用，2，3，4，5表示年份）的居民人均收人y（萬元）的數(shù)據(jù)如下表：x12345y1215192430由此得到y(tǒng)關于x的閱歷回來方程為，則可以預料2024年該城關鎮(zhèn)居民人均收人為______萬元．15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點，，且的周長為10，則雙曲線C的焦距為______．16．在三棱錐中，已知側棱底面ABC，，且，在此三棱錐內放一個球，當球的體積最大時，球的半徑為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若，，如圖，D為線段AB上一點，且．求CD的長．18．（本小題滿分12分）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求的最大值．19．（本小題滿分12分）如圖，在四校錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，，點M在棱PC上，且，．（1）證明：平面PAB；（2）求DM與平面BEF所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）為慶祝六一國際兒童節(jié)，某單位組織本單位職工的小孩實行游藝活動．其中有個“套圈嬉戲”，嬉戲規(guī)則為：每個小孩有三次套圈機會，其中前兩次每套中一次得1分，第三次套中得2分，沒有套中得0分．套完三次后，依據(jù)總分確定獲獎等第：總分為0分獲三等獎，總分為1分或2分獲二等獎，總分為3分或4分獲一等獎．假設歡歡和樂樂兩個小摯友每次套圈套中的概率分別為和，且每次套圈互不影響，（1）求歡歡和樂樂兩個小摯友都獲得一等獎或二等獎的概率；（2）試從平均得分的角度，分析歡歡和樂樂兩位小摯友各自得哪個獎項的可能性較大？21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中．（1）探討函數(shù)的單調性；（2）當時，若關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．22．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B分別為橢圓C的左、右頂點，點D為橢圓C的下頂點，點P為橢圓C上異于橢圓頂點的動點，直線AP與直線BD相交于點M，直線BP與直線AD相交于點N．證明：直線MN與x軸垂直．

高三數(shù)學參考答案、提示及評分細則1．B因為，所以z的虛部為．故選：B．2．D由向量的概念及線性運算，可知D正確．故選：D．3．C由，得，所以，又，，所以．故選：C．4．B因為，所以，當且僅當時取等．故選：B．5．C因為，令，得，所以二項式綻開式中的常數(shù)項為．故選：C6．A從4雙不同花色的襪子中，隨機任取3只，共有（種）不同的選取方法，其中恰有2只花色相同有（種）不同的選取方法，所以概率為．故選：A．7．D由，得，所以的圖象關于對稱，故，即，所以，因為，所以，又，所以，故．故選：D．8．C因為，而，所以，故，即，所以k的最小值為，故選：C．9．AC的圖象關于對稱，且在上單調遞增，所以A滿意條件；只有對稱中心，沒有對稱軸，所以B不滿意條件；的圖象關于對稱，且在上單調遞增，所以C滿意條件；的圖象關于對稱，但在上單調涕減，所以D不滿意條件．故選：AC．10．ABDA．，，單調遞減；，，單調遞增，A正確；B．在上單調遞減，，B正確；C．在上的最大值為，則，C錯誤；D．由的簡圖可知的圖象與有三個交點，D正確．11．ACD由已知，可以證明平面，所以A正確；因為，所以與不垂直，故與不垂直，所以B不正確；設AC與BD交于O，則為二面角的平面角，在中，，，所以，所以，故C正確；四面體的體積為，所以D正確．故選：ACD．12．ABD因為，，兩式相減，得，所以，所以A正確；因為以AB為直徑的圓過原點O，所以，即，所以，又，所以，故，，因為直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為，由，消去y，得，所以，故，即，所以直線AB的方程為，所以直線AB過定點，所以B正確；因為于，直線過定點，所以點的軌跡是以為直徑圓（除去原點），其方程為，所以C不正確;設的重心為，則，，由方程（*）可知，，，所以，消去k得，因為，所以的重心G的軌跡為拋物線，所以D正確．故選：ABD．13．因為，，所以．故答案為：．14．35.6因為，，所以，解得，所以當時，，故可以預料2024年該城關鎮(zhèn)居民人均收入為35.6萬元．故答案為：35.6．15．設，，，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得雙曲線的焦距為．16．當球的體積最大時，球為三棱錐的內切球，設內切球的半徑為r，三棱錐的表面積為S，則，由已知，可以證明平面PAB．所以，又，所以，解得．故答案為：．17．解：（1）依據(jù)正弦定理得，整理得，因為，所以，又，可得．（2）在中，由余弦定理得：，將（1）中所求代入整理得：，解得或（舍），即，在中，可知，有，所以．18．解：（1）設數(shù)列的公比為，由，有①又由，有，得②①÷②有，解得或（舍去）由，可求得，有故數(shù)列的通項公式為（2）若，可得，可得當且時；當且時，故最大，又由，可得，故的最大值為64．19．（1）證明：如圖所示：取PA靠近P的三等分點G，連接FG，BG，因為F，G分別是PD，PA三等分點，則且，又易知E為BC的三等分點，故且，故BEFG是平行四邊形，故，∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB；（2）解：如圖，分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設，，∴，得，又∵，即，解得，，又，，設平面BEF一個法向量為，則，即，令，則，設DM與平面PEF所成角為，∴．20．解：（1）因為“歡歡和樂樂兩個小摯友都獲得一等獎或二等獎”的對立事務為“歡歡和樂樂兩個小摯友都獲得三等獎”，設歡歡和樂樂兩個小摯友最終得分分別為X和Y，則，所以歡歡小摯友獲得三等獎的概率為；，所以樂樂小摯友獲得三等獎的概率為；故歡歡和樂樂兩個小摯友都獲得一等獎或二等獎的概率為；（2）因為，1，2，3，4，且，，，，，所以歡歡小摯友最終得分X的分布列為X01234P所以，所以歡歡小摯友最終得分X的平均值為；因為，1，2，3，4，且，，，，，所以樂樂小摯友最終得分Y的分布列為X01234P所以，所以歡歡小摯友最終得分Y的平均值為，所以歡歡小摯友得一等獎的可能性較大，樂樂小摯友得二等獎的可能性較大．21．解：（1）由，①當時，，可得此時函數(shù)單調遞增，②當時，令可得或，則此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，③當時，令可得或，則此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；（2）①當時，由，滿意題意；②當時，由，；若時，，可得，再由（1）中函數(shù)的單調性可知，滿意題意；③當時，令，二次函數(shù)的對稱軸為，由，，依據(jù)二次函數(shù)的單調性可知，若，有，可得當時，．若關于x的不等式恒成立，由（1）中函數(shù)的單調性可知只需，可得，由上知，若關于x的不等