高考數(shù)學(xué)微專題集專題2蒙日圓微點(diǎn)2蒙日圓的推廣(原卷版+解析)

專題2蒙日圓微點(diǎn)2蒙日圓的推廣專題2蒙日圓微點(diǎn)2蒙日圓的推廣【微點(diǎn)綜述】上一微點(diǎn)我們討論了橢圓中的蒙日圓，類似的我們可以的到雙曲線和拋物線中的蒙日圓，本為專題進(jìn)一步討論蒙日圓的推廣．1．蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣【定理1】雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日圓：（如圖3）．圖3圖4【定理2】拋物線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：（如圖4，可以看作半徑無窮大的圓）．注意：雙曲線中只有當(dāng)時才有蒙日圓，此時離心率滿足；拋物線的蒙日圓恰好為其準(zhǔn)線（直線可以看作半徑為無窮大的圓）．總結(jié)可得如下的蒙日圓定理：【定理3】過圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個圓被稱為蒙日圓，又叫外準(zhǔn)圓．證明：設(shè)圓錐曲線的方程為，其中系數(shù)矩陣滿秩（即系數(shù)行列式）．設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)，不在上．過作的切線，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線斜率為，則切線方程可設(shè)為．聯(lián)立曲線方程，消去得，為書寫方便，令，由切線與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)可得，即：，觀察上式，當(dāng)把代入之后可知前三項(xiàng)都含有，可寫出二次項(xiàng)系數(shù)為．同理，第一、四、六項(xiàng)含有常數(shù)項(xiàng)，可以寫出常數(shù)項(xiàng)為．∵兩條切線互相垂直，斜率之積為，因此由韋達(dá)定理得，整理得到．當(dāng)切線斜率不存在時，很明顯兩條切線分別為．聯(lián)立與的方程，得到，由得，同理，，兩個方程相加，恰好得到此時的坐標(biāo)滿足方程，∴無論切線斜率是否存在，的軌跡方程均為（**）．習(xí)慣上用表示動點(diǎn)坐標(biāo)，上式的均改為，得到的軌跡方程（**）．∵和的系數(shù)相同，且缺少含的項(xiàng)，∴方程（**）表示一個圓，即的軌跡是一個圓（實(shí)圓、點(diǎn)圓、虛圓均可）．證畢．說明：（1）令，代入（**）可得橢圓的蒙日圓方程：．定理1得證．（2）令，代入（**）可得雙曲線的蒙日圓方程：．當(dāng)時，，雙曲線的蒙日圓存在．但當(dāng)時，，方程退化為一個點(diǎn)．此時易證過的直線要么和雙曲線有兩個交點(diǎn)，要么沒有交點(diǎn)（∵雙曲線關(guān)于中心對稱），∴過無法作雙曲線的切線，自然也不存在兩條互相垂直的切線．而當(dāng)時，，于是方程表示一個虛圓（無法在坐標(biāo)平面上表示），∴平面內(nèi)不存在雙曲線的兩條互相垂直的切線．綜上，只有當(dāng)時（或離心率時），雙曲線才有蒙日圓．定理2得證．（3）令，代入（**）可得拋物線的蒙日圓方程：．這恰好是拋物線的準(zhǔn)線方程，因此拋物線的蒙日圓是其準(zhǔn)線．這也可以從蒙日圓的一般方程中看出，因拋物線滿足，∴蒙日圓方程的二次項(xiàng)系數(shù)為，方程退化為一條直線．定理3得證．由此還能得出一個推論：過拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，這兩條切線互相垂直．2．蒙日圓的其他推廣【定理4】（1）橢圓的方程為的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡方程是；（2）雙曲線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡方程是．【定理5】過橢圓上任一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則①當(dāng)時，所作的兩條切線垂直；②當(dāng)時，所作的兩條切線斜率之積為．【定理6】（1）橢圓的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即圓（但要去掉四個點(diǎn)）；②當(dāng)且時，即橢圓（但要去掉四個點(diǎn)）；③當(dāng)時，即兩條直線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）；④當(dāng)時，即雙曲線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）；⑤當(dāng)時，即即雙曲線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）．（2）雙曲線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即圓；②當(dāng)時，即雙曲線；③當(dāng)或時，即橢圓；④當(dāng)時，不存在．（3）拋物線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即直線；②當(dāng)時，的方程為．3．典型例題例1．(2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上．該圓稱為橢圓的“蒙日圓”若橢圓的離心率為，則橢圓的“蒙日圓”方程為（）A．或B．或C．或D．或答案：C分析：分類討論和，當(dāng)時，根據(jù)離心率求出，然后在橢圓上取兩點(diǎn)，并寫出對應(yīng)的切線方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出圓半徑即可；對于的情況與的方法步驟一致．【解析】若，則，即，∴，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，∴兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，∴半徑為，∴蒙日圓為；若，則，即，∴，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，∴兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，∴半徑為，∴蒙日圓為．綜上：橢圓的“蒙日圓”方程為或，故選C．【評注】由已知條件，需要分和兩種情況討論．例2．(2023·江蘇·泰州中學(xué)高二開學(xué)考試）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個動點(diǎn)．直線的方程為．下列說法正確的是（）A．的蒙日圓的方程為B．對直線上任意點(diǎn)，C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為答案：AD分析：由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)恰為切點(diǎn)時，，知B錯誤；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯誤；由題意知蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確．【解析】對于A，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，在蒙日圓上，蒙日圓方程為：，由得：，的蒙日圓方程為：，A正確；對于B，由方程知：過，又滿足蒙日圓方程，在圓上，過，當(dāng)恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時，，B錯誤；對于C，在橢圓上，，；當(dāng)時，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，，C錯誤；對于D，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時，蒙日圓為矩形的外接圓，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為，則，矩形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即矩形面積的最大值為，D正確，故選AD．【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項(xiàng)．例3．設(shè)P0（x0，y0）在橢圓（a>b>0）外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0（x0，y0）在雙曲線（a>0，b>0）外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________．答案：＝1【解析】對于橢圓＝1，切點(diǎn)弦P1P2所在直線方程＝1，x2→xx0，y2→yy0．類比，雙曲線＝1切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程為＝1．例4．(2023甘肅張掖肅南一中模擬）已知橢圓：的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)F與橢圓的一個焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）過F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線的切線，，求直線，的交點(diǎn)Q的軌跡方程；（Ⅱ）從圓O：上任意一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，證明：為定值，并求出這個定值．【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則，即，則，橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)，故拋物線方程為．設(shè)直線MN：，，，代入拋物線方程得，則，，由于，∴，故直線的斜率為，的方程為，即，同理的方程為，令，即，顯然，，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是，即點(diǎn)，故點(diǎn)Q的軌跡方程是．（阿基米德三角形）（Ⅱ）證明：①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入圓的方程得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時兩條切線方程分別為，，此時，若的大小為定值，則這個定值只能是．②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時，即時，設(shè)，切線的斜率為k，則切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元得．由于直線是橢圓的切線，故，整理得．切線PA，PB的斜率，是上述方程的兩個實(shí)根，故，點(diǎn)P在圓上，故，∴，∴，綜上可知：的大小為定值，得證．例5．已知拋物線：（），圓：（），拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離的最小值為．（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）如圖，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)A，B（A，B異于點(diǎn)P），問是否存在圓使AB恰為其切線？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由．答案：（1）的方程為，準(zhǔn)線方程為．（2）存在，分析：（1）由得到p即可；（2）設(shè)，利用點(diǎn)斜式得到PA的的方程為，由到PA的距離為半徑可得，同理，同理寫出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線AB的距離為半徑建立方程即可．【解析】（1）由題意得，解得，∴拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為．（2）由（1）知，．假設(shè)存在圓使得AB恰為其切線，設(shè)，，則直線PA的的方程為，即．由點(diǎn)到PA的距離為r，得，化簡，得，同理，得．∴，是方程的兩個不等實(shí)根，故，．易得直線AB的方程為，由點(diǎn)到直線AB的距離為r，得，∴，于是，，化簡，得，即，經(jīng)分析知，，因此．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想．例6．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓C1過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點(diǎn)．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點(diǎn)，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．答案：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的方程為：，（2）①證明見解析，②有，最小值為．分析：（1）利用可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)和點(diǎn)在橢圓上列方程組可求得和，從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①利用△=0以及韋達(dá)定理可得結(jié)論；②先求出直線過定點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為，即求得最小值，當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長公式求出和，然后求比值，此時大于，當(dāng)直線的斜率不存在時，直接求出和可得比值為．從而可得結(jié)論．【解析】（1）∵拋物線C2有相同的焦點(diǎn)（1，0），且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)橢圓方程為，則且，解得，∴橢圓的方程為：．（2）①證明：設(shè)，過點(diǎn)與拋物線相切的直線為，由，消去得，由△=，得，則．②設(shè)，由①得，則，∴直線的方程為，∴，即，即直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，∴，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，時，△恒成立，，由消去得，△恒成立，則，∴，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，，∴的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與拋物線相切，考查了直線與橢圓相交的問題，考查了三角形的面積公式，考查了分類討論思想，考查了弦長公式，屬于難題．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．已知橢圓：的長半軸長為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.2．已知橢圓的方程為.（1）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)；（2）過點(diǎn)作兩條與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線，公共點(diǎn)分別記為?，點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點(diǎn)，且?都與橢圓只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.3．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，若面積的最大值為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作圓：，的兩條切線，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，(異于點(diǎn))，當(dāng)變化時，直線是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2：＋＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為∶1，離心率相同．(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C2上的一點(diǎn)．①射線PO與橢圓C1依次交于點(diǎn)A，B，求證：為定值；②過點(diǎn)P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點(diǎn)，求證k1·k2為定值．5．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.6．如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q.(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．7．已知拋物線E：過點(diǎn)，過拋物線E上一點(diǎn)作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點(diǎn)．（1）求拋物線E的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若直線MN的斜率為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．專題2蒙日圓微點(diǎn)2蒙日圓的推廣專題2蒙日圓微點(diǎn)2蒙日圓的推廣【微點(diǎn)綜述】上一微點(diǎn)我們討論了橢圓中的蒙日圓，類似的我們可以的到雙曲線和拋物線中的蒙日圓，本為專題進(jìn)一步討論蒙日圓的推廣．1．蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣【定理1】雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日圓：（如圖3）．圖3圖4【定理2】拋物線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：（如圖4，可以看作半徑無窮大的圓）．注意：雙曲線中只有當(dāng)時才有蒙日圓，此時離心率滿足；拋物線的蒙日圓恰好為其準(zhǔn)線（直線可以看作半徑為無窮大的圓）．總結(jié)可得如下的蒙日圓定理：【定理3】過圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個圓被稱為蒙日圓，又叫外準(zhǔn)圓．證明：設(shè)圓錐曲線的方程為，其中系數(shù)矩陣滿秩（即系數(shù)行列式）．設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)，不在上．過作的切線，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線斜率為，則切線方程可設(shè)為．聯(lián)立曲線方程，消去得，為書寫方便，令，由切線與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)可得，即：，觀察上式，當(dāng)把代入之后可知前三項(xiàng)都含有，可寫出二次項(xiàng)系數(shù)為．同理，第一、四、六項(xiàng)含有常數(shù)項(xiàng)，可以寫出常數(shù)項(xiàng)為．∵兩條切線互相垂直，斜率之積為，因此由韋達(dá)定理得，整理得到．當(dāng)切線斜率不存在時，很明顯兩條切線分別為．聯(lián)立與的方程，得到，由得，同理，，兩個方程相加，恰好得到此時的坐標(biāo)滿足方程，∴無論切線斜率是否存在，的軌跡方程均為（**）．習(xí)慣上用表示動點(diǎn)坐標(biāo)，上式的均改為，得到的軌跡方程（**）．∵和的系數(shù)相同，且缺少含的項(xiàng)，∴方程（**）表示一個圓，即的軌跡是一個圓（實(shí)圓、點(diǎn)圓、虛圓均可）．證畢．說明：（1）令，代入（**）可得橢圓的蒙日圓方程：．定理1得證．（2）令，代入（**）可得雙曲線的蒙日圓方程：．當(dāng)時，，雙曲線的蒙日圓存在．但當(dāng)時，，方程退化為一個點(diǎn)．此時易證過的直線要么和雙曲線有兩個交點(diǎn)，要么沒有交點(diǎn)（∵雙曲線關(guān)于中心對稱），∴過無法作雙曲線的切線，自然也不存在兩條互相垂直的切線．而當(dāng)時，，于是方程表示一個虛圓（無法在坐標(biāo)平面上表示），∴平面內(nèi)不存在雙曲線的兩條互相垂直的切線．綜上，只有當(dāng)時（或離心率時），雙曲線才有蒙日圓．定理2得證．（3）令，代入（**）可得拋物線的蒙日圓方程：．這恰好是拋物線的準(zhǔn)線方程，因此拋物線的蒙日圓是其準(zhǔn)線．這也可以從蒙日圓的一般方程中看出，因拋物線滿足，∴蒙日圓方程的二次項(xiàng)系數(shù)為，方程退化為一條直線．定理3得證．由此還能得出一個推論：過拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，這兩條切線互相垂直．2．蒙日圓的其他推廣【定理4】（1）橢圓的方程為的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡方程是；（2）雙曲線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡方程是．【定理5】過橢圓上任一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則①當(dāng)時，所作的兩條切線垂直；②當(dāng)時，所作的兩條切線斜率之積為．【定理6】（1）橢圓的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即圓（但要去掉四個點(diǎn)）；②當(dāng)且時，即橢圓（但要去掉四個點(diǎn)）；③當(dāng)時，即兩條直線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）；④當(dāng)時，即雙曲線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）；⑤當(dāng)時，即即雙曲線在橢圓外的部分（但要去掉四個點(diǎn)）．（2）雙曲線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即圓；②當(dāng)時，即雙曲線；③當(dāng)或時，即橢圓；④當(dāng)時，不存在．（3）拋物線的兩條斜率之積為的切線交點(diǎn)的軌跡是：①當(dāng)時，即直線；②當(dāng)時，的方程為．3．典型例題例1．(2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上．該圓稱為橢圓的“蒙日圓”若橢圓的離心率為，則橢圓的“蒙日圓”方程為（）A．或B．或C．或D．或答案：C分析：分類討論和，當(dāng)時，根據(jù)離心率求出，然后在橢圓上取兩點(diǎn)，并寫出對應(yīng)的切線方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出圓半徑即可；對于的情況與的方法步驟一致．【解析】若，則，即，∴，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，∴兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，∴半徑為，∴蒙日圓為；若，則，即，∴，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，∴兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，∴半徑為，∴蒙日圓為．綜上：橢圓的“蒙日圓”方程為或，故選C．【評注】由已知條件，需要分和兩種情況討論．例2．(2023·江蘇·泰州中學(xué)高二開學(xué)考試）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個動點(diǎn)．直線的方程為．下列說法正確的是（）A．的蒙日圓的方程為B．對直線上任意點(diǎn)，C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為答案：AD分析：由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)恰為切點(diǎn)時，，知B錯誤；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯誤；由題意知蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確．【解析】對于A，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，在蒙日圓上，蒙日圓方程為：，由得：，的蒙日圓方程為：，A正確；對于B，由方程知：過，又滿足蒙日圓方程，在圓上，過，當(dāng)恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時，，B錯誤；對于C，在橢圓上，，；當(dāng)時，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，，C錯誤；對于D，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時，蒙日圓為矩形的外接圓，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為，則，矩形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即矩形面積的最大值為，D正確，故選AD．【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項(xiàng)．例3．設(shè)P0（x0，y0）在橢圓（a>b>0）外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0（x0，y0）在雙曲線（a>0，b>0）外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________．答案：＝1【解析】對于橢圓＝1，切點(diǎn)弦P1P2所在直線方程＝1，x2→xx0，y2→yy0．類比，雙曲線＝1切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程為＝1．例4．(2023甘肅張掖肅南一中模擬）已知橢圓：的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)F與橢圓的一個焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）過F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線的切線，，求直線，的交點(diǎn)Q的軌跡方程；（Ⅱ）從圓O：上任意一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，證明：為定值，并求出這個定值．【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則，即，則，橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)，故拋物線方程為．設(shè)直線MN：，，，代入拋物線方程得，則，，由于，∴，故直線的斜率為，的方程為，即，同理的方程為，令，即，顯然，，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是，即點(diǎn)，故點(diǎn)Q的軌跡方程是．（阿基米德三角形）（Ⅱ）證明：①當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時，根據(jù)對稱性，設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入圓的方程得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時兩條切線方程分別為，，此時，若的大小為定值，則這個定值只能是．②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時，即時，設(shè)，切線的斜率為k，則切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元得．由于直線是橢圓的切線，故，整理得．切線PA，PB的斜率，是上述方程的兩個實(shí)根，故，點(diǎn)P在圓上，故，∴，∴，綜上可知：的大小為定值，得證．例5．已知拋物線：（），圓：（），拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離的最小值為．（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）如圖，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)A，B（A，B異于點(diǎn)P），問是否存在圓使AB恰為其切線？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由．答案：（1）的方程為，準(zhǔn)線方程為．（2）存在，分析：（1）由得到p即可；（2）設(shè)，利用點(diǎn)斜式得到PA的的方程為，由到PA的距離為半徑可得，同理，同理寫出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線AB的距離為半徑建立方程即可．【解析】（1）由題意得，解得，∴拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為．（2）由（1）知，．假設(shè)存在圓使得AB恰為其切線，設(shè)，，則直線PA的的方程為，即．由點(diǎn)到PA的距離為r，得，化簡，得，同理，得．∴，是方程的兩個不等實(shí)根，故，．易得直線AB的方程為，由點(diǎn)到直線AB的距離為r，得，∴，于是，，化簡，得，即，經(jīng)分析知，，因此．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想．例6．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓C1過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點(diǎn)．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點(diǎn)，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．答案：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的方程為：，（2）①證明見解析，②有，最小值為．分析：（1）利用可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)和點(diǎn)在橢圓上列方程組可求得和，從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①利用△=0以及韋達(dá)定理可得結(jié)論；②先求出直線過定點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為，即求得最小值，當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長公式求出和，然后求比值，此時大于，當(dāng)直線的斜率不存在時，直接求出和可得比值為．從而可得結(jié)論．【解析】（1）∵拋物線C2有相同的焦點(diǎn)（1，0），且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)橢圓方程為，則且，解得，∴橢圓的方程為：．（2）①證明：設(shè)，過點(diǎn)與拋物線相切的直線為，由，消去得，由△=，得，則．②設(shè)，由①得，則，∴直線的方程為，∴，即，即直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，∴，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，時，△恒成立，，由消去得，△恒成立，則，∴，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，，∴的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與拋物線相切，考查了直線與橢圓相交的問題，考查了三角形的面積公式，考查了分類討論思想，考查了弦長公式，屬于難題．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．已知橢圓：的長半軸長為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.2．已知橢圓的方程為.（1）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)；（2）過點(diǎn)作兩條與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線，公共點(diǎn)分別記為?，點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點(diǎn)，且?都與橢圓只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.3．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，若面積的最大值為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作圓：，的兩條切線，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，(異于點(diǎn))，當(dāng)變化時，直線是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2：＋＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為∶1，離心率相同．(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C2上的一點(diǎn)．①射線PO與橢圓C1依次交于點(diǎn)A，B，求證：為定值；②過點(diǎn)P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點(diǎn)，求證k1·k2為定值．5．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.6．如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q.(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．7．已知拋物線E：過點(diǎn)，過拋物線E上一點(diǎn)作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點(diǎn)．（1）求拋物線E的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若直線MN的斜率為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：1．（1）；（2）.分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.又因?yàn)?，，所以，所以（舍）?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，屬于中檔題2．（1）證明見解析；（2）；（3）.分析：（1）當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得判別式為0，從而方程組只有一組解，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)，，得出A，B的坐標(biāo)滿足直線方程，推出直線AB的方程為，聯(lián)立NQ的方程解得Q點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)，分兩種情況：當(dāng)直線與有一條斜率不存在時，當(dāng)直線與有一條斜率存在時，討論點(diǎn)P的軌跡，即可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，直線，即直線，與橢圓只有一個公共點(diǎn).當(dāng)時，由得，，又，有，從而方程組只有一組解，直線與橢圓的有且只有一個公共點(diǎn).（2）設(shè)，.由（1）知兩條直線為，，又是它們的交點(diǎn)，，，從而有，的坐標(biāo)滿足直線方程，所以直線：.直線的方程為，由解得，即，（3）設(shè).當(dāng)直線與有一條斜率不存在時，，.當(dāng)直線與的斜率都存在時，設(shè)為和，由得，由，整理得，，和是這個方程的兩個根，有，得，所以點(diǎn)的軌跡方程是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第一問主要是通過聯(lián)立直線與橢圓所構(gòu)成的方程組有一個解；解決第二問主要是通過第一問中的結(jié)論得出的方程；解決第三問主要是依據(jù)兩直線的關(guān)系得到.3．（1）；（2）直線恒過定點(diǎn).分析：（1）首先列出關(guān)于的等式，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先設(shè)出過點(diǎn)的切線方程，利用，得到關(guān)于斜率的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的斜率，并寫出直線的方程，說明直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由題可知當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時，最大，此時，∴，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，即，∵直線與圓：相切，∴，即得.設(shè)兩切線的斜率分別為，，則，設(shè)，，由，∴，即，∴；同理：，；∴，∴直線的方程為.整理得，∴直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，邏輯推理能力，屬于難題.4．(1)＋＝1；(2)①證明見解析，②證明見解析【解析】(1)根據(jù)已知條件，求出a，b的值，得到橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)①對直線OP斜率分不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)OP斜率存在時，設(shè)直線OP的方程為y＝kx，并與橢圓C1的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)A橫坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，再通過弦長公式，求出的表達(dá)式，化簡整理得到定值．②設(shè)P(x0，y0)，寫出直線l1的方程，并與橢圓C1聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線l1與橢圓C1有且只有一個公共點(diǎn)，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得－2x0y0k1＋－1＝0，同理得到－2x0y0k2＋－1＝0，從而說明k1，k2是關(guān)于k的一元二次方程的兩個根，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，證得定值．【詳解】(1)設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意，a＝2，，解得b＝，因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)①1°當(dāng)直線OP斜率不存在時，PA＝－1，PB＝＋1，則＝＝3－2.2°當(dāng)直線OP斜率存在時，設(shè)直線OP的方程為y＝kx，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，所以，同理．所以，由題意，xP與xA同號，所以xP＝xA，從而＝＝＝＝3－2.所以＝3－2為定值．②設(shè)P(x0，y0)，所以直線l1的方程為y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，記t＝－k1x0＋y0，則l1的方程為y＝k1x＋t，代入橢圓C1的方程，消去y，得(4＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因?yàn)橹本€l1與橢圓C1有且只有一個公共點(diǎn)，所以Δ＝(8k1t)2－4(4＋1)(4t2－4)＝0，即4－t2＋1＝0，將t＝－k1x0＋y0