專題04 實(shí)數(shù)（知識串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）-蘇科版八年級《數(shù)學(xué)》上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（解析版）

第第頁專題04實(shí)數(shù)【考點(diǎn)1】無理數(shù)．【考點(diǎn)2】算術(shù)平方根．【考點(diǎn)3】平方根．【考點(diǎn)4】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕【考點(diǎn)5】立方根．【考點(diǎn)6】估算無理數(shù)的大?。究键c(diǎn)7】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【考點(diǎn)9】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；【考點(diǎn)10】二次根式的定義．【考點(diǎn)11】二次根式有意義的條件．【考點(diǎn)12】二次根式的性質(zhì)與化簡．【考點(diǎn)13】最簡二次根式．【考點(diǎn)14】同類二次根式．【考點(diǎn)15】二次根式的乘除法．【考點(diǎn)16】分母有理化．【考點(diǎn)17】二次根式的加減法；實(shí)數(shù)的性質(zhì)【考點(diǎn)18】二次根式的混合運(yùn)算知識點(diǎn)1：平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識點(diǎn)2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識點(diǎn)3：平方根的性質(zhì)知識點(diǎn)4：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，.知識點(diǎn)5：立方根的定義1.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號與這個(gè)非零數(shù)的符號相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點(diǎn)6：立方根的性質(zhì)注意：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點(diǎn)7：立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.知識點(diǎn)8：無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.知識點(diǎn)9：實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對應(yīng).知識點(diǎn)10：實(shí)數(shù)運(yùn)算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。2．運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。知識點(diǎn)11：二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)如二次根式滿足條件：必須含有二次根號被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2.二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)3.二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號語言文字語言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)提示有最小值，為02.的性質(zhì)符號語言應(yīng)用正用：逆用：若a≥0，則提示逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.的性質(zhì)符號語言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字語言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值應(yīng)用正用：逆用：知識點(diǎn)12：二次根式的乘除法法則二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣4.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）5.二次根式的除法法則的推廣注意：a≥0，b＞0時(shí)，a≥0，b＞0時(shí)，才有意義；如果被開方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)知識點(diǎn)13：最簡二次根式最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運(yùn)算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。知識點(diǎn)14：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點(diǎn)15：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點(diǎn)16：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【考點(diǎn)1】無理數(shù)．1．（2023?崇川區(qū)校級開學(xué)）下列一組數(shù)﹣8，，0，2，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可求解．【解答】解：在實(shí)數(shù)﹣8，，0，2，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），中，無理數(shù)有，0.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0），共2個(gè)．故選：C．2．（2022秋?江陰市期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．0 C．π D．0.12【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷．【解答】解：A、﹣是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、π是無理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、0.12是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【考點(diǎn)2】算術(shù)平方根．3．（2023?瑤海區(qū)三模）4的算術(shù)平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，求出4的算術(shù)平方根即可．【解答】解：4的算術(shù)平方根是：，故選：C．4．（2023?惠來縣模擬）的算術(shù)平方根是（）A．±3 B．﹣3 C． D．3【答案】C【分析】利用算術(shù)平方根的定義即可求解．【解答】解：＝3，3的算術(shù)平方根是．故選：C．5．（2023春?寶清縣校級期末）若，則x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．0＜x＜2【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可得2﹣x≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵＝2﹣x，≥0，∴2﹣x≥0，解得：x≤2．故選：A．6．（2023春?黔東南州期末）已知，，則的值約為（）A．0.228 B．0.0722 C．0.0228 D．0.722【答案】A【分析】根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)的移動規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的移動規(guī)律為：根號內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動兩位，對應(yīng)的結(jié)果小數(shù)點(diǎn)移動一位，小數(shù)點(diǎn)移動方向保持一致．【解答】解：∵，∴．故選：A．7．（2023春?撫遠(yuǎn)市期中）已知正數(shù)a的兩個(gè)不同的平方根分別是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算術(shù)平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求a﹣b2﹣2的平方根．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）一個(gè)數(shù)x的平方等于a，則這個(gè)數(shù)x即為a的平方根，其中正的平方根是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)平方根性質(zhì)列得方程解得x值后即可求得a的值，再由算術(shù)平方根的定義求得b的值即可；（2）將a，b的值代入a﹣b2﹣2中計(jì)算后求其平方根即可．【解答】解：（1）∵正數(shù)a的兩個(gè)不同的平方根分別是2x﹣2和6﹣3x，∴2x﹣2+6﹣3x＝0，解得：x＝4，則2x﹣2＝8﹣2＝6，那么a＝62＝36，∵a﹣4b的算術(shù)平方根是4，∴a﹣4b＝16，解得：b＝5；（2）∵a﹣b2﹣2＝36﹣52﹣2＝36﹣25﹣2＝9，那么其平方根為±3．8．（2022秋?長安區(qū)校級期末）如圖，用兩個(gè)邊長為cm的小正方形剪拼成一個(gè)大的正方形，（1）則大正方形的邊長是4cm；（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為3：2且面積為12cm2，若能，試求出剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；（2）先求出長方形的邊長，利用長與正方形邊長比較大小再判斷即可．【解答】解：（1）大正方形的邊長是＝4（cm）；故答案為：4；（2）設(shè)長方形紙片的長為3xcm，寬為2xcm，則2x?3x＝12，解得：x＝，3x＝3＞4，所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為3：2，且面積為12cm2．【考點(diǎn)3】平方根．9．（2023春?廣陽區(qū)期末）16的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：16的平方根是±4．故選：C．10．（2023?常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【答案】C【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故選：C．11．（2023春?黃岡期末）若（x﹣2）2＝9，則x的值是（）A．﹣1 B．5 C．5或﹣1 D．5或1【答案】C【分析】利用平方根的定義先得一元一次方程，再解一元一次方程即可．【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3．∴x＝2±3．∴x＝5或﹣1．故選：C．12．（2023春?商南縣期末）若2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)數(shù)兩個(gè)不同的平方根，則m的值（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1【答案】B【分析】根據(jù)2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)數(shù)兩個(gè)不同的平方根，則2m﹣4與3m﹣1互為相反數(shù)，構(gòu)建方程求得m的值．【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0，解得：m＝1．故選：B．13．（2023春?富川縣期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是m+6和2m﹣15，則的算術(shù)平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±2【答案】C【分析】先根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列方程求得m，再求解值即可求解．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是m+6和2m﹣15，∴m+6+2m﹣15＝0，則m＝3，∴，∴的算術(shù)平方根是2，故選：C．14．（2023春?昭陽區(qū)月考）求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．【答案】（1）x＝±5；（2）x＝9或x＝﹣7．【分析】運(yùn)用平方根知識進(jìn)行求解．【解答】解：（1）移項(xiàng)，得x2＝25，開平方，得x＝±5；（2）開平方，得x﹣1＝±8，解得x＝9或x＝﹣7．【考點(diǎn)4】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值．15．（2023春?八步區(qū)期中）已知，則a+b＝（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6【答案】D【分析】利用絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性得出a、b的值，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴a﹣1＝0，7+b＝0，∴a＝1，b＝﹣7，∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．故選：D．16．（2023春?雅安期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則2x+y的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±4【答案】A【分析】根據(jù)二次根式以及平方具有非負(fù)性可知：，（y+2）2≥0，又因?yàn)?，所以可以求出x＝3，y＝﹣2，代入到2x+y中，求出2x+y的平方根，即可解答．【解答】解：∵，（y+2）2≥0，又∵，∴x﹣3＝0，y+2＝0，則x＝3，y＝﹣2，∴2x+y＝2×3+（﹣2）＝6﹣2＝4．∵4的平方根為±2，故選：A．17．（2023春?西崗區(qū)月考）已知（4﹣a）2與互為相反數(shù)，則a﹣b的平方根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故選：C．【考點(diǎn)5】立方根．18．（2023春?海林市校級期中）立方根等于它本身的數(shù)是（）A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不對【答案】C【分析】利用立方根的定義即可求解．【解答】解：立方根等于它本身的數(shù)有：0和±1．故選：C．19．（2023春?鐵東區(qū)期中）27的立方根是（）A．3 B．±3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)立方根的定義即可得出答案．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故選：A．20．（2023春?巴東縣期末）已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.37【答案】B【分析】根據(jù)立方根的規(guī)律解答即可．【解答】解：∵；故選：B．21．（2023春?博白縣月考）已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則yx的立方根是（）A． B．﹣8 C．﹣2 D．±2【答案】C【分析】運(yùn)用非負(fù)數(shù)、乘方和立方根的知識進(jìn)行求解．【解答】解：由題意得，，解得，∴yx＝（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，即yx的立方根是﹣2，故選：C．22．（2023春?東莞市期中）x是的平方根，y是27的立方根，則x﹣y的值為（）A．0 B．﹣6 C．0或﹣6 D．0或﹣3【答案】C【分析】求出（﹣）2＝9，根據(jù)平方根和立方根定義求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：∵x是的平方根，y是27的立方根，∴x＝±3，y＝3，當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣y＝0，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x﹣y＝﹣6，故選：C．23．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）計(jì)算求下列各式中的x（1）9x2﹣4＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)立方根與平方根的定義即可求出答案．【解答】解：（1）x2＝，x＝x＝﹣（2）x+1＝﹣3x＝﹣424．（2023春?鞏義市期末）已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【答案】（1）a＝﹣，b＝7；（2）±5．【分析】（1）根據(jù)平方根立方根的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．（2）將a、b代入代數(shù)式計(jì)算數(shù)值后再求它的平方根即可．【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，解得；（2）當(dāng)，b＝7時(shí)，﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．則25的平方根是±5．∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．【考點(diǎn)6】估算無理數(shù)的大?。?5．（2023春?徐聞縣期末）的值在（）A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．5與6之間【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義，化為幾個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的大小比較．【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，故選：C．26．（2023春?沾化區(qū)期末）如圖1，將兩塊邊長均為3cm的正方形紙板沿對角線剪開，拼成如圖2所示的一個(gè)大正方形，則大正方形邊長的值在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？（）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間【答案】B【分析】根據(jù)對角線乘積的一半求出大正方形的面積，即可確定出邊長的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：大正方形的面積為cm2，則大正方形的邊長為．∵，∴．即大正方形邊長的值在4和5之間．故選：B．27．（2023春?巴彥淖爾期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n＜﹣1＜n+1，則n的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】直接利用估算無理數(shù)大小的方法得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∴7＜﹣1＜8，∴n＝7．故選：C．【考點(diǎn)7】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．28．（2023?邵陽縣校級模擬）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A．﹣2與 B．﹣2與 C．﹣2與 D．2與|﹣2|【答案】A【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、＝2，﹣2與是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)正確；B、＝﹣2，﹣2與相等，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣2與﹣是互為倒數(shù)，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、|﹣2|＝2，2與|﹣2|相等，不是互為相反數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．29．（2023?海港區(qū)一模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．3【答案】B【分析】先由a在數(shù)軸上的位置可得1＜a＜2，進(jìn)而可得∴|a|＜2，再由﹣a＜b＜a可得b的范圍，再選出符合要求的選項(xiàng)．【解答】解：由數(shù)軸的定義得：1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∴|a|＜2，又∵﹣a＜b＜a，∴b到原點(diǎn)的距離一定小于2，觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合，故選：B．30．（2023?浠水縣二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)向右就用加法求解．【解答】解：∵＝，所以點(diǎn)A表示的數(shù)為：﹣1+，故選：A．31．（2023春?惠城區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡得（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a＜0，b＞0，a﹣b＜0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再去絕對值，最后合并即可得到答案．【解答】解：∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，∴，故B正確．故選：B．【考點(diǎn)9】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；32．（2023春?沙坪壩區(qū)校級期末）計(jì)算：|﹣3|+（π﹣2）0＝4．．【答案】4．【分析】根據(jù)絕對值的概念和零指數(shù)冪的概念計(jì)算．【解答】解：|﹣3|+（π﹣2）0＝3+1＝4．故答案為：4．33．（2023?扶余市二模）計(jì)算：＝2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先得到16的算術(shù)平方根，然后進(jìn)行減法運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝4﹣2＝2．故答案為2．34．（2023春?靈丘縣校級期末）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)乘方、立方根、絕對值、算術(shù)平方根的意義逐項(xiàng)化簡，再算加減即可；（2）先根據(jù)立方根、絕對值、算術(shù)平方根的意義逐項(xiàng)化簡，再算加減即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．35．（2023?望城區(qū)模擬）計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根定義、絕對值性質(zhì)、立方根定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：＝＝＝．36．（2023?金安區(qū)校級三模）計(jì)算：．【答案】．【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根．化簡絕對值，求解立方根，再合并即可．【解答】解：+|﹣1|+＝4+﹣1﹣3＝．【考點(diǎn)10】二次根式的定義．37．下列各式中一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．當(dāng)x≥﹣1時(shí)，為二次根式，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．為二次根式，所以B選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)a≤﹣1或a≥1時(shí)，為二次根式，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．當(dāng)a＞0時(shí)，為二次根式，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．38．（2023春?涵江區(qū)期中）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把進(jìn)行化簡，然后根據(jù)是整數(shù)確定n的最小值．【解答】解：∵，且是整數(shù)，∴7n是個(gè)完全平方數(shù)，（完全平方數(shù)是能表示成一個(gè)整式的平方的數(shù)）∴n的最小值是7．故選：D．【考點(diǎn)11】二次根式有意義的條件．39.（2023春?巴南區(qū)月考）要使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≥3 C．x≤3 D．x≠3【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出6﹣2x＞0，再求出答案即可．【解答】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴6﹣2x＞0，解得：x＜3，故選：A．40．（2023春?濱海新區(qū)期末）若是二次根式，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≤1? C．x≥1? D．x≥0?【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵表示二次根式，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故選：C．【考點(diǎn)12】二次根式的性質(zhì)與化簡．41．（2023春?南寧期末）化簡的結(jié)果是（）A．5 B．±5 C．﹣5 D．25【答案】A【分析】先計(jì)算出被開方的值，根據(jù)二次根式的意義解答．【解答】解：原式＝＝5；故選：A．42．（2023春?禹州市期中）已知1＜a＜2，則化簡的結(jié)果為（）A．2a﹣4 B．4﹣2a C．2 D．﹣2【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵1＜a＜2，∴＝3﹣a+a﹣1＝2．故選：C．43．（2023春?綏江縣期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則+化簡后為（）A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．15﹣2a【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸表示的方法得到5＜a＜10，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式＝|a﹣3|+|a﹣12|，然后去絕對值、合并即可．【解答】解：∵5＜a＜10，∴原式＝|a﹣3|+|a﹣12|＝a﹣3﹣（a﹣12﹣）＝a﹣3﹣a+12＝9．故選：A．44．（2023春?雙鴨山期末）下列運(yùn)算中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A．＝|﹣3|＝3，故本選項(xiàng)不符合題意，B．＝2，故本選項(xiàng)不符合題意，C．＝﹣2，故本選項(xiàng)符合題意，D．﹣＝﹣（﹣1）＝1，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【考點(diǎn)13】最簡二次根式．45．（2023春?南沙區(qū)期末）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．＝，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．為最簡二次根式，所以B選項(xiàng)符合題意；C．＝2，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．＝2，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．46．（2023?平南縣模擬）化簡＝3．【答案】3．【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．【解答】解：＝×＝3，故答案為：3．【考點(diǎn)14】同類二次根式．47．（2023春?清江浦區(qū)期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，選被開方數(shù)為2的根式即可．【解答】解：＝2，因此選項(xiàng)A不符合題意；＝3，因此選項(xiàng)B符合題意；＝2，因此選項(xiàng)C不符合題意；＝2，顯然與不是同類二次根式，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．48．（2023?榆樹市二模）最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則x＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】把化為最簡形式，再根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【解答】解：＝2，∵簡二次根式與二次根式是同類二次根式，∴4﹣3x＝2，解得x＝．故答案為：．【考點(diǎn)15】二次根式的乘除法．49．（2023春?北京期末）計(jì)算：．【答案】10．【分析】根據(jù)二次根式乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：＝＝＝10．50．（2023春?船營區(qū)期末）計(jì)算：．【答案】．【分析】先計(jì)算括號內(nèi)二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法，進(jìn)行化簡，最后合并即可得到答案．【解答】解：＝＝＝＝．51．（2023春?密云區(qū)期末）計(jì)算：2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【考點(diǎn)16】分母有理化．52．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計(jì)算：+++…++．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）原式根據(jù)閱讀材料中的方法變形即可得到結(jié)果；（2）原式各項(xiàng)變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．53．（2023春?新市區(qū)期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2（2）a2﹣2ab+b2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先由a、b計(jì)算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）計(jì)算可得；（2）將a﹣b代入a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2計(jì)算可得．【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2）2＝8．【考點(diǎn)17】二次根式的加減法；實(shí)數(shù)的性質(zhì)54．（2023春?興城市期末）計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝＝．55．（2023春?船營區(qū)校級期末）計(jì)算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡并計(jì)算即可．【解答】解：（1）＝＝．【考點(diǎn)18】二次根式的混合運(yùn)算56．（2023?二道區(qū)校級開學(xué)）計(jì)算：．．【答案】5+．【分析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝3+2+2﹣5×＝3+2+2﹣＝5+．57．（2023春?順昌縣校級月考）計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)乘法公式，二次根式的混合運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：＝＝＝．【考點(diǎn)19】二次根式的化簡求值．58．（2023春?鹽城期中）先化簡，再求值：，其中a＝+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用乘法公式化簡合并同類項(xiàng)得出即可．【解答】解：原式＝a﹣a2+a2﹣3＝a﹣3，將a＝+1代入得：原式＝a﹣3＝+1﹣3＝﹣2．59．（2023春?涵江區(qū)期中）先化簡，后求值：，其中．【答案】；．【分析】根據(jù)平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再合并得到化簡的結(jié)果，再把代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：＝＝；當(dāng)時(shí)，原式＝．一．選擇題（共10小題）1．下列實(shí)數(shù)，，，|﹣3|，，，，0.3131131113?（相鄰兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)逐次加1）中，無理數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：|﹣3|＝3，，，∴無理數(shù)有：，，，0.3131131113?，故選：D．2．和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的數(shù)為（）A．虛數(shù) B．有理數(shù) C．無理數(shù) D．實(shí)數(shù)【答案】D【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對應(yīng)關(guān)系．故選：D．3．下列選項(xiàng)中正確的是（）A．27的立方根是±3 B．的平方根是±4 C．9的算術(shù)平方根是3 D．立方根等于平方根的數(shù)是1【答案】C【解答】解：A、27的立方根是3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、的平方根是±2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、9的算術(shù)平方根是3，故選項(xiàng)正確；D、立方根等于平方根的數(shù)是0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．若實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則（x+y）3的平方根為（）A．4 B．8 C．±4 D．±8【答案】D【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，則（x+y）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故選：D．5．4的平方根是（）A． B．± C．2 D．±2【答案】D【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，∴4的平方根為：±2，故選：D．6．對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*b＝（a﹣b）2．給出三個(gè)推斷：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；其中正確的推斷個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：a*b＝（a﹣b）2，b*a＝（b﹣a）2，∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，∴a*b＝b*a，故①推斷正確，符合題意；（a*b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2*b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，∵（a﹣b）4與（a+b）2（a﹣b）2不一定相等，∴（a*b）2與a2*b2不一定相等，故②推斷錯(cuò)誤，不符合題意；（﹣a）*b＝（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2，a*（﹣b）＝[a﹣（﹣b）]2＝（a+b）2，∴（﹣a）*b＝a*（﹣b）；故③推斷正確，符合題意；正確的推斷共2個(gè)，故選：C．7．一個(gè)數(shù)的平方根和它的立方根相等，這個(gè)數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．0和1【答案】C【解答】解：平方根和它的立方根相等的數(shù)是0．故選：C．8．a(chǎn)，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a【答案】B【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，∴﹣a＞0，﹣b＜0，∵﹣a＜b，∴﹣b＜a，∴﹣b＜a＜﹣a＜b．故選：B．9．已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|﹣|c﹣b|的結(jié)果是（）A．a(chǎn)+c B．c﹣a C．﹣a﹣c D．a(chǎn)+2b﹣c【答案】A【解答】解：通過數(shù)軸得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c﹣b＜0∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c，故答案為：a+c．故選：A．10．如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，AB＝AC