高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：第二課時(shí) 用空間向量研究夾角問題(人教A版)

第二課時(shí)用空間向量研究夾角問題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用向量方法解決簡(jiǎn)單夾角問題.2.通過用空間向量解決夾角問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.通過學(xué)習(xí)空間角的計(jì)算步驟和方法，把兩異面直線所成的角、線面角、二面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究1970年4月25日18時(shí)，新華社授權(quán)向全世界宣布：1970年4月24日，中國成功地發(fā)射了第一顆人造衛(wèi)星，衛(wèi)星運(yùn)行軌道的近地點(diǎn)高度439千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度2384千米，軌道平面與地球赤道平面夾角68.5度，繞地球一圈114分鐘.衛(wèi)星重173千克，用20.009兆赫的頻率播放“東方紅”樂曲.這里的68.5度是軌道平面與地球赤道平面的夾角.問題上述的68.5度是如何計(jì)算出來的呢？提示求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角求二面角.1.兩條異面直線所成的角θ與〈u，v〉的關(guān)系是相等或互補(bǔ)設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，2.直線和平面所成的角3.二面角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面

β的夾角.拓展深化[微判斷]1.兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.()

提示兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤.2.直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角.()

提示直線與平面所成的角和直線的方向向量與該平面法向量夾角互余或與其補(bǔ)角互余，故錯(cuò)誤.3.兩個(gè)平面的夾角就是該二面角兩個(gè)面的法向量的夾角.(

)

提示兩個(gè)平面的夾角與該二面角兩個(gè)面的法向量的夾角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤.×××[微訓(xùn)練]1.設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，則a與b所成的角為________.2.設(shè)直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________.2.設(shè)直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________.3.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面的夾角的大小為________.答案45°提示60°.提示60°.題型一異面直線所成的角【例1】在三棱錐P－ABC中，△ABC和△PBC均為等邊三角形，且二面角P－BC－A的大小為120°，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為(

)法二如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，法二如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，答案A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，設(shè)平面AMC1的法向量為n＝(x，y，z).(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，題型三兩平面的夾角【例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1和平面DOB1夾角的余弦值.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以O(shè)O1⊥AC，OO1⊥BD.因?yàn)锳C∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O(shè)1O⊥底面ABCD.【遷移】例3條件不變，求平面BA1C與平面A1CD的夾角的余弦值.規(guī)律方法利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角的大小時(shí)，多采用法向量的方法，即求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過法向量的夾角得到兩個(gè)平面的夾角的大小，這種方法思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量大，所以求解時(shí)需特別注意仔細(xì)運(yùn)算.【訓(xùn)練3】已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為(

) A.30° B.45° C.60° D.90°解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).答案B一、素養(yǎng)落地1.本節(jié)課通過學(xué)習(xí)利用空間向量求三種空間角的大小或其三角函數(shù)值，實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，在此過程中提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).2.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.3.解決空間角問題，首先要注意熟記公式，其次要注意空間角和對(duì)應(yīng)向量的夾角的區(qū)別.答案A答案A3.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(

)解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則D(0，0，0)，答案D4.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為________.解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3).三、審題答題示范(二)利用空間向量求兩個(gè)平面的夾角聯(lián)想解題看到①想到建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量求二者夾角的余弦值.滿分示范解取AB的中點(diǎn)E，連接DE，DB，因?yàn)锳B＝2CD，所以CD＝BE，又AB∥CD，CD＝BC，∠ABC＝90°，所以四邊形BCDE為正方形，不妨設(shè)CD＝1，則BC＝DE＝BE＝AE＝1，滿分心得(1)利用空間向量求平面的夾角運(yùn)算量較大，思路簡(jiǎn)單，所以需特別仔細(xì)，保證運(yùn)算正確.(2)利用空間向量求兩平面夾角的步驟：建系→寫坐標(biāo)→求法向量→計(jì)算數(shù)量積→結(jié)論.備用工具&資料3.二面角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面

β的夾角.[微訓(xùn)練]1.設(shè)兩條異面直線a，