2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一圓的相關(guān)概念題型01理解圓的相關(guān)概念題型02圓的周長與面積相關(guān)計算題型03圓中的角度計算題型04圓中線段長度的計算題型05求一點到圓上一點的距離最值考點二圓的性質(zhì)題型01由垂徑定理及推論判斷正誤題型02利用垂徑定理求解題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)題型06利用垂徑定理求平行弦問題題型07利用垂徑定理求同心圓問題題型08垂徑定理在格點中的應(yīng)用題型09利用垂徑定理的推論求解題型10垂徑定理的實際應(yīng)用題型11利用垂徑定理求取值范圍題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤題型13利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度題型14利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長題型15利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明題型21利用圓周角定理求解題型22利用圓周角定理推論求解題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題題型27利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題題型28利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍題型29利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題題型30圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時,常添加弦心距題型31圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時,常添加（畫）直徑所對的圓周角考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測圓的相關(guān)概念①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念.了解等圓、等弧的概念.在中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)在小題中通?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點，難度一般在中檔及以下，而在簡答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上.在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3-13分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復(fù)習(xí)這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)的各個概念、性質(zhì)以及推論，才能在后續(xù)的結(jié)合問題中更好的舉一反三.圓的性質(zhì)圓的對稱性理解圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.垂徑定理及推論探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.弧、弦、圓心角的關(guān)系探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等.圓周角定理及推論了解并證明圓周角定理及其推論.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)理解圓內(nèi)接四邊形的對角互補.考點一圓的相關(guān)概念定義內(nèi)容補充說明圓在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓.以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O.由圓的定義可知，確定圓的兩個條件①圓心，它確定圓的位置.②半徑，它確定圓的大小.圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.弦連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.①在一個圓上可以畫無數(shù)條弦和直徑.②直徑是弦，但弦不一定是直徑.③直徑是最長的弦.直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號：“”表示.以A,B為端點的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB①半圓是弧,但弧不一定是半圓.②弧有長度和度數(shù),規(guī)定半圓的度數(shù)為180°,劣弧的度數(shù)小于180°,優(yōu)弧的度數(shù)大于180°.半圓圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.劣弧小于半圓的弧叫做劣弧.同圓圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.①在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧.②同圓或等圓的半徑相同.等圓半徑相等的圓叫做等圓.同心圓圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距.圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個特征：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．圓內(nèi)接四邊形如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.題型01理解圓的相關(guān)概念【例1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的是（

）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④弧分為優(yōu)弧和劣?。瓵．① B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定方法、圓周角定理、弧的分類，逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項正確；②對角線相等的四邊形有可能是等腰梯形，對角線相等的平行四邊形才是矩形，故該選項錯誤；③在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項錯誤；④弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，故該項錯誤；綜上可知，正確的有①，故選：A．【點撥】本題考查菱形、矩形的判定，圓周角定理，弧的分類，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握上述知識點是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A.過不在同一直線上的三個點一定能作一個圓，故錯誤，不符合題意；B.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，不符合題意；C.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故錯誤，不符合題意；D.圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．【變式1-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于圓的說法，正確的是（

）A．弦是直徑，直徑也是弦B．半圓是圓中最長的弧C．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸D．過三點可以作一個圓【答案】C【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對稱軸的概念、過三點的圓的條件判斷即可．【詳解】解：A.弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項說法錯誤，不符合題意；B.半圓小于優(yōu)弧，半圓是圓中最長的弧說法錯誤，本選項不符合題意；C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，本選項說法正確，符合題意；D.過不在同一直線上的三點可以作一個圓，本選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運用它們解答．【變式1-3】（2022·四川德陽·模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷．【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，本說法錯誤；②同弧或等弧所對的圓周角相等，本說法正確；③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，本說法錯誤；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說法正確；故選：C．【點撥】本題考查的是命題的真假判斷，掌握圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型02圓的周長與面積相關(guān)計算【例2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學(xué)?？级＃┻m時的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周圍圓環(huán)面積約為（

）

A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π【答案】D【分析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)同心圓的圓心為O，連接OC，則大圓的半徑為OC，小圓的半徑為OB，

∴設(shè)小圓的半徑為OB=r，大圓的半徑OC=R，∵BC=400像素，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，在Rt△OBC中，OB∴R2∵S圓環(huán)∴S圓環(huán)故選：D．【點撥】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握圓環(huán)面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長公式，將每個圓的周長計算出來，找到和周長L的關(guān)系即可．【詳解】設(shè)大圓的直徑是D，圖（2）中三個小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據(jù)圓周長公式，得圖（1）中，需要2πD；圖（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故選：C．【點撥】注意：第二個圖中，計算三個小圓的周長時候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．【變式2-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）方孔錢是我國古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”．如圖所示，是方孔錢的示意圖，已知“外圓”的周長為2π，“內(nèi)方”的周長為4，則圖中陰影部分的面積是．【答案】π﹣1【分析】根據(jù)陰影部分面積＝圓的面積﹣中間正方形的面積即可求得．【詳解】解：∵“外圓”的周長為2π，“內(nèi)方”的周長為4，∴“外圓”的的半徑為1，“內(nèi)方”的邊長為1，∴圓的面積為π，中間正方形的面積為1，∴圖中陰影部分面積為：π﹣1．故答案為：π﹣1．【點撥】本題考查了圓的面積，明確陰影部分面積的組成是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的倍．（精確到個位）【答案】14【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求圓的半徑和正方形的邊長，利用面積公式求解即可.【詳解】解：如圖由題意得AC與EF共線∵圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1∴EF：AC=3：1∴OE：OA=3：1設(shè)OE=3x，OA=x在正方形ABCD中由勾股定理得：AD=2x∴圓的面積為：π×（3x）2=9πx2正方形的面積為（2x）2=2x2∴9πx2÷2x2=9π故答案為：14【點撥】本題主要考查了圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及圓與正方形的面積公式的求解.【變式2-4】（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考一模）把一個圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順序排列）是．【答案】1：2：3：2【分析】設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個圓的面積分別是2a，3a，4a．由題意得四個圓是相似形，根據(jù)面積比可求得其相似比，根據(jù)周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個圓的面積分別是2a，3a，4a，所有的圓都是相似形，面積的比等于半徑的比的平方，因而半徑的比是1:2:3故答案為：1:2【點撥】本題主要考查了圓相似形時，解題的關(guān)鍵是：掌握面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比．題型03圓中的角度計算【例3】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，點C在弦AB上，連接CO并延長CO交于⊙O于點D，∠D=20°，則∠BAD的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】連接OA，根據(jù)圓的半徑相等證明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．【詳解】解：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故選：C．【點撥】本題考查的是圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的半徑相等和等邊對等角是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點撥】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，CD是⊙O的直徑，弦DE∥AO，若∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性質(zhì)得∠AOD=50°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，∴OA=OC，∴∠C=∠A=25°，∴∠AOD=∠C+∠A=50°，∵OA∥DE，∴∠D=∠AOD=50°，故選：C．【點撥】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，本題屬基礎(chǔ)題目，難度不大．【變式3-3】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD=OA，∠O=75°，則∠A的度數(shù)為（

）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【分析】連接OD，根據(jù)CD=OA，OA=OD，設(shè)∠C=α，根據(jù)等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)可得∠A=3α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得【詳解】解：如圖，連接OD，∴OA=OD∴∠A=∠ODA∵CD=OA∴∠C=∠DOC設(shè)∠C=α，∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α在△AOC中，∠O=75°∴∠A+∠C=105°∴3α=105°∴α=35°∴∠A=2α=70°故選C【點撥】本題考查了圓的基本概念，等角對等邊，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型04圓中線段長度的計算【例4】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長為（

A．403 B．8 C．245 D【答案】C【分析】連接OE，證明OE∥【詳解】解：連接OE，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE?AB故選：C．

【點撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）已知AB=12，C.D是以AB為直徑的⊙O上的任意兩點，連接CD，且AB⊥CD，垂足為M，∠OCD=30°，則線段MB的長為．【答案】9【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OM=12OC=3【詳解】解：如圖，∵AB⊥CD，∴OM=1∵AB=12，∴OC=OB=6，∴OM=3，∴MB=OM+OB=9，故答案為：9．【點撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出OM=1【變式4-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知A.B是圓O上的點，以O(shè)為圓心作弧，交OA、OB于點C.D．分別以點C和點D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧相交于點E．作線段OE，交AB于點F，交⊙O于點G．若OF=3cm，∠AOB=120°，則⊙O【答案】6【分析】連接CD，根據(jù)作圖得出OE垂直平分CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB【詳解】解：連接CD，根據(jù)作圖可知，OC=OD，OE垂直平分CD，∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠AOE=∠BOE=1即∠AOF=∠BOF=1∵AO=BO，∴OF⊥AB，∴∠AFO=90°，∴∠OAF=30°，∴OA=2OF=2×3=6cm故答案為：6．【點撥】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．題型05求一點到圓上一點的距離最值【例5】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（

）A．52 B．125 C．13-【答案】D【分析】證明∠AMD=90°，得出點M在O點為圓心，以A【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形ABCD為矩形∴∠BAP∵∠ADM=∠BAP∴∠MAD∴∠AMD∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短∵BO2∴B∴BO=∵BN=BO-AO=故選：D．【點撥】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．【變式5-1】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點D是ΔABC內(nèi)的一點，連接AD，CD，BD，滿足∠ADC=90°，則A．5 B．6 C．8 D．13【答案】C【分析】如圖，取AC中點O，連接DO．則點D在以點O為圓心，AC長為直徑的圓周上運動，當(dāng)O、D、B在同一直線上時，OB最短，此時BD=OB-OD=OB-5為最短．所以BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即為BD的最小值．【詳解】解：如圖，取AC中點O，連接DO．∵∠ADC=90°，∴點D在以點O為圓心，AC長為直徑的圓周上運動，且DO=1當(dāng)O、D、B在同一直線上時，OB最短，此時BD=OB-OD=OB-5為最短．在RtΔOC=5，BC=12，則OB=12∴BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即BD的最小值是8．故選：C．【點撥】本題主要考查了兩點之間最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造圓和運用勾股定理．【變式5-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點D，AD=5，P是半徑為3的⊙A上一動點，連結(jié)PC，若E是PC的中點，連結(jié)DE，則DE長的最大值為（

）A．8 B．8.5 C．9 D．【答案】A【分析】連接BP，根據(jù)三角形中位線定理可得DE=12BP，從而得到當(dāng)BP最大時，DE最大，再由當(dāng)PB過圓心A時，【詳解】解：如圖，連接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點D，∴BD=CD=12，∵E是PC的中點，∴DE=1∴當(dāng)BP最大時，DE最大，∵P是半徑為3的⊙A上一動點，∴當(dāng)PB過圓心A時，PB最大，此時P、A.B三點共線，∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值為13+3=16，∴DE的最大值為8．故選：A【點撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理，明確當(dāng)PB取最大值時，DE的長最大是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且BC=2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2 C【答案】A【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD=OA=3，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=12=CD當(dāng)OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當(dāng)C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=32∴CD=32∴OM=12CD=322+1，即故選A【點撥】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是關(guān)鍵，也是難點．考點二圓的性質(zhì)1.圓的對稱性內(nèi)容補充圓的軸對稱性經(jīng)過圓心任意畫一條直線，并沿此直線圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對稱圖形所沒有的性質(zhì).②圓的對稱軸不是直徑，而是直徑所在的直線.③圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.2.垂徑定理及推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理.常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.【易錯點】求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．3.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．4.圓周角定理圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.【補充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°【解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．11）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.5.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補.2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角.題型01由垂徑定理及推論判斷正誤【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．AD【答案】B【分析】由于CD⊥AB,根據(jù)垂徑定理有AE=BE,AD=BD,不能得出OE=DE,【詳解】解：如圖所示，∵CD⊥AB,∴AE=BE,AD=⊙O的半徑都相等，那么AO=CO,不能得出OE=DE.故選:B.【點撥】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容.【變式1-1】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，點F是⊙O直徑AB上一個動點（不與點A，B重合），過點F作弦CD⊥AB，點E是AD上不與點D重合的一個動點，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A．CF=DF B．ACC．∠BAC=∠BED D．∠ABC>∠BED【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可．【詳解】∵AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，垂足為F，∴CF=DF，CB=DB，∴∠BAC=∠BED，∠CAB=∠BED，∴A.B.C正確；∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠BED+∠ABC=90°，但是不能確定∠ABC和∠BED的大小關(guān)系，∴∠ABC>∠BED不一定正確，故選：D．【點撥】本題考查圓的性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的運用．【變式1-2】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° D【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，得CE=DE，BC?=BD?，進而得出△OCE為等腰直角三角形，進而得出∠OCE=45°，【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，BC?∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故選：B．【點撥】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型02利用垂徑定理求解【例2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OB，由垂徑定理可得BE=AE=8，由勾股定理計算即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，∵線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，AB=16，∴BE=AE=1∴在Rt△OBE中，可有∴⊙O半徑是10．故選：D．【點撥】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理等知識，理解并掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·重慶·重慶八中校考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（）A．3 B．2 C．23 D．4【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理求出CE=12CD=12AC，則在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根據(jù)OC=OA=22，得到∠CAO=∠ACO=30°，則有∠OEC=30°，則在Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6，則【詳解】∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴直徑AB平分弦CD，E為CD中點，∴CE=12CD=12∴∠CAO=30°，∴∠ACE=60°，又∵OC=OA=22∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠OEC=30°，∴Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6則△AOC的面積為：S=1故選：C．【點撥】本題主要考查了垂徑定理以及解特殊直角三角形的知識，靈活運用垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考二模）如圖，⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為（

）A．4 B．23 C．3 D．【答案】B【分析】過點O作OM⊥BC，交BC于點M，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過點O作OM⊥BC，交BC于點M，∵⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵OB=OC，OM⊥BC，∴∠COM=12∠BOC=60°∴在RtΔCOM中，∴OM=12OC=1∴BC=2CM=23故選：B．【點撥】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則A．25cm B．43cm C．25【答案】C【分析】先畫好一個圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5當(dāng)C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-AM∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM2當(dāng)C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=AM2故選C．【點撥】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論，熟練運用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解【例3】（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（

）A．6 B．5 C．42 D．【答案】B【分析】如圖，連接CO，延長CO交AE于點T．設(shè)⊙O的半徑為r．證明△AOT?△CODAAS，推出CD=AT=4【詳解】解：如圖，連接CO，延長CO交AE于點T，設(shè)⊙O的半徑為∵AC∴CT⊥AE，∴AT=TE=1在△AOT和△AOD中，∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠COD∴△AOT?△CODAAS∴CD=AT=4，在Rt△COD中，OC∴r∴r=5，故選：B．【點撥】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考?？碱}型．【變式3-1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為BD的中點，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點G，連接CD，AD，BF．(1)求證：ΔBFG?ΔCDG；(2)若AD=BE=2，求BF的長．【答案】(1)證明見解析；(2)BF=23【分析】(1)根據(jù)點C為BD的中點和垂徑定理可證CD=BF，再利用AAS即可證得結(jié)論；(2)解法一：連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，由CF=BD列出關(guān)于r的方程就能求解；解法二：如圖，作輔助線，構(gòu)建角平分線和全等三角形，證明RtΔAHC?RtΔAEC，得AE=AH，再證明RtΔCDH?RtΔCBEHL，得DH=BE=2，進而可得AE和AB的長，易證ΔBEC～ΔBCA，列比例式可求得BC的長，也就是BF解法三：連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線定理可得OH=1，再證明ΔCOE?ΔBOH，然后利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】證明：(1)∵C是BD的中點，∴CD=∵AB是⊙O的直徑，且CF⊥AB，∴BC=∴CD=BF，∴在ΔBFG和ΔCDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC∴ΔBFG?ΔCDGAAS(2)解法一：如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，RtΔADB中，BD2=ARtΔOEF中，OF2=O∵CD=BC=BF，∴BD∴BD即2r2解得：r=1(舍)或3，∴BF∴BF=23

解法二：如圖，過C作CH⊥AD交AD延長線于點H，連接AC、BC，∵CD=BC，∴∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴RtΔAHC?RtΔAEC，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴RtΔCDH?RtΔCBEHL∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∵∠EBC=∠ABC，∴ΔBEC～ΔBCA，∴BCAB∴BC∴BF=BC=23

解法三：如圖，連接OC，交BD于H，∵C是BD的中點，∴OC⊥BD，∴DH=BH，∵OA=OB，∴OH=1∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90∴ΔCOE?ΔBOHAAS∴OH=OE=1，OC=OB=3，∴CE=EF=3∴BF=B

【點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識．第二問有難度，注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖AB為圓O的直徑，AE為圓O的弦，C為O上一點，AC=CE，CD⊥AB，垂足為

(1)連接CO，判斷CO與AE的位置關(guān)系，并證明；(2)若AE=8，BD=2，求圓O的半徑；【答案】(1)CO⊥AE，證明見詳解(2)5【分析】（1）CO⊥AE，理由如下：延長CO交AE于點G，連接OE，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可；（2）由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=12AE=4【詳解】（1）解：CO⊥AE，理由如下：延長CO交AE于點G，連接OE，

∵AC∴∠AOC=∠COE,∵∠AOG=180°-∠AOC,∠GOE=180°-∠EOC,∴∠AOG=∠GOE,∵OA=OE，∴CO⊥AE；（2）解：由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,△AGO≌△CDO(AAS∴AG=CD=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r-2，OC=r,在Rt△CDO中，CD解得：r=5，即⊙O的半徑為5．

【點撥】本題考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解【例4】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？既＃┤鐖D，點E是⊙O中弦AB的中點，過點E作⊙O的直徑CD，P是⊙O上一點，過點P作⊙O的切線與AB延長線交于點F，與CD延長線交于點G，若點P為FG中點，cosF=35，⊙O的半徑長為3則CEA．75 B．85 C．32【答案】B【分析】連接OP，由切線的性質(zhì)得OP⊥FG，證明ΔOPG～ΔFEG得OPFE=PGEG=OGFG，∠POG=∠F，由cos∠F=35可進一步求出【詳解】解：連接OP，如圖，∵FG是圓的切線，點P是切點，∴OP⊥FG，即∠OPG=90°,又點E為AB的中點，且CD是直徑，∴CD⊥AB，即∠GEF∴∠OPG=∠GEF=90°,又∠G=∠G,∴ΔOPG～∴OPFE=PG∵cos∴cos∵OP=3,∴3∴OG=5,由勾股定理得，PG=O∵點P是FG的中點，∴FG=2PG=8,又OPFE∴PGOG=EG∴EG=32∴OE=EG-GO=32∴CE=OC-OE=3-7故選B．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等投放一款，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．10【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC的長，易證：△AEO∽△AFC，求出CF長，即可求解．【詳解】解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝OA=5，∴AE＝AO∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴AOAC=EO∴FC=24∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝485＝9.6故選：A．【點撥】本題考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握應(yīng)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2019·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【詳解】分析：根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．詳解：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=BE∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OFBE=OC解得：OF=5．故選D．點撥：本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長．【變式4-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點．(1)過點B作⊙O的切線PB，交AC的延長線于點P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD=2，PC=9，求PB的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）以B為圓心，小于OB的長為半徑畫弧，與直線AB有兩個交點，再以這兩個交點為圓心，大于這兩點的長的一半為半徑畫弧，兩弧的交點和點B的連線所在的直線交AC的延長線于點P；（2）由垂徑定理得BD=CD，則OD為△ABC的中位線，得AC=2OD=4，由圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，推出Rt【詳解】（1）解：如圖，PB為所作；（2）解：∵OD⊥BC，∴BD=CD，∵OB=OA，∴OD為△ABC的中位線，∴AC=2OD=4，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵PB為⊙O的切線，∴AB⊥PB，∴∠PBA=90°，∵∠BPC=∠APB，∴R∴PB:PA=PC:PB，即PB:4+9解得：PB=313即PB的長為313【點撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)【例5】（2021·吉林松原·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D，若⊙P的半徑為5，點A的坐標(biāo)是(0,8)，則點D的坐標(biāo)是（

）

A．(9,2) B．(9,3) C．(10,2) D．(10,3)【答案】A【分析】在Rt△CPF中根據(jù)勾股定理求出PF的長，再根據(jù)垂徑定理求出DF的長，進而求出OB，BD的長，從而求出點D的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)切點分別為G，E，連接PG，PE，PC，PD，并延長EP交BC與F，則PG=PE=PC=5，四邊形OBFE是矩形．∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．∵PF過圓心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故選A．

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，以及垂徑定理等知識，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點，假設(shè)點P的坐標(biāo)為（5，3），點M是⊙P上的一動點，那么△ABM面積的最大值為（）

A．64 B．48 C．32 D．24【答案】C【分析】過點P作PD⊥x軸于點D，連接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂徑定理，即可求得AD的長，繼而求得AB的長，繼而求得答案．【詳解】解：過點P作PD⊥x軸于點D，在AB上方，PD與⊙P的交點即△ABM面積最大時動點的位置，連接PC，PA，

∵點P的坐標(biāo)為(5,3)，∵⊙P與y軸相切于點C，∴PC=5，PD=3，∴PC=PA=5，在Rt△PAD中，AD=P∵PD⊥AB，∴AB=2AD=8，當(dāng)點M位于(3,8)時，△ABM面積最大，最大值為：12故選C．【點撥】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，添設(shè)輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M3,5為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A.C兩點，則點B的坐標(biāo)是【答案】(6,1)【分析】如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點D，連接MD交BC與點E，結(jié)合已知條件，則可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，進而即可求得B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點D，連接MD交BC與點E，則MD⊥x軸，∵AB為直徑，則∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC∥x軸，∵∴MB=MD=5，CE=EB=3，∴ME=MB2∴DE=MD-ME=5-4=1，∵BC∥x軸，∴B(6,1)．故答案為：(6,1)．【點撥】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A.B.C.D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進而可得點D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC.PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，-1∴CF＝DF＝3-(-12)∴OD＝OF+DF＝12+7∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點撥】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．【變式5-4】（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交點分別為B.C，圓心M的坐標(biāo)是（4，5），則弦BC的長度為．【答案】6【分析】連接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂徑定理得到BC=2HB，根據(jù)切線的性質(zhì)及M點的坐標(biāo)得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的長度．【詳解】解：如圖，連接BM、AM，作MH⊥BC于H，則BH=CH，∴BC=2HB，∵⊙M與x軸相切于點A，∴MA⊥OA，∵圓心M的坐標(biāo)是(4，5)，∴MA=5，MH=4，∴MB=MA=5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=M∴BC=2×3=6．故答案為：6．【點撥】本題考查切線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的知識．解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．【變式5-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙C

(1)求出A，B兩點的坐標(biāo)；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A(2)y=-x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于點E，連接OA,OB，根據(jù)C1,1，半徑AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標(biāo)為1,3或1,-1，分別設(shè)出解析式代入點B的坐標(biāo)求出解析式；（3）假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y軸，確定點D在y軸上，根據(jù)【詳解】（1）作CE⊥AB于點E，連接OA,OB，∵C1,1，半徑AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1-

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標(biāo)為1,3或1,-1，當(dāng)拋物線的頂點P的坐標(biāo)為1,3時，設(shè)拋物線的解析式為y=ax-1將點B1+3,0∴y=-x-1當(dāng)拋物線的頂點P的坐標(biāo)為1,-1時，設(shè)拋物線的解析式為y=ax-1將點B1+3,0∴y=1（3）假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且∵PC∥y∴點D在y軸上，當(dāng)拋物線為y=-x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2滿足y=-∴點D在拋物線上，存在D0,2使線段OP與CD當(dāng)拋物線為y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,-3∵D0,-3不滿足y=∴不存在D0,-3使線段OP與CD綜上，存在D0,2使線段OP與CD【點撥】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)及判定，綜合掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．題型06利用垂徑定理求平行弦問題【例6】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，利用平行線的性質(zhì)OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=4cm，CF=DF=3cm，則利用勾股定理可計算出OE=3cm，OF=4cm，討論：當(dāng)點O在AB與CD之間時，EF=OF+OE；當(dāng)點【詳解】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖

∵AB∥CD∴OF⊥CD∴AE=BE=在Rt△OAE中，在Rt△OCF當(dāng)點O在AB與CD之間時，如圖1，EF=OF當(dāng)點O不在AB與CD之間時，如圖2，EF=OF-OE=4-3=1故選：C．【點撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．注意分類討論．【變式6-1】（2022·江蘇宿遷·校聯(lián)考一模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD【答案】7或1．【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長度，即可得到答案．【詳解】解：分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時，如圖1所示，

過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E,F分別為CD.AB的中點，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，則EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時，如圖2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．故答案為：7或1．【點撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點Q，現(xiàn)有以下三個選項：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10，請你選擇兩個合適選項作為條件，求⊙O的半徑，你選擇的條件是【答案】(1)見解析(2)①②；①③；②③；半徑為5【分析】（1）直接連接AF，BE交于點C，連接OC并延長交EF于點P，此點即為所求點．（2）連接OF，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AF，BE交于點C，連接OC并延長交EF于點P．（2）第一種情況：選①②，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，∵S∴12×3PQ=∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第二種情況：選①③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：OP⊥EF，∵S∴QF?PQ=3，∵QF∴QF2+P∴QF+PQ=4，∵∠FPQ>45°，∴PQ<QF，由此解得PQ=1，QF=3，∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第三種情況：選②③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，PF=10∴PQ=P∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+【點撥】本題主要考查了垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理相關(guān)內(nèi)容，并能結(jié)合勾股定理靈活解題．題型07利用垂徑定理求同心圓問題【例7】（2020·山東泰安·校考模擬預(yù)測）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時候最大，什么時候最?。?dāng)A′B′與小圓相切時有一個公共點，此時可知A′B′最小；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時有一個公共點，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴A'D=∴A′B′=8；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB=10，所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．故選：A．【點撥】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．【變式7-1】（2022·四川綿陽·校考一模）如圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【答案】A【分析】根據(jù)題意將小圓平移至與大圓共圓心處，再利用垂徑定理及勾股定理求解即可．【詳解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，故將⊙O2平移至⊙O1的圓心處，此時AB與小圓相切與點E，則陰影部分面積即為小圓外部和大圓內(nèi)部環(huán)狀部分的面積由切線的性質(zhì)可得：OD⊥AB，則由垂徑定理可得：EB=1在Rt△OEB中，由勾股定理可得：OBS⊙2=πOE∴S故選：A．【點撥】本題考查圓的切線性質(zhì)，垂徑定理及勾股定理等，靈活對圖中兩個圓進行平移構(gòu)成同心圓進而求解是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，若AB=8，則圓環(huán)的面積是．【答案】16π【分析】如圖，連接OA、OC，設(shè)OA=R，OC=r，由切線的性質(zhì)得，OC⊥AB，由垂徑定理得，AC=12AB=4，由勾股定理得，R【詳解】如圖，連接OA、OC，設(shè)OA=R，OC=r，∵大圓的弦AB切小圓于點C，∴OC⊥AB，∵AB=8，∴AC=1在Rt△OCA中，R2∵S大圓=∴S故答案為：16π．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及圓與圓環(huán)的面積計算，掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．題型08垂徑定理在格點中的應(yīng)用【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，AE的延長線經(jīng)過格點D，則AE的長為（

）A．3π4 B．π2 C．5π8【答案】D【分析】如圖，作AB、BC的垂直平分線，兩線交于O，F(xiàn)為AB的中點,連接OA、OE、OC,由垂徑定理可得AF=1【詳解】解：如圖，作AB、BC的垂直平分線，兩線交于O，F(xiàn)為AB由垂徑定理得：AF=12∴OA=∵∠ABC=90°∴AC是直徑根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：AC=CD=32+∴AC∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，∴∠ECA=45°，∴AE所對的圓心角是90°，∴弧AE的長是90×2π×5故選：D．【點撥】本題主要考查了垂徑定理、弧長公式等知識點，根據(jù)題意找到圓心是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點D均在格點上，并且在同一個圓上，取格點M，連接AM并延長交圓于點C，連接AD．

（1）AM=；（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段AP，使AP平分∠CAD，且點P在圓上，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】13作圖見解析；連接EF交CD于點G，連接OG交圓于點P，連接AP即可．【分析】（1）先作出圓心，再根據(jù)勾股定理求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點和垂徑定理求解．【詳解】解：（1）找出圓的圓心O，連接OA，根據(jù)勾股定理得：AO=2（2）AP即為所求；

連接EF交CD于點G，連接OG交圓于點P，連接AP即可．【點撥】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計，掌握勾股定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，M均為格點，以格點O為圓心，AB為直徑作圓，點M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長等于；（Ⅱ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM【答案】210取格點C，連接AC并延長，交⊙O于點P，則點P【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）取格點C，連接AC并延長，交⊙O于點P，則點P即為所求．【詳解】解：（1）AB=（2）如圖所示，取格點C，連接AC并延長，交⊙O于點P，則點P即為所求．理由如下，

∵t∴∠MON=∠CAD∵∠ACD+∠CAD=90°∴∠MON+∠CAD=90°∴AC⊥OM，∴PM=【點撥】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，正切的定義，垂徑定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格中，每個正方形的頂點叫做格點．⊙O經(jīng)過A.B.C三點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中畫出圓心O；(2)在圖2中的圓上找一點E，使OE平分弧BC；(3)在圖3中的圓上找一點F，使BF平分∠ABC．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】（1）利用圓周角定理和兩條直徑的交點即為圓心O即可；（2）由（1）中方法找到圓心O，根據(jù)垂徑定理的推論找到BC的中點即可求解；（3）先找到圓心O，根據(jù)圓周角定理知∠ABC=90°，利用垂徑定理的推論，過O作垂直于AC的直徑，交圓O于F，則∠AOF=∠COF=90°，由圓周角定理可得∠CBF=∠ABF=45°，即點F即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，點O即為所求作；（2）解：如圖2，點E即為所求作；（3）解：如圖2，點F即為所求作．

【點撥】本題考查基本幾何作圖，涉及到圓周角定理、垂徑定理的推論，熟練掌握網(wǎng)格中的基本作圖方法和相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．題型09利用垂徑定理的推論求解【例9】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是弧BE的中點，點B是弧CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵點B是CD的中點，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得∴CD=2CG=8，∵點C是BE的中點，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故選D．

【點撥】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C.D是⊙O上兩點，若BC＝BD，∠OCD＝14°，則∠D的度數(shù)為（

）A．34° B．36° C．37° D．38°【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論可得CD⊥AB，進而求得∠COB=76°，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵BC＝BD，AB是⊙O的直徑，∴CD⊥AB.∵∠OCD＝14°，∴∠COB=76°∵∴∠CDB=故選D【點撥】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧BC上一點，若∠CEA=28°，則∠ABD的度數(shù)為（

）A．14° B．28° C．56° D．無法確定【答案】B【分析】連接BC，根據(jù)CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，得到AC=【詳解】如圖，連接BC，∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴AC=∴∠CEA=∠DBA=∠CBA=28°，故選B．【點撥】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．題型10垂徑定理的實際應(yīng)用【例10】（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48A．8cm B．10cm C．【答案】C【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得水的最大深度DE的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：AD=1∵⊙O的直徑為52∴OA=OE=26在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE-OD=26-10=16∴水的最大深度為16故選：C．【點撥】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．【變式10-1】（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深DE=1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（

）A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸【答案】D【分析】延長DE，交⊙O于點E，連接OA，由題意知DE過點O，且OD⊥AB，由垂徑定理可得AE=BE=12AB=12尺=5寸，設(shè)半徑OA=OD=r，則OE=r-1【詳解】解：延長DE，交⊙O于點E，連接OA，由題意知DE過點O，且OD⊥AB，∵OD為⊙O半徑，∴AE=BE=12AB=設(shè)半徑OA=OD=r，∵DE=1，∴OE=r-1在Rtr-1解得：r=13，∴木材直徑為26寸；故選：D．【點撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞，如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m,【答案】1.3【分析】運用圓的性質(zhì)，垂徑定理構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可．【詳解】如圖，設(shè)圓心為點E，洞高為DB=2.5m，入口寬為AC=1根據(jù)題意，得EB=2.5-x根據(jù)勾股定理，得x2解得x=1.3，故答案為：1.3．【點撥】本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，用勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·廣東佛山·?？既＃┕磐駚?，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點）距離水面(3)如圖③，某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2【答案】(1)25(2)y=-(3)此時橋A的水面寬度為821m，橋B【分析】（1）設(shè)ABC所在圓的圓心為點O，連接OA,OD，則OB⊥AC，AD=CD=20m，再設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=r（2）以水面所在直線為x軸，MN的中點為原點O，建立平面直角坐標(biāo)系，則N5,0（3）根據(jù)（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的長，再利用垂徑定理即可得此時橋A的水面寬度；根據(jù)（【詳解】（1）解：如圖，設(shè)ABC所在圓的圓心為點O，連接OA,OD，

由垂徑定理得：點O,D,B共線，則OB⊥AC，AD=CD=1設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則∴OD=OB-BD=r-10在Rt△AOD中，AD解得r=25，故答案為：25．（2）解：如圖，以水面所在直線為x軸，MN的中點為原點O，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：N5,0則設(shè)橋拱拋物線的解析式為y=ax將點N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以橋拱拋物線的解析式為y=-4（3）解：如圖，橋A中，由（1）可知：OF=25m

由題意得：OB⊥FG,DE=2∴OE=17在Rt△EOF中，由垂徑定理得：FG=2EF=821即此時橋A的水面寬度為821如圖，橋B中，y=-4

當(dāng)y=2時，-4解得x=522所以此時橋B的水面寬度為52答：此時橋A的水面寬度為821m，橋B的水面寬度為【點撥】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式10-4】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A,B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當(dāng)支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A.B可以調(diào)節(jié)CD的高度．當(dāng)AB經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值10(1)當(dāng)滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．(2)如圖3，當(dāng)某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（AE=AB），求該手機的寬度．【答案】(1)支撐桿CD的高度為9cm．(2)手機的寬度為8cm．【分析】（1）如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6,由OD⊥AB,先求解OD,從而可得答案；（2）如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，證明AE=CD=BF=AB,設(shè)AD=BD=x,則AE=CD=BF=AB=2x,則OD=2x-5,再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6,∴OA=5,∵CD⊥AB,即OD⊥AB,∴AD=BD=3,∴OD=5∴CD=OC+OD=9.所以此時支撐桿CD的高度為9cm．（2）解：如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，由題意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,∴四邊形AEFB為正方形，∵CD⊥EF,∴AE=CD=BF=AB,∵CD⊥AB,∴設(shè)AD=BD=x,則AE=CD=BF=AB=2x,∵OA=OC=5,∴OD=2x-5,由勾股定理可得：52解得x1經(jīng)檢驗x=0不符合題意，舍去，取x=4,AB=8（cm），即手機的寬