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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年河南省周口市項(xiàng)城第三高級(jí)中學(xué)高三(上)期中
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共12小題,共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},則MClN=()
A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()
X
A.y=VxB.y=cos%C.y=3D.y=ln|x|
x+y>2,
3.若x,y滿足約束條件x+2yW4,則z=2x-y的最大值是()
y>o,
A.-2B.4C.8D.12
4.函數(shù)/。)=5皿|+口抽最小正周期和最大值分別是()
A.3兀和/B.37r和2C.6兀和&D.6兀和2
5.已知f(x)=3且「(血)=一3,則m的值等于()
A.-4B.2C.-2D.±2
6.在下列區(qū)間中,函數(shù)/。)=2,-%—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
7.COS2-COS2|^=()
A.|B.C.乎D.好
8.已知p:久&是方程/+5%-6=0的兩根,q:-x2=-6,貝Up是勺的()
A.充分不必要條件B,必要不充分條件
C.充要條件D,既不充分也不必要條件
9.若函數(shù)/(%)=%2]n(,%2+口—%)為奇函數(shù),則a=()
112
A.4-2-
1A
10.己知x>0,y>0且]=1,若%+y>nr?+8m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.(m\m>B.{m\m<-3}
C.[m\m>1}D.{m\—9<m<1}
11.函數(shù)f(x)=4s譏(3X+0)(4>0,3>0,3<方的部分圖象如圖所示,將函數(shù)/(x)的圖象
向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=gQ)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()
A.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)
B,函數(shù)g(x)的最小正周期為2兀
C.函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線》="+其keZ)
D.函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一招+時(shí),"+時(shí)(kGZ)
12.已知a=皿,b=~,c=4)則a,b,c的大小關(guān)系為()
neen
A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b
二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.已知函數(shù)f(%)=]og2(X2+a),若/(3)=1,則a=.
14.曲線y=3(/+x)e”在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.
15.已知a、夕均為銳角,且cosa=cos(0+夕)=一則夕=,
16.△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為Q,b,c.已知bsinC+cs譏B=4QS譏Bs譏C,&2+c2-
a2=8,則△/BC的面積為.
三、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
已知tcma=3,求以下各式的值.
,I、3sina-cosa
('1J)—2sin—a-^—-3--c-o--s-a-;
(2)sin2a—2sinacosa,
18.(本小題12.0分)
已知函數(shù)f(x)=log2m.
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并給予證明;
(3)求不等式/(x)>1的解集.
19.(本小題12.0分)
在△ABC中,Z71=60。,c=沁
⑴求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面積.
20.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/(x)=4cosx■(-ysinx+gcosx)—1.
(1)求/(x)的最小正周期;
(2)求/(x)在區(qū)間[一,g上的最大值和最小值.
21.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/'(x)=X3—3%.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程;
(2)求函數(shù)"X)的單調(diào)區(qū)間和極值,
22.(本小題12.0分)
已知函數(shù)f(x)—x2—2lnx.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:當(dāng)X>2時(shí),/(x)>3%—4.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:丫M=[2,4,6,8,10},N={x[—1<%<6},
MCN={2,4}.
故選:A.
直接利用交集運(yùn)算求解即可.
本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】D
【解析】解:由于函數(shù)y=£不是偶函數(shù),故排除4
由于y=cosX在(°,+8)上不滿足單調(diào)遞增,故排除B;
由于函數(shù)y=3、不是偶函數(shù),故排除C;
由于函數(shù)y=m因既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增,故。滿足條件,
故選:D.
逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿足既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增,從而得出結(jié)論.
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】C
【解析】解:作出可行域如下圖陰影部分所示,
由圖可知,當(dāng)(x,y)取點(diǎn)C(4,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值,且最大為8.
故選:C.
作出可行域,根據(jù)圖象即可得解.
本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式,再利用三角函數(shù)的周期,正弦函數(shù)的最值求解即可.
【解答】
X+X+
n-s-=V2
解:??,/(X)si3co3siin(
.??最小正周期7=丁=6兀.
3
當(dāng)sinG+》=1時(shí),函數(shù)/Q)取得最大值四;
;?函數(shù)/(x)的最小正周期為6兀,最大值魚(yú).
故選:C.
5.【答案】D
【解析】解:???[(X)=且尸(m)=-1,
-p解得:m=±2.
故選:D.
f(x)=-^,然后解關(guān)于m的方程,即可求得小值?
本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】C
【解析】解:由題意,因?yàn)?(2)=22-2-3=-1<0,/(3)=23-3-3=2>0,
故函數(shù)f(x)=2》一萬(wàn)一3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3).
故選:C.
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
本題考查了零點(diǎn)存在性定理,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,二倍角的余弦及誘導(dǎo)公式,屬于中檔題.
直接利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦化簡(jiǎn)求值即可.
【解答】
解.2JL-2史
COS12COS12
,nnn
=皿2豆一COS2(2-運(yùn))
27r7TC
=cos運(yùn)-sin運(yùn)
71
=cose
=V3
一T'
故選D
8.【答案】A
【解析】解:若p:X1,&是方程*2+5*-6=0的兩根,
0+冷=-5
人乜?g=-6
???則p是q的充分不必要條件,
故選:A.
利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合充要條件的判定可得答案.
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、充要條件的判定,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于
基礎(chǔ)題.
9.【答案】C
【解析】解:因?yàn)?(X)=尤+a-x)為奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),
所以(一%)21nQ/(—x)2+a+x)=—x2ln(Vx2+a—x)>
所以x20n(J(—x)2+a+x)+ln(Vx2+a—x)]=0>
所以/皿立2+&+x)(Vx2+a—x)=0,
所以/(na=0,
所以a—1,
故選:C.
由奇函數(shù)的定義,即可得出答案.
本題考查奇函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】D
14
【解析】解:因?yàn)閤>0,丫>0且7+]=1,
所以x+y=(無(wú)+y)C+》=5+(+蔗25+4=9,當(dāng)且價(jià)蔗且升;=1即x=3,y=6時(shí)取
等號(hào),
若x+y>m2+8nl恒成立,貝U9>m2+8m,
解得一9<m<1.
故選:D.
由已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求x+y的最小值,利用乘1法結(jié)合基本不等式可求.
本題主要考查了不等式的恒成立與最值關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,乘1法在基本不等式應(yīng)用條件配湊中的應(yīng)
用,屬于中檔題.
11.【答案】D
【解析】解:根據(jù)函數(shù)/。)=石譏(3刀+8)(4>0,3>0,取<方的部分圖象,可得4=2,
3
X27T57_r+求得32
一=-
4-73T*
312
再結(jié)合五點(diǎn)法作圖,可得2X居+w=9?.,=—,即/(x)=2s譏(2x-勺.
1L/JO
將函數(shù)f(%)的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g(%)=2sin(2x+v_7)=2s譏(2%+勺的
圖象.
故g(x)不是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;
由于g(x)的最小正周期為詈=兀,故8錯(cuò)誤;
令%=卜兀+也k&Z,求得g(x)=囪,不是最值,故g(x)的圖象不關(guān)于直線%=/ot+*keZ對(duì)
稱,故C錯(cuò)誤;
令2kli—^<2x+^<2/CTT+*k&Z,求得krr—<x<kn+白,k&Z,
4341Z14
可得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一招+/ot者+kn](kCZ),故。正確,
故選:D.
由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出4,由周期求出3,由五點(diǎn)作圖求出卬,可得/(x)的解析式,再利用函數(shù)y=
4sin(3x+p)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),得出結(jié)論.
本題主要考查由函數(shù)y=Asin(cox+租)的部分圖象求函數(shù)的解析式,函數(shù)y=Asin(a)x+伊)的圖
象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于中檔題.
12.【答案】D
【解析】解:設(shè)/(久)=9,1。)=等,
x>c時(shí),//(x)<0,/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減,
又a==粵=/(e),c=*=/'(〃),且e兀>n>e,
???f(吟</(7r)</(e),
c<a<b.
故選:D.
可設(shè)〃x)=?,可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,從而可得出a,b,c的大小關(guān)系.
本題考查了構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的方法,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比
較大小的方法,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
13.【答案】-7
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用,對(duì)數(shù)方程,屬于基礎(chǔ)題.
直接利用函數(shù)的解析式,求解函數(shù)值即可.
【解答】
解:函數(shù)/(x)=Iog2(*2+a),若/'(3)=1,
可得:log2(9+a)=1,可得a=-7.
故答案為:-7.
14.【答案】y=3x
【解析】
【分析】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.
對(duì)y=3(%2+x)e*求導(dǎo),可將x=0代入導(dǎo)函數(shù),求得斜率,即可得到切線方程.
【解答】
解:,;y=3(x2+x)e*,
y'=3(2x+l')ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1),
.??當(dāng)x=0時(shí),y'=3,
y=3(x2+盼靖在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率k=3,
二曲線y=3(/+x)e”在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為:y=3x.
故答案為y-3x.
15.【答案】1
【解析】解:a,0均為銳角,
sina=J1-4=宇sin(a+。)=J1_(一m2=笠,
1114y35]
???cosp=cosp[(a+夕)一a]=cos(a+0)cosa+sin(a+Pysina=——x-+-y-x
■■B嗎
故答案為宗
先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sina和$也(。+0)的值,然后利用cos/?=cosp[(a+0)-a],
根據(jù)兩角和公式求得答案.
本題主要考查了兩角和公式的化簡(jiǎn)求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用.熟練記憶三角函數(shù)的
基本公式是解題的基礎(chǔ).
16.【答案】竽
【解析】
【分析】
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦定理和余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公
式的應(yīng)用.
直接利用正弦定理求出4的值,進(jìn)一步利用余弦定理求出比的值,最后求出三角形的面積.
【解答】
解:△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
bsinC+csinB=4asinBsinC,
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,
由于0<8<兀,0<C<7T,
所以sinBsinC*0,
所以sinA=:,則4=,或管
LOO
由于/+c2-a2=8,
IHii4b2+c2—a2
則:cosA=——----,
2bc
①當(dāng)4屋時(shí),哭白
解得be=苧
所以工謝=;心譏4=苧
②當(dāng)4=洌,_苧=白
解得兒=-苧(不合題意),舍去.
故:SMBC=苧
故答案為:竽
17.【答案】解:(1)已知比ma=3,
rr:pi3sina—cosa_3tana—l_8
2sina-V3cosa2tana+39
(2)已知Cana=3,
2
sina-2sinacosatan2a-2tana3
所以sin2a—2sinacosa
sin2a+cos2atan2a+l10
【解析】(1)直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果.
(2)利用三角函數(shù)的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換,進(jìn)一步利用同角三角函數(shù)的變換求出結(jié)果.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力,
屬于基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)由題意可得W>°,即即(x+1)。一1)<0,..…2分
解得一1<x<1.........4分
函數(shù)的定義域?yàn)?一1,1)一.…5分
(2)函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)……6分
證明:由第一問(wèn)得,函數(shù)的定義域?yàn)?一1,1),..…7分
巖=()轡=分
:f(t)=log2log2mT=-log2-/(x).........9
所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)……10分
解不等式分
(3)/(X)>1,BPlog21^>1=log22,..…11
(-1<x<1
從而有1工之,12分
(苗>2
1
所以-1V%<——f14分
不等式f(x)>1的解集為……15分.
【解析】(1)對(duì)數(shù)的真數(shù)部分大于零,即解不等式氣>0,即。+1)。-1)<0,由此求得函數(shù)
的定義域.
(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù),根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)樵儆蒮(-x)=-/0),可得結(jié)論.
<X<1
解不等式即=晦從而有由此求得不等式的解集.
(3)f(x)>1,log2M>12,>2
本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,分式不等式的解法,屬于中檔題.
19.【答案】解:(1)乙4=60。,c=|a,
由正弦定理可得sinC=^sinA=x
(2)a=7,則c=3,
:-C<A,
si:C+cos2c=1,又由(1)可得cosC=M
???sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC
V313,13V34V3
=TXl4+2X^=—)
???S^ABC=|cicsinB=:x7x3x=6V3.
【解析】本題考查了正弦定理和兩角和的正弦公式和三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.
(1)根據(jù)正弦定理即可求出答案;
(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出cosC,再根據(jù)兩角和的正弦公式求出sinB,根據(jù)面積公式計(jì)算即
可.
20.【答案】解:(1),?,/(%)=4-cosx-(j^-sinx4-1cosx)—1
=2^/3sinxcosx+2cos2x—1
=>/3sin2x+cos2x
=2sin(2x+)
???/(%)的最小正周期T=y=7T;
⑵*[一為,
■-2*+如V'爭(zhēng),
二-gWsin(2x+^)<1?
-1<2sin(2x+3)<2.
f(X)max=2,/(X)min=-1.
【解析】(1)利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系可求函數(shù)解析式f(x)=2sin(2x+a,利用周期公式
即可求得f(x)的最小正周期;
⑵由/(x)=2s譏(2x+”,x£[-瑩幣,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其的最大值和最小值.
本題考查兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系與二倍角的公式,考查正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得/(%)的解析
式是關(guān)鍵,屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)函數(shù)/(%)=爐一3%,
則/'(x)=3
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