2022-2023學(xué)年河南省周口市項(xiàng)城某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年河南省周口市項(xiàng)城第三高級中學(xué)高三（上）期中

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},則MClN=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

X

A.y=VxB.y=cos%C.y=3D.y=ln|x|

x+y>2,

3.若x,y滿足約束條件x+2yW4,則z=2x-y的最大值是()

y>o,

A.-2B.4C.8D.12

4.函數(shù)/。）=5皿|+口抽最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和/B.37r和2C.6兀和&D.6兀和2

5.已知f（x）=3且「（血）=一3，則m的值等于（）

A.-4B.2C.-2D.±2

6.在下列區(qū)間中，函數(shù)/。）=2，-%—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

7.COS2-COS2|^=（）

A.|B.C.乎D.好

8.已知p：久&是方程/+5%-6=0的兩根，q：-x2=-6,貝Up是勺的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

9.若函數(shù)/（%）=%2]n（，%2+口—%）為奇函數(shù),則a=（）

112

A.4-2-

1A

10.己知x>0,y>0且]=1,若％+y>nr?+8m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.(m\m>B.{m\m<-3}

C.[m\m>1}D.{m\—9<m<1}

11.函數(shù)f(x)=4s譏(3X+0)(4>0,3>0,3<方的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(x)的圖象

向左平移5個單位長度后得到y(tǒng)=gQ)的圖象，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)

B,函數(shù)g(x)的最小正周期為2兀

C.函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸為直線》="+其keZ)

D.函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一招+時,"+時(kGZ)

12.已知a=皿，b=~,c=4)則a，b,c的大小關(guān)系為()

neen

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知函數(shù)f(%)=]og2(X2+a),若/(3)=1,則a=.

14.曲線y=3(/+x)e”在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

15.已知a、夕均為銳角，且cosa=cos(0+夕)=一則夕=,

16.△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為Q,b,c.已知bsinC+cs譏B=4QS譏Bs譏C,&2+c2-

a2=8,則△/BC的面積為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知tcma=3,求以下各式的值.

,I、3sina-cosa

('1J)—2sin—a-^—-3--c-o--s-a-;

(2)sin2a—2sinacosa,

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=log2m.

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并給予證明；

(3)求不等式/(x)>1的解集.

19.(本小題12.0分)

在△ABC中，Z71=60。，c=沁

⑴求sinC的值;

(2)若a=7,求△ABC的面積.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=4cosx■(-ysinx+gcosx)—1.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)在區(qū)間［一，g上的最大值和最小值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=X3—3%.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程;

(2)求函數(shù)"X)的單調(diào)區(qū)間和極值，

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)—x2—2lnx.

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求證：當(dāng)X>2時，/(x)>3%—4.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：丫M=[2,4,6,8,10},N={x[—1<%<6},

MCN={2,4}.

故選:A.

直接利用交集運(yùn)算求解即可.

本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由于函數(shù)y=￡不是偶函數(shù)，故排除4

由于y=cosX在(°，+8)上不滿足單調(diào)遞增，故排除B；

由于函數(shù)y=3、不是偶函數(shù)，故排除C；

由于函數(shù)y=m因既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增，故。滿足條件，

故選：D.

逐一判斷各個選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿足既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增，從而得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：作出可行域如下圖陰影部分所示，

由圖可知，當(dāng)(x,y)取點(diǎn)C(4,0)時，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值，且最大為8.

故選：C.

作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

化簡函數(shù)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可.

【解答】

X+X+

n-s-=V2

解：??,/(X)si3co3siin(

.??最小正周期7=丁=6兀.

3

當(dāng)sinG+》=1時，函數(shù)/Q)取得最大值四；

；?函數(shù)/(x)的最小正周期為6兀，最大值魚.

故選：C.

5.【答案】D

【解析】解：???[(X)=且尸(m)=-1,

-p解得：m=±2.

故選：D.

f(x)=-^,然后解關(guān)于m的方程，即可求得小值?

本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由題意，因?yàn)?(2)=22-2-3=-1<0,/(3)=23-3-3=2>0,

故函數(shù)f(x)=2》一萬一3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3).

故選：C.

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

本題考查了零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角的余弦及誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.

直接利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦化簡求值即可.

【解答】

解.2JL-2史

COS12COS12

,nnn

=皿2豆一COS2（2-運(yùn)）

27r7TC

=cos運(yùn)-sin運(yùn)

71

=cose

=V3

一T'

故選D

8.【答案】A

【解析】解：若p：X1,&是方程*2+5*-6=0的兩根,

0+冷=-5

人乜?g=-6

???則p是q的充分不必要條件，

故選：A.

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合充要條件的判定可得答案.

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?（X）=尤+a-x）為奇函數(shù),

所以f（-x）=-f（x）,

所以(一%)21nQ/(—x)2+a+x)=—x2ln(Vx2+a—x)>

所以x20n(J(—x)2+a+x)+ln(Vx2+a—x)]=0>

所以/皿立2+&+x)(Vx2+a—x)=0，

所以/(na=0,

所以a—1,

故選：C.

由奇函數(shù)的定義，即可得出答案.

本題考查奇函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

14

【解析】解：因?yàn)閤>0,丫>0且7+]=1,

所以x+y=(無+y)C+》=5+(+蔗25+4=9,當(dāng)且價蔗且升；=1即x=3,y=6時取

等號，

若x+y>m2+8nl恒成立，貝U9>m2+8m,

解得一9<m<1.

故選：D.

由已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求x+y的最小值，利用乘1法結(jié)合基本不等式可求.

本題主要考查了不等式的恒成立與最值關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，乘1法在基本不等式應(yīng)用條件配湊中的應(yīng)

用，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：根據(jù)函數(shù)/。)=石譏(3刀+8)(4>0,3>0,取<方的部分圖象，可得4=2,

3

X27T57_r+求得32

一=-

4-73T*

312

再結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2X居+w=9?.，=—，即/(x)=2s譏(2x-勺.

1L/JO

將函數(shù)f(%)的圖象向左平移?個單位長度后得到y(tǒng)=g(%)=2sin(2x+v_7)=2s譏(2%+勺的

圖象.

故g(x)不是奇函數(shù)，故A錯誤；

由于g(x)的最小正周期為詈=兀，故8錯誤；

令％=卜兀+也k&Z,求得g(x)=囪，不是最值，故g(x)的圖象不關(guān)于直線％=/ot+*keZ對

稱，故C錯誤；

令2kli—^<2x+^<2/CTT+*k&Z,求得krr—<x<kn+白，k&Z,

4341Z14

可得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一招+/ot者+kn](kCZ),故。正確，

故選：D.

由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出4,由周期求出3,由五點(diǎn)作圖求出卬，可得/(x)的解析式，再利用函數(shù)y=

4sin(3x+p)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)y=Asin(cox+租)的部分圖象求函數(shù)的解析式，函數(shù)y=Asin(a)x+伊)的圖

象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：設(shè)/(久)=9，1。)=等，

x>c時，//(x)<0,/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

又a==粵=/(e),c=*=/'(〃)，且e兀>n>e,

???f(吟</(7r)</(e),

c<a<b.

故選：D.

可設(shè)〃x)=?，可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，從而可得出a,b,c的大小關(guān)系.

本題考查了構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比

較大小的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】-7

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，對數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.

【解答】

解：函數(shù)/(x)=Iog2(*2+a),若/'(3)=1,

可得：log2(9+a)=1,可得a=-7.

故答案為：-7.

14.【答案】y=3x

【解析】

【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

對y=3(%2+x)e*求導(dǎo)，可將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，求得斜率，即可得到切線方程.

【解答】

解：,；y=3(x2+x)e*,

y'=3(2x+l')ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1),

.??當(dāng)x=0時，y'=3,

y=3(x2+盼靖在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率k=3,

二曲線y=3(/+x)e”在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：y=3x.

故答案為y-3x.

15.【答案】1

【解析】解：a,0均為銳角，

sina=J1-4=宇sin(a+。)=J1_(一m2=笠，

1114y35]

???cosp=cosp[(a+夕)一a]=cos(a+0)cosa+sin(a+Pysina=——x-+-y-x

■■B嗎

故答案為宗

先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sina和$也(。+0)的值，然后利用cos/?=cosp[(a+0)-a],

根據(jù)兩角和公式求得答案.

本題主要考查了兩角和公式的化簡求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用.熟練記憶三角函數(shù)的

基本公式是解題的基礎(chǔ).

16.【答案】竽

【解析】

【分析】

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公

式的應(yīng)用.

直接利用正弦定理求出4的值，進(jìn)一步利用余弦定理求出比的值，最后求出三角形的面積.

【解答】

解：△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c.

bsinC+csinB=4asinBsinC,

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

由于0<8<兀，0<C<7T,

所以sinBsinC*0,

所以sinA=:，則4=，或管

LOO

由于/+c2-a2=8,

IHii4b2+c2—a2

則：cosA=——----，

2bc

①當(dāng)4屋時，哭白

解得be=苧

所以工謝=；心譏4=苧

②當(dāng)4=洌，_苧=白

解得兒=-苧（不合題意），舍去.

故：SMBC=苧

故答案為：竽

17.【答案】解：(1)已知比ma=3,

rr：pi3sina—cosa_3tana—l_8

2sina-V3cosa2tana+39

(2)已知Cana=3,

2

sina-2sinacosatan2a-2tana3

所以sin2a—2sinacosa

sin2a+cos2atan2a+l10

【解析】(1)直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果.

(2)利用三角函數(shù)的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用同角三角函數(shù)的變換求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力,

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由題意可得W>°，即即(x+1)。一1)<0,..…2分

解得一1<x<1.........4分

函數(shù)的定義域?yàn)?一1,1)一.…5分

(2)函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)……6分

證明：由第一問得，函數(shù)的定義域?yàn)?一1,1),..…7分

巖=()轡=分

:f(t)=log2log2mT=-log2-/(x).........9

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)……10分

解不等式分

(3)/(X)>1,BPlog21^>1=log22,..…11

(-1<x<1

從而有1工之,12分

(苗>2

1

所以-1V%<——f14分

不等式f(x)>1的解集為……15分.

【解析】(1)對數(shù)的真數(shù)部分大于零，即解不等式氣>0,即。+1)。-1)<0,由此求得函數(shù)

的定義域.

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)樵儆蒮(-x)=-/0),可得結(jié)論.

<X<1

解不等式即=晦從而有由此求得不等式的解集.

(3)f(x)>1,log2M>12,>2

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，分式不等式的解法，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)乙4=60。，c=|a,

由正弦定理可得sinC=^sinA=x

(2)a=7,則c=3,

：-C<A,

si:C+cos2c=1，又由(1)可得cosC=M

???sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC

V313,13V34V3

=TXl4+2X^=—)

???S^ABC=|cicsinB=：x7x3x=6V3.

【解析】本題考查了正弦定理和兩角和的正弦公式和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)正弦定理即可求出答案；

(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出cosC,再根據(jù)兩角和的正弦公式求出sinB,根據(jù)面積公式計算即

可.

20.【答案】解：(1),?,/(%)=4-cosx-(j^-sinx4-1cosx)—1

=2^/3sinxcosx+2cos2x—1

=>/3sin2x+cos2x

=2sin(2x+)

???/(%)的最小正周期T=y=7T；

⑵*［一為，

■-2*+如V'爭，

二-gWsin(2x+^)<1?

-1<2sin(2x+3)<2.

f(X)max=2,/(X)min=-1.

【解析】(1)利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系可求函數(shù)解析式f(x)=2sin(2x+a，利用周期公式

即可求得f(x)的最小正周期；

⑵由/(x)=2s譏(2x+”，x￡[-瑩幣，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其的最大值和最小值.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系與二倍角的公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得/(%)的解析

式是關(guān)鍵，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)/(%)=爐一3%,

則/'(x)=3