2020年高考真題高考模擬題專項版解析匯編理科數(shù)學(xué)-06三角函數(shù)及解三角形（教師版）

專題06三角函數(shù)及解三角形1．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)在[?π，π]的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期為A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：，又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得.所以函數(shù)最小正周期為故選C．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.2．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知，且，則A． B．C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A．【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若α為第四象限角，則A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以，故選：D．方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.【2020年高考全國III卷理數(shù)】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，，，，根據(jù)余弦定理：，，可得，即，由，故.故選：A．5．【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D．【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是A． B．C． D．【答案】A【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A．【點睛】本題考查圓周率的近似值的計算，根據(jù)題意計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.7．【2020年新高考全國Ⅰ卷】下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=A． B．C．D．【答案】BC【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當(dāng)時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC．【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.8.【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.9．【2020年高考全國III卷理數(shù)】16.關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖像關(guān)于原點對稱．③f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.10．【2020年高考江蘇】已知=，則的值是▲．【答案】【解析】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11．【2020年高考北京】若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為________．【答案】（均可）【解析】因為，所以，解得，故可取.故答案為：（均可）.【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．【2020年高考浙江】已知，則_______，_______．【答案】；【解析】，，故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13．【2020年高考江蘇】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是▲．【答案】【解析】當(dāng)時.故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．【2020年新高考全國Ⅰ卷】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】【解析】設(shè)，由題意，，所以，因為,所以，因為，所以，因為與圓弧相切于點，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因為，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在實際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞動實習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.15．【2020年高考全國II卷理數(shù)】中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知條件得，①由余弦定理得，②由①，②得.因為，所以.（2）由正弦定理及（1）得，從而，.故.又，所以當(dāng)時，周長取得最大值.16．【2020年高考江蘇】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【解析】（1）在中，因為，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因為,所以為鈍角，而,所以為銳角.故則.因為，所以，.從而.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.17．【2020年高考天津】在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理及，有．又因為，所以．（Ⅱ）在中，由正弦定理及，可得．（Ⅲ）由及，可得，進而．所以，．【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.18．【2020年高考北京】在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19．【2020年高考浙江】在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，C．已知．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，由題意得.（Ⅱ）由得，由是銳角三角形得.由得.故的取值范圍是.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.20．【2020年新高考全國Ⅰ卷】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】方案一：選條件①．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由①，解得．因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時．方案二：選條件②．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得，，．由②，所以．因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時．方案三：選條件③．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由③，與矛盾．因此，選條件③時問題中的三角形不存在．【點睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．1．【2020·上海高三一?！咳舨坏仁綄ι虾愠闪ⅲ瑒tA．B．C．1 D．2【答案】B【解析】法一：由題意可知：當(dāng)，，當(dāng)，，故當(dāng)，，當(dāng)，，即有，故選B；法二：由右圖像可得：顯然有，故選B．【點睛】本題考查雙變量不等式中參數(shù)的求解問題，通過分段討論確定交匯點是解題關(guān)鍵，方法二采用數(shù)形結(jié)合的方式進一步對方法一作了補充說明，建議將兩種方法對比研究.2．【2020·廣東省高三其他（理）】已知四邊形中，，，，，E在的延長線上，且，則A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理有，∴，易知，又，，故，.故選：A【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的綜合運用，涉及了余弦定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.3．【2020·安徽省高三三模（理）】函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】A【解析】定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，是奇函數(shù)，排除C，D；當(dāng)時，，排除B；故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．【2020·廣東省高三其他（理）】在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在坐標(biāo)原點，其始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則＝A． B． C． D．【答案】B【解析】由定義知sinα=，，所以，故選：B．【點睛】該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的知識點有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目.5．【2020·南昌市八一中學(xué)高三三模（理）】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象可得，，故函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，且過定點.結(jié)合所給的圖像可知只有C選項符合題意.故選：C．【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．6．【2020·四川省閬中中學(xué)高三二模（理）】已知滿足，則A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)兩角和差的余弦公式得到，因為,得到sin=或代入得到結(jié)果為.故答案為:A．【點睛】三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等類型可進行弦化切；(2)“1”的靈活代換法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.7．【2020·廣東省高三一模（理）】已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是2,4,8，則的單調(diào)遞減區(qū)間是A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由題設(shè)可知該函數(shù)的最小正周期，結(jié)合函數(shù)的圖象可知單調(diào)遞減區(qū)間是，即，等價于，應(yīng)選答案D．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是充分利用題設(shè)中的有效信息“函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是2,4,8”．結(jié)合圖像很容易觀察出最小正周期是，進而數(shù)形結(jié)合寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，從而使得問題獲解．8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，其相鄰兩條對稱軸間的距離為，則_____．【答案】【解析】，因為函數(shù)的最大值為，所以，所以，由函數(shù)相鄰兩條對稱軸間的距離為，可得周期，所以，所以,所以，又的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，所以，所以，又，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查求三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式，誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.9．【2020·福建省福州第一中學(xué)高三其他（理）】如圖，將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌担肽耆∝撝担?，為該地的緯度?已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即.如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯）的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于_________.（只需列出式子）【答案】【解析】設(shè)兩樓的距離為，因為則要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，需滿足對恒成立,因此，從而兩樓的距離不應(yīng)小于故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題、正切函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析建模能力與轉(zhuǎn)化求解能力，屬中檔題.10．【2020·四川省閬中中學(xué)高三二模（理）】在中，若，則的最小值為_______【答案】【解析】由，結(jié)合，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.11．【2020·定遠縣育才學(xué)校高三其他（理）】已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則______．【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，所以，代入可得，的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．則，的最小正周期為，則，解得，所以，因為，代入可得，解得，所以，則，故答案為：.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，函數(shù)圖像平移變換及由性質(zhì)求三角函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.12．【2020·六盤山高級中學(xué)高三其他（理）】設(shè)函數(shù)，則下列判斷正確的是A．函數(shù)的一條對稱軸為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C．，使D．，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)【答案】D【解析】函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，不能使函數(shù)取得最值，所以不是函數(shù)的對稱軸，A錯；當(dāng)時，，函數(shù)先增后減，B不正確；若，那么不成立，所以C錯；當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)，D正確，故選：D．13．【2020·六盤山高級中學(xué)高三其他（理）】已知中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）∵，∴，∴，∴∴當(dāng)時，取最大值.【點睛】本題考查二倍角公式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦公式，余弦定理．本題關(guān)鍵是，這樣可把表示為角的函數(shù)，從而求得最值．14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其面積S．（1）若a，b，求cosB．（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為三角形面積為S，所以，解得，因為a，b，由正弦定理得：，所以，因為，所以，所以為銳角，所以（2）由（1）知，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），，，，令，因為，所以，所以，原式，當(dāng)時，原式取得最大值.【點睛】本題主要考查三角形面積公式余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.15．【2020·廣東省高三其他（理）】在中，已知內(nèi)角所對的邊分別為，向量，向量，且，角為銳角.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解法一：由得，即，所以，為銳角，，，即解法二：由得，即所以即，，即為銳角，所以.（2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.，故的面積最大值為.解法二：，由正弦定理，得，所以，，由.因為，則當(dāng)即時，，故的面積最大值為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16．【2020·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校高三一模（理）】在中，角、、的對邊分別是、、，如果、、成等差數(shù)列且．（1）當(dāng)時，求的面積；（2）若的面積為，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為、、成等差數(shù)列，則：，又，所以，因為：，，（負值舍）；的面積；（2）；即：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；；即的最大值為：．【點睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.17．【2020·山東省高三三?！咳鐖D，半圓O的直徑AB=