向量矩陣概念與運算

第2章向量與矩陣2矩陣的概念與運算下頁1向量的概念與運算3逆矩陣4分塊矩陣5矩陣的初等變換與初等矩陣6矩陣的秩7向量組的線性相關(guān)性8向量組的正交化第1節(jié)向量的概念與運算

定義1

n個數(shù)a1，a2，

，an組成的有序數(shù)組(a1,a2,

,an)，稱為n維向量，記為a，其中a

i(i=1,2,…,n)叫做向量的第i個分量.

a=(a1,a2,

,an)，a1a2an

.

a=寫成列的形式，稱為列向量，記為n維向量寫成行的形式，稱為行向量，記為下頁1.1向量的概念下頁

(-a1,-a2,

,-an)T，為向量a的負向量，記作-a.稱向量(0,0,

,0)T為零向量，記作O.稱向量如果向量a=(a1,a2,

,an)T與向量b=(b1,b2,

,bn)T都是n維向量，且對應的分量都相等，則稱它們相等，記作a＝b.a1a2an

a=本教材約定向量的形式為列向量，即或記做a

=(a1,a2,

,an)T向量滿足以下8條運算規(guī)律(設a、b、g都是n維向量，k、l為實數(shù)):

(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+O=a

(4)a+(-a)=O(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=

k(la)(8)1

a=a1.2向量的運算定義2

設

,則（1）

（2）

（k為常數(shù)）下頁向量的加法向量的數(shù)乘下頁向量的減法設a、b都是n維向量，利用負向量可定義向量的減法為:

a-b,即對應分量相減.=a+(-b)例1．設解：解：a+2g+(-a)=b+(-a)

；兩邊加a

的負向量a+(-a)+2g

=b+(-a)

；交換律O+2g

=b-a

；性質(zhì)4a+(-a)+2g

=b-a

；約定（減法）2g

=b-a

；性質(zhì)3?*2g

=?*(b-a)；數(shù)乘運算1g

=?*(b-a)；恒等變換g

=?*(b-a)；性質(zhì)8下頁例2．設說明：實際運算時，一般給出主要步驟即可，但應注意與數(shù)的運算的區(qū)別.(計算結(jié)果，略.)定義3

設a=(a1,a2,

,an

)T與b=(b1,b2,

,bn

)T是兩個n維向量，則實數(shù)稱為向量a和b的內(nèi)積，記為(a,b)，或aTb.向量的內(nèi)積例如，設a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,則a與b

的內(nèi)積為(a,b)=(-1)

2+1

0+0

(-1)+2

3=4.下頁內(nèi)積的性質(zhì)設a，b，g為Rn中的任意向量，k為常數(shù).(1)

(a,b

)=(b,a

)

；

(2)(ka,b

)=k

(a,b

)

；

(3)(a+b,g

)=

(a,g

)+(b,

g

)

；

(4)

(a,a

)

0，當且僅當a=o時，有(a,a

)

=0.下頁向量的長度定義4

對于向量a=(a1,a2,

,an

)T，其長度(或模)為例如，向量a=(-1,2,0,2)T的長度為向量長度的性質(zhì)（了解）下頁

長度為1的向量稱為單位向量.

向量的單位化（標準化）下頁例4．n維單位向量組e1，e2，

，en，是兩兩正交的：(ei,ej

)=0(i

j).例3．零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量與任意向量正交.定義5

如果向量a與b為非零向量，它們的夾角

θ定義為：

若(a,b)=0，則稱向量a與b互相正交(垂直),.下頁定義6

如果m個非零向量組a1，a2，

，am兩兩正交，即

(ai,aj

)=0(i

j)，則稱該向量組為正交向量組.

如果正交向量組a1，a2，

，am的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為標準正交向量組.下頁

顯然,例4中n維單位向量組e1，e2，

，en為標準正交向量組.標準正交向量組

在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應一個有序數(shù)組：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn

=bm

(a11

a12

a1nb1)

(a21

a22

a2nb2)(am1

am2

amn

bm)→→→→這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表a11

a12

a1nb1

a21

a22

a2nb2am1

am2

amn

bm這個表就稱為矩陣.2.1矩陣的概念下頁第2節(jié)矩陣的概念與運算其中

aij

稱為矩陣的第

i行第

j列的元素.

一般情況下，我們用大寫字母

A，B，C等表示矩陣.m

n矩陣A簡記為

A

(aij)m

n

或記作

Am

n.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amn定義1

由

m

n個數(shù)

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成一個

m行

n列的矩形表稱為一個

m

n矩陣，記作下頁如果矩陣A與B的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱A與B是同型矩陣或同階矩陣。

零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣

只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2

bm

b=.負矩陣-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn稱矩陣為A的負矩陣,記作–A.下頁b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=.A=.a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的n

階矩陣稱為上三角形矩陣.三角形矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為下三角形矩陣.方陣

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣.下頁注意：區(qū)別方陣與行列式數(shù)表數(shù)值a110

00a22

0

00

annA=.對角矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為對角矩陣.

對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,

,ann).

單位矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為單位矩陣，記為En

或E.10

001

0

00

1E=.定義2

矩陣相等：設A

(aij)，B

(bij)為同階矩陣，如果aij

bij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)，則稱矩陣A與矩陣B

相等，記作A

B.下頁2.2矩陣的運算

定義1

設A與B為兩個m

n矩陣A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A與B對應位置元素相加得到的m

n矩陣稱為矩陣A與B的和，記為A

B.即C=A+B.下頁2.2.1矩陣的加法

例1．設357

22043012

3A=，132

02157064

8B=

，則357

22043012

3A+B=132

02157064

8+3+15+37+2

2+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489

241910076

11.=矩陣的加法：設A

(aij)m

n與B

(bij)m

n，則A+B=(aij+bij)m

n。下頁

設A,B,C都是m

n矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運算規(guī)律：

（1）交換律：

A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;

矩陣的減法可定義為:

顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.

下頁a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義2

設A

(aij)為m

n矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的m

n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積，記為kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=.2.2.2數(shù)與矩陣的數(shù)法下頁矩陣的數(shù)乘：設A

(aij)m

n

，則kA=(kaij)m

n

.

例2．設357

22043012

3A=

，則3A357

22043012

3

=33

33

53

7

3

23

23

03

43

33

03

13

2

3

3

=91521

66012

9036

9

=.下頁(5)

k(A

B)

kA

kB；(6)(k

l)A

kA

lA

；(7)(kl)A

k(lA)；(8)1

A=A.

設A，B，C，O都是m

n矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運算的8條性質(zhì)，須熟記.下頁

例3．設357

22043012

3A=，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=下頁

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X.

解：A+2X+(-A)=B+(-A)

；兩邊加A的負矩陣A+(-A)+2X

=B+(-A)

；交換律O+2X

=B-A

；性質(zhì)4A+(-A)+2X

=B-A

；約定（減法）2X

=B-A

；性質(zhì)3?*2X

=?*(B-A)；數(shù)乘運算1X

=?*(B-A)；恒等變換X

=?*(B-A)；性質(zhì)8下頁從而得X

=?*(B-A)

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X.說明：實際運算時，一般給出主要步驟即可，但應注意與數(shù)的運算的區(qū)別.解：下頁

定義3

設A是一個m

s矩陣，B是一個s

n矩陣：構(gòu)成的m

n矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為C

AB.

則由元素

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即2.2.3矩陣的乘法

下頁

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;

C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.矩陣的乘法cij

下頁下頁

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：

A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;

C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.cij

反例．設B=.

1-2-32-10A=，010

-112151-2-32-10則AB=

010

-11215=無意義.B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法下頁B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法下頁

例6．設A=，4-2-21B=，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下頁

例6．設A=，4-2-21B=，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=，

例5．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.顯然，1)矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

BA;2)兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，從而不能從AB=O，推出A=O或B=O

.下頁1110

例7．設A=，B=，求AB及BA.

2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=

顯然AB=BA

.

如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.下頁顯然AC=BC，但A

B.矩陣乘法不滿足消去律.下頁

例8．設例10.100000001設A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但A

E，A

O

.

下頁例9．對于任意矩陣A,B及相應的單位矩陣E,有EA=A,BE=B.

對于任意矩陣A,B及相應的零矩陣O，有AO=O，

OB=O.a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=例11.線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）簡記為：AX=B

.x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

其中，A=，X=，B=下頁應注意的問題

(1)AB

BA

；

(3)AB=OA=O或B=O；

/

(2)AC=BCA=B；

/

矩陣乘法的性質(zhì)方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k

Ak=A

A

A(k個A相乘)，稱為方陣A的k次冪.

方陣的冪有下列性質(zhì)：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars

.

(4)AA=AA=E或A=O.

/

(1)(AB)C=A(BC)；

(2)(A+B)C=AC+BC；

(3)C(A+B)=CA+CB；

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).問題：①(A+B)2=?②(AB)k=?③若A2=O

?

A=O下頁

定義4

將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

例如，設x=(x1

x2

xn)，y=(y1

y2

yn)，則(y1

y2

yn)xTyx1x2

xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xn