2024秋八年級數(shù)學(xué)上冊 第十五章 分式15.3 分式方程 2解分式方程教案（新版）新人教版

2024秋八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章分式15.3分式方程2解分式方程教案（新版）新人教版授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容2024秋八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章分式15.3分式方程2解分式方程教案（新版）新人教版

1.理解分式方程的定義及特點；

2.掌握解分式方程的基本步驟及方法；

-去分母：通過交叉相乘等方法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

-求解整式方程：運用一元一次方程、一元二次方程等解法求解轉(zhuǎn)化后的整式方程；

-檢驗：將求得的解代入原分式方程進(jìn)行檢驗，確保解的正確性；

3.學(xué)會解決實際問題中的分式方程問題；

4.分析并討論分式方程解的存在性和唯一性。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課圍繞分式方程的教學(xué)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的以下核心素養(yǎng)：

1.數(shù)學(xué)抽象：通過引入分式方程的概念，使學(xué)生能夠從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)抽象能力。

2.邏輯推理：在解分式方程的過程中，學(xué)生需要運用邏輯推理，分析問題，逐步轉(zhuǎn)化方程形式，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

3.數(shù)學(xué)建模：學(xué)會將現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化為分式方程模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高解決實際問題的能力。

4.數(shù)學(xué)運算：在解分式方程的過程中，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，特別是整式運算、分式運算等基本運算技能。

5.數(shù)據(jù)分析：通過分析分式方程解的存在性和唯一性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的分析、判斷和評價能力。

6.問題解決：培養(yǎng)學(xué)生面對復(fù)雜問題時，能夠運用所學(xué)知識進(jìn)行問題分解、策略選擇和求解的能力，提高問題解決的綜合素養(yǎng)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-分式方程的定義及其與整式方程的區(qū)別：強調(diào)分式方程中分母不為零的特性，理解分式方程的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

-解分式方程的基本步驟：去分母、求解整式方程、檢驗解的正確性，這是解分式方程的核心流程。

-分式方程在實際問題中的應(yīng)用：通過具體例題，讓學(xué)生掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為分式方程模型的方法。

-分式方程解的存在性和唯一性：討論何時分式方程有解、何時無解，以及解的唯一性條件。

舉例解釋：

-重點講解如何通過交叉相乘等方法去分母，例如方程$\frac{x+3}{2}=3x-4$的去分母過程。

-在求解整式方程時，強調(diào)對一元一次方程或一元二次方程解法的熟練運用，如解$3x-4=2x+6$。

-通過實際例題，如“甲、乙兩人合作完成一項工作，甲單獨做需5天，乙單獨做需10天，兩人合作幾天可以完成？”將問題轉(zhuǎn)化為分式方程$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{x}$。

2.教學(xué)難點

-去分母時的運算技巧：學(xué)生在去分母時可能會出現(xiàn)運算錯誤，如漏乘或錯乘項。

-整式方程求解時的策略選擇：面對不同的整式方程，學(xué)生需要選擇合適的解法，這對部分學(xué)生來說是一個難點。

-分式方程解的檢驗：學(xué)生容易忽視解的檢驗，或不清楚如何檢驗分式方程的解是否正確。

-理解分式方程解的存在性和唯一性：這部分概念較為抽象，學(xué)生可能難以理解何時方程無解或解不唯一。

舉例解釋：

-難點在于引導(dǎo)學(xué)生正確處理去分母的過程，例如對于方程$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+2}$，應(yīng)如何正確交叉相乘，避免漏乘或錯乘項。

-在求解整式方程時，對于方程$3x^2-4x-4=0$，需要判斷何時使用因式分解，何時使用求根公式。

-在檢驗解時，解釋為何要將解代入原方程，如對于方程$\frac{x+3}{x-1}=2$，將解$x=3$代入原方程進(jìn)行檢驗。

-對于存在性和唯一性的理解，通過對比不同類型的方程，如$\frac{1}{x}=2$和$\frac{x+3}{x^2-1}=2$，討論它們的解的情況。教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點的教學(xué)方法

-講授法：通過系統(tǒng)講解分式方程的定義、解法步驟及解的存在性與唯一性，為學(xué)生提供清晰的知識框架。

-案例研究：結(jié)合實際生活中的問題，設(shè)計分式方程案例，引導(dǎo)學(xué)生探討、分析，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

-小組討論：針對分式方程的難點問題，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，促進(jìn)學(xué)生之間的互動與思考。

-項目導(dǎo)向?qū)W習(xí)：設(shè)計有關(guān)分式方程的探究項目，讓學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

2.設(shè)計具體的教學(xué)活動

-角色扮演：讓學(xué)生扮演數(shù)學(xué)家、工程師等角色，運用分式方程解決實際問題，提高學(xué)生的參與度和興趣。

-數(shù)學(xué)游戲：設(shè)計分式方程相關(guān)的數(shù)學(xué)游戲，如解方程接力、方程猜謎等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

-實驗活動：通過實際操作，讓學(xué)生體驗分式方程在生活中的應(yīng)用，如測量液體濃度、計算速度等。

-解題競賽：組織分式方程解題競賽，鼓勵學(xué)生積極參與，提高解題速度和準(zhǔn)確性。

3.確定教學(xué)媒體和資源的使用

-PPT：制作包含分式方程定義、解法步驟、案例及難點解析的PPT，方便學(xué)生理解和記憶。

-視頻：播放與分式方程相關(guān)的教學(xué)視頻，如解分式方程的實際應(yīng)用場景、解題技巧等，豐富教學(xué)形式。

-在線工具：利用在線數(shù)學(xué)工具，如數(shù)學(xué)公式編輯器、圖形計算器等，幫助學(xué)生更直觀地理解分式方程。

-網(wǎng)絡(luò)資源：推薦學(xué)生查閱與分式方程相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)資源，如學(xué)術(shù)文章、教學(xué)博客等，拓展知識視野。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計用時：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解分式方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。設(shè)計預(yù)習(xí)問題，如“分式方程與整式方程有什么不同？”激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)分式方程內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確分式方程教學(xué)目標(biāo)和重難點。準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保教學(xué)過程的順利進(jìn)行。設(shè)計課堂互動環(huán)節(jié)，如小組討論、實驗活動等，提高學(xué)生學(xué)習(xí)分式方程的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的分式的概念和性質(zhì)，幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系。提出問題，檢查學(xué)生對分式的掌握情況，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解分式方程的定義、解法步驟，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。突出重點，強調(diào)難點，如去分母的方法、解整式方程的技巧等，通過對比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動探究：

設(shè)計小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞“如何解分式方程”的問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。鼓勵學(xué)生提出自己的觀點和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

總結(jié)歸納：

在新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對分式方程的知識點進(jìn)行梳理和總結(jié)。強調(diào)重點和難點，幫助學(xué)生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計用時：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

設(shè)計隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對分式方程知識的掌握情況。鼓勵學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯題訂正：

針對學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，進(jìn)行及時訂正和講解。引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與分式方程相關(guān)的拓展知識，如分式方程在工程、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識視野。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結(jié)合分式方程內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感。鼓勵學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的分式方程內(nèi)容，強調(diào)重點和難點?？隙▽W(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的分式方程內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。知識點梳理1.分式方程的定義及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不為零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不為零。

2.解分式方程的基本步驟

-去分母：通過交叉相乘等方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

-求解整式方程：運用一元一次方程、一元二次方程等解法求解轉(zhuǎn)化后的整式方程。

-檢驗解：將求得的解代入原分式方程進(jìn)行檢驗，確保解的正確性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移項、合并同類項、系數(shù)化為1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性與唯一性

-解的存在性：分式方程可能無解、有一個解或多個解。

-解的唯一性：在特定條件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在實際問題中的應(yīng)用

-路程與速度問題：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合問題：如溶液混合問題中的濃度等式。

-幾何問題：如相似三角形中的比例關(guān)系。

6.分式方程的常見類型

-簡單分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-復(fù)合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的結(jié)構(gòu)，選擇合適的解法。

-注意分母為零的情況，避免無意義解。

-檢驗解時，確保代入后分母不為零。

8.分式方程的轉(zhuǎn)化技巧

-通分：將分母不同的分式方程轉(zhuǎn)化為分母相同的方程。

-分子分母同時乘以或除以同一個非零多項式：保持方程的等價性。

9.分式方程的復(fù)雜情況處理

-分式方程組：同時求解多個分式方程，可能需要聯(lián)立方程組。

-無理分式方程：涉及無理數(shù)的分式方程，可能需要使用數(shù)值方法求解。

10.分式方程的數(shù)學(xué)建模

-將實際問題轉(zhuǎn)化為分式方程模型。

-確定未知量和已知量，建立方程。典型例題講解例題1：解分式方程$\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$

解答：去分母，得$8-3x=\frac{x}{2}$，移項合并得$5x=10$，解得$x=2$，檢驗：將$x=2$代入原方程，兩邊相等，所以$x=2$是原方程的解。

例題2：解分式方程$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}$

解答：去分母，得$x^2-1+x^2+x=x^2-1$，移項合并得$2x^2+x=0$，因式分解得$x(2x+1)=0$，解得$x=0$或$x=-\frac{1}{2}$，檢驗：將$x=0$和$x=-\frac{1}{2}$代入原方程，兩邊相等，所以$x=0$和$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。

例題3：解分式方程$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

解答：去分母，得$2x+4=3x-6$，移項合并得$x=10$，檢驗：將$x=10$代入原方程，兩邊相等，所以$x=10$是原方程的解。

例題4：解分式方程$\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x}$

解答：去分母，得$3x-6+2x+4=x+2$，移項合并得$5x-10=0$，解得$x=2$，檢驗：將$x=2$代入原方程，兩邊相等，所以$x=2$是原方程的解。

例題5：解分式方程$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$

解答：去分母，得$x^2-1+x^2+1=2x(x-1)(x+1)$，移項合并得$2x^3-2x=0$，因式分解得$2x(x^2-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$或$x=-1$，檢驗：將$x=0$、$x=1$和$x=-1$代入原方程，兩邊相等，所以$x=0$、$x=1$和$x=-1$是原方程的解。

例題6：解分式方程$\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$

解答：去分母，得$2(x-1)=x+1$，移項合并得$2x-2=x+1$，解得$x=3$，檢驗：將$x=3$代入原方程，兩邊相等，所以$x=3$是原方程的解。

例題7：解分式方程$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^2-4}$

解答：去分母，得$(x-2)+(x+2)=2$，移項合并得$2x=2$，解得$x=1$，檢驗：將$x=1$代入原方程，兩邊相等，所以$x=1$是原方程的解。

例題8：解分式方程$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{2}{x^2-9}$

解答：去分母，得$(x+3)+(x-3)=2$，移項合并得$2x=2$，解得$x=1$，檢驗：將$x=1$代入原方程，兩邊相等，所以$x=1$是原方程的解。

例題9：解分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2-1}$

解答：去分母，得$2(x+1)(x^2-1)=(x-1)(x+1)+(x-1)$，移項合并得$2x^3-2x^2-2x+2=x^2-1$，解得$x=1$，檢驗：將$x=1$代入原方程，兩邊相等，所以$x=1$是原方程的解。

例題10：解分式方程$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^2-4}$

解答：去分母，得$(x-2)+(x+2)=2$，移項合并得$2x=2$，解得$x=1$，檢驗：將$x=1$代入原方程，兩邊相等，所以$x=1$是原方程的解。板書設(shè)計1.分式方程的定義及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不為零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不為零。

2.解分式方程的基本步驟

-去分母：通過交叉相乘等方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

-求解整式方程：運用一元一次方程、一元二次方程等解法求解轉(zhuǎn)化后的整式方程。

-檢驗解：將求得的解代入原分式方程進(jìn)行檢驗，確保解的正確性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移項、合并同類項、系數(shù)化為1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性與唯一性

-解的存在性：分式方程可能無解、有一個解或多個解。

-解的唯一性：在特定條件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在實際問題中的應(yīng)用

-路程與速度問題：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合問題：如溶液混合問題中的濃度等式。

-幾何問題：如相似三角形中的比例關(guān)系。

6.分式方程的常見類型

-簡單分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-復(fù)合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的結(jié)構(gòu)，選擇合適的解法。

-注意分母為零的情況，避免無意義解。

-檢驗解時，確保代入后分母不為零。

8.分式方程的轉(zhuǎn)化技巧

-通分：將分母不同的分式方程轉(zhuǎn)化為分母相同的方程。

-分子分母同時乘以或除以同一個非零多項式：保持方程的等價性。

9.分式方程的復(fù)雜情況處理

-分式方程組：同時求解多個分式方程，可能需要聯(lián)立方程組。

-無理分式方程：涉及無理數(shù)的分式方程，可能需要使用數(shù)值方法求解。

10.分式方程的數(shù)學(xué)建模

-將實際問題轉(zhuǎn)化為分式方程模型。

-確定未知量和已知量，建立方程。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測一、課堂小結(jié)

1.分式方程的定義及基本形式

-分式方程：含有分母的方程，分母不為零。

-基本形式：$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$，其中$B(x)$和$D(x)$不為零。

2.解分式方程的基本步驟

-去分母：通過交叉相乘等方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

-求解整式方程：運用一元一次方程、一元二次方程等解法求解轉(zhuǎn)化后的整式方程。

-檢驗解：將求得的解代入原分式方程進(jìn)行檢驗，確保解的正確性。

3.分式方程的解法

-去分母的方法：交叉相乘、通分等。

-一元一次方程的解法：移項、合并同類項、系數(shù)化為1等。

-一元二次方程的解法：因式分解、求根公式等。

4.分式方程解的存在性與唯一性

-解的存在性：分式方程可能無解、有一個解或多個解。

-解的唯一性：在特定條件下，分式方程的解可能是唯一的。

5.分式方程在實際問題中的應(yīng)用

-路程與速度問題：如速度等式$\frac{S}{v_1}=\frac{S}{v_2}$。

-混合問題：如溶液混合問題中的濃度等式。

-幾何問題：如相似三角形中的比例關(guān)系。

6.分式方程的常見類型

-簡單分式方程：如$\frac{1}{x}=2$。

-復(fù)合分式方程：如$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$。

-高次分式方程：如$\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x+1}$。

7.分式方程的求解策略

-分析方程的結(jié)構(gòu)，選擇合適的解法。

-注意分母為零的情況，避免無意義解。

-檢驗解時，確保代入后分母不為零。

8.分式方程的轉(zhuǎn)化技巧

-通分：將分母不同的分式方程轉(zhuǎn)化為分母相同的方程。

-分子分母同時乘以或除以同一個非零多項式：保持方程的等價性。

9.分式方程的復(fù)雜情況處理

-分式方程組：同時求解多個分式方程，可能需要聯(lián)立方程組。

-無理分式方程：涉及無理數(shù)的分式方程，可能需要使用數(shù)值方法求解。

10.分式方程的數(shù)學(xué)建模

-將實際問題轉(zhuǎn)化為分式方程模型。

-確定未知量和已知量，建立方程。

二、當(dāng)堂檢測

1.解分式方程$\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$

2.解分式方程$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}$

3.解分式方程$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

4.解分式方程$\frac{3}{x+2}