動量與角動量課件

動量與角動量3.1沖量(impulse)

與動量(momentum)

定理力是物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因。有力F，作用在質(zhì)量為m

的質(zhì)點上，經(jīng)過時間dt。F牛頓第二定律的微分形式積分：I動量定理的積分形式動量定理的微分形式合外力沖量的方向應與質(zhì)點動量的增量的方向一致力和力作用時間的乘積，即力的時間積累稱為力的沖量恒力分量表達式：表明：質(zhì)點所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于質(zhì)點的動量在該方向的分量的增量。沖量：1.

沖量是矢量，其方向是由質(zhì)點動量增量的方向所決定的。2.

沖量是一個過程量，表示力在某一段時間內(nèi)的積累效果。所以談及沖量，必須明確是哪一個力在哪段時間上的沖量。小結(jié)動量：1.動量是矢量，動量的方向就是速度的方向。2.動量是一個狀態(tài)量，具有即時性。對于一個物理量，如果定義時對應的是某一時刻(某一瞬時)，則該物理量是狀態(tài)量，如位矢、速度、動量、動能等都是狀態(tài)量。如果定義時對應的是時間間隔，則該物理量是過程量，如位移、路程、沖量、功等都是過程量。討論題：胸口碎大石“迅速打擊”和“沉重的石板”是保護石板下的人不受損傷的關鍵。重錘猛擊思考題：兩根完全相同的線，用手拉下面的那根線，1.向下猛一扽；2.用力慢慢拉線，分別是那根線先斷？（假設拉力大于線能承受的耐力（極限張力））F下面的線斷而球不動上面的線先斷例1：繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m

的小球，小球以勻角速度ω

繞豎直軸OO’做圓周運動，繩子與豎直軸之間的夾角為θ，已知A、B為圓周直徑上的兩端點，求小球由A點運動到B點，繩子的拉力的沖量。ωABθOO’vAvBTW分析：應用動量定理。由于做圓周運動，故ωABθOO’vAvByxTW注意：此題用矢量運算比較簡單，若用動量定理的分量式則頗為麻煩。碰撞：泛指物體間相互作用時間很短的過程。沖力：在碰撞過程中的相互作用力

特點：力的大小很大且隨時間改變動量定理常常用于處理碰撞問題平均沖力，即沖力對碰撞時間的平均值。例如：人從高處跳下、飛機與鳥相撞、打樁等碰撞事件中，作用時間很短，沖力很大。注意

越小，則越大。在一定時，解：建立如圖坐標系,由動量定理得例2一質(zhì)量為0.05kg、速率為10m·s-1

的鋼球，以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來。設碰撞時間為0.05s.求在此時間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力。如直接用動量定理矢量形式，是否會更簡潔？。。。沿著x軸的正向例2：一籃球質(zhì)量0.58kg，從2.0m高度下落，到達地面后，以同樣速率反彈，接觸時間僅0.019s，求：對地平均沖力？解：籃球到達地面的速率(m/s)故平均沖力為：Vp2p1

pf||f

f’龍骨Vv例3：逆風行船f假設帆面光滑：v1=v2v1

v2思考：能否實現(xiàn)“頂風行船”

m3.2質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系：由有相互作用的若干個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。

其中每個質(zhì)點的運動都遵從牛頓運動定律。質(zhì)點系的總動量，是質(zhì)點系內(nèi)各個質(zhì)點的動量的矢量和。質(zhì)點系的運動方程，是質(zhì)點系內(nèi)各個質(zhì)點的運動方程的集合。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間的彼此施加的相互作用力；外力：系統(tǒng)以外的其他物體對系統(tǒng)內(nèi)任意質(zhì)點的作用力。以兩個質(zhì)點組成的系統(tǒng)為研究對象：根據(jù)牛頓第二定律（微分形式）：對于質(zhì)點m1

和m2

組成的系統(tǒng)：牛頓第三定律推廣至任意多個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系：表明：質(zhì)點系所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。這就是質(zhì)點系動量定理的微分形式。質(zhì)點系的牛頓第二定律的微分形式—系統(tǒng)的總動量隨時間的變化率等于該系統(tǒng)所受的合外力。在有限時間內(nèi)：表明：在t0

到t

這段時間內(nèi)，作用在質(zhì)點系上所有外力的沖量的矢量和等于質(zhì)點系在同一時間內(nèi)動量的增量。這就是質(zhì)點系動量定理的積分形式。說明：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量。分量式：例3-2-1

如下圖所示，用傳動帶A輸送煤粉，料斗在A上方高h=0.5m處，煤粉自料斗口自由落在A上。設料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=40kg/s，傳送帶以v=2.0m/s的水平速度勻速向右移動。求裝煤的過程中，煤粉對傳送帶的作用力（不計相對于傳送帶靜止的煤粉重量）。hvAyxv分析：以

時間內(nèi)落在傳送帶上的煤粉作為研究對象。初：末：p0pv0解1：煤粉自料斗下落接觸傳送帶前具有豎直向下的速度設傳送帶對煤粉的平均作用力為f，由動量定理得：由動量定理可知：解2：設t時刻傳送帶上煤粉的質(zhì)量為M，在此后

時間內(nèi)將有的煤粉落在傳送帶上。取

為研究對象，則t

時刻系統(tǒng)總動量在水平方向的分量為

時刻系總動量在水平方向的分量為：Mvv0例3-2-2

一顆子彈水平的穿過并排放置在光滑水平桌面的木塊，以知兩個木塊的質(zhì)量分別為m1

和m2，子彈穿過它們的時間分別為Δt1

和Δt2，設子彈在木塊中所受的阻力恒為F。求：子彈穿過后，兩木塊分別以多大速度運動？解：子彈穿過第一塊木塊時，兩木塊速度相同，均為v1，子彈穿過第二塊木塊時，第二塊木塊速度為v2，注：子彈對木塊的推力是木塊對子彈的阻力的反作用力。運用動量定理解題時應注意：找準研究對象（質(zhì)點or質(zhì)點系）寫出研究對象的初，末動量的表達式分清外力和內(nèi)力，并找到真正起作用的外力。例3-2-3

長為l、質(zhì)量為m的柔軟繩盤在水平面上。用手將繩的一端以恒定速率v0向上提起，求當提起高度為x時手的提力。分析：由于被提起的繩的質(zhì)量是隨提起的高度變化的，在t時刻到t+Δt

時刻系統(tǒng)動量有變化，根據(jù)動量定理，可求出手的提力。v0x解：以整個繩索為研究對象，它共受到三個力的作用：重力G、臺面支持力N

和手的提力F。在這三個力的共同作用下，系統(tǒng)的動量在不斷的變化。在t時刻，當繩索提高x

時系統(tǒng)的動量為：在t+dt

時刻，繩索提起x+dx，系統(tǒng)的動量為：由動量定理：注意：式中第一項是長為x

的繩索的質(zhì)量，第二項是系統(tǒng)動量增加所需要的附加力。N只與剩在臺面上的繩索的質(zhì)量有關，即dx·mg

忽略不計3.3動量守恒定律即：動量守恒定律：當一個質(zhì)點系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點系的總動量就保持不變。若系統(tǒng)所受合外力為零，即，則：1.合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；2.動量守恒的分量表述如果質(zhì)點系沿某坐標軸方向所受合外力為零，則沿該坐標軸方向的總動量的分量守恒。討論：例如：碰撞、爆炸等（F內(nèi)

>>F外），內(nèi)力很大，重力等外力就可以忽略，認為系統(tǒng)的總動量是守恒的。在直角坐標系中：當Fx=0時，當Fy=0時，當Fz=0時，3.只適用于慣性系；4.動量守恒定律比牛頓定律更普遍，是關于自然界的一切物理過程的一條最基本的定律。課堂討論：質(zhì)量都是M

的兩個冰車，一同靜止在光滑的水平冰面上，一質(zhì)量為m

的人從第一個冰車跳到第二個冰車，再由第二個冰車回到第一個冰車，求兩個冰車的末速度之比。12解：把冰車和人均視為質(zhì)點，由人和兩個冰車所組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，根據(jù)動量守恒定律可知：例3-3-1

一載人小船靜止于湖面上，小船的質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長3.6m，人的質(zhì)量為50kg。試問當人勻速從船尾走到船頭時，船將移動多少距離？假定水的阻力不計。解：假定船的質(zhì)量為M，速度為v，人的質(zhì)量為m，相對于船的速度為u，其方向應與v的方向相反。選x軸沿v的方向，則水平方向上的動量守恒，有：vu設在t

時間內(nèi)人從船尾走到船頭，即：ut=l，船在相同時間內(nèi)走過的路程為vt=S，則有：故上式各項乘上時間t，得：課堂練習：質(zhì)量為M，長為l

的小船靜止于河中，小船的兩頭分別站著質(zhì)量為m1

和m2(m1>m2)的人，他們同時相對于船以相同的速率u走向開始位于船正中，但固定在河中的木樁。若忽略水對船的阻力作用，試問：(1)誰先走到木樁處？(2)他用了多少時間？?Ox解：

(1)選船及甲、乙兩人為研究系統(tǒng)，因為系統(tǒng)水平方向不受外力，故在此方向上動量守恒。m1m2?令船對地速度為v，m1對地的速度為v1，m2對地的速度為v2。由動量守恒：?Oxm1m2?由v人地＝v人船+v船地，得：因為m1>m2

，故v>0，所以船沿x軸的正向運動?？梢?，故m2先到達木樁(2)第二個人到達木樁所需的時間為：v1v2M分析：在豎直方向?qū)π∏蜻\用動量定理，可以得到小球受到的平均沖力，根據(jù)牛頓第三定律，再對滑塊作受力分析，求出滑塊所受的支持力，其反作用力即為滑塊對地面的平均作用力；系統(tǒng)在水平方向動量守恒，由此可得滑塊速度的增量。v0例3-3-2

如圖所示，質(zhì)量為M的滑塊正沿光滑水平面向右滑動，一質(zhì)量為m的小球水平向右飛行，以速度v1（相對于地面）與滑塊斜面相碰，碰后豎直向上彈起，速度為v2（相對于地面）。若碰撞的時間為，試計算此過程中滑塊對地面的平均作用力和滑塊速度的增量。解：對小球沿豎直方向運用動量定理

為滑塊給小球沖力的y方向分力的平均值。.NMg滑塊在y方向上是受力平衡的，故選小球和滑塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，設滑塊碰前的速度為v0，碰后的速度為v，則：滑塊對地面的平均作用力為1.低速，v<<c▲粘附—

主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）▲

拋射—

主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）2.高速

v

c質(zhì)量隨速度變化m=m(v)，這是相對論情形，不討論。一.變質(zhì)量問題可分為兩類3.4變質(zhì)量體力學簡介當物體運動時，有一部分質(zhì)量從物體中分離出去或并入到物體中來，從而使物體的質(zhì)量發(fā)生變化的問題。略去二階無窮小量：設質(zhì)點在t時刻：m，v

；在t+dt

時刻：m+dm，v+dv

。外力F，dm(速度u)根據(jù)動量定理有：二.討論低速情況令vr

=u-v

，表示dm與m合并前相對于m的速度，代入上式可得：用dt

除等式兩邊得：or變質(zhì)量動力學的基本方程注意：與定質(zhì)量的運動方程相比，增加了具有力量綱的附加項，它可理解為因質(zhì)量的變化引起的作用于質(zhì)點的附加推力。密歇爾斯基方程用于密歇爾斯基方程可以研究許多實際的問題：如隕星對地球質(zhì)量和運動的影響；冰山運動受凍結(jié)和融化的影響；太陽因吸收宇宙塵埃和輻射損失的質(zhì)量變化；火箭、氣球以及彗星的運動等。用變質(zhì)量體方法求解例3-2-3此例中方法似乎更簡便些#系統(tǒng)是：已提升的質(zhì)量(主體)m和將要提升的質(zhì)量dmv0x，火箭加速飛行過程中，不斷噴出燃氣，使火箭的質(zhì)量不斷減小，速度不斷增加。vr

=u-v

表示火箭中噴出的燃氣相對于火箭本身的速度，通常稱為噴氣速度。如果忽略外力時，由變質(zhì)量動力學方程可得：設火箭作直線運動，沿火箭運動方向取坐標軸x，由于噴氣速度vr

和火箭本身速度v

的方向相反，則上式可寫為：三.火箭飛行問題矢量表達式標量表達式噴射前：Mi，vi燃料全部耗盡時：Mf

，vf噴氣速度vr

為常量燃料耗盡時火箭的速度——Mi

/Mf

：火箭的質(zhì)量比積分結(jié)論：要使火箭獲得大的速度，或者增大質(zhì)量比(即增大燃料在總質(zhì)量中所占的比例)，或者增大噴氣速度。表明：火箭的速度取決于質(zhì)量比及噴氣速度。單級火箭所能達到的速度的限制火箭推行的最基本的公式：聯(lián)想——

烏賊是怎樣運動的？討論：1.

單級火箭：u=4.1km/s

N=Mi

/Mf

=15

vf

=11km/s考慮地球引力和空氣阻力，實際末速只有：

7km/s<7.9km/s(第一宇宙速)。2.

多級火箭(一般為三級)：v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3航天飛行器都是依靠火箭發(fā)射的。然而，作為發(fā)射航天飛行器的基礎技術——火箭，卻是古代中國勞動人民發(fā)明創(chuàng)造的?；鹚幨枪糯袊乃拇蟀l(fā)明之一。秦漢的煉丹術士們把五金、八石、硝石、三黃等混合共煉，發(fā)明了火藥。南宋時期，人們利用火藥燃燒進行噴氣推進的方式制作的爆竹和煙火，已接近火箭制造的原理。而唐末宋初至明朝初期，火箭還只是作為燃燒物，其結(jié)構多是在火藥筒上捆一根細竹桿，這叫“起火”。如在“起火”前端加一個箭頭，尾端裝上箭羽，就是“火箭”了?！糁袊俗钤绨l(fā)明火箭經(jīng)過配方和工藝的改進，明代成為中國古代火箭技術運用的全盛時期?；鸺淦鞣N類繁多，著名的有震天雷，一窩蜂，神火飛鴉，飛空砂筒，火龍出水等?！耙桓C蜂”：木桶內(nèi)裝32支火箭，用一根總藥線連接32支箭的引線，配置在地下，使用時點燃總線，箭如一窩蜂般飛出地面，殺傷敵方人馬?！盎瘕埑鏊?/p>

：火龍出水用于水戰(zhàn)，面對敵艦，點燃安裝在龍身上的四支火箭，這是第一級火箭，它能推動火龍在水面上飛行近千米；待第一級火箭燃燒完畢，就自動引燃龍腹內(nèi)的火箭（四個火箭引信與龍腹內(nèi)火箭引信是相連的），這是第二級火箭。這時，從龍口里飛出數(shù)支火箭射向敵人，焚燒敵艦?，F(xiàn)代多級火箭的始祖火藥：噴氣飛行的推進劑和摧毀敵人艦船的爆炸物1981年，在加拿大渥太華市舉辦的中國古代傳統(tǒng)工藝展覽會上展出了“火龍出水”模型。許多外國學者觀看之后，都驚嘆中國古代軍事科學家的聰明才智，認為這種以火箭為動力，飛翔于水面上的海戰(zhàn)武器，可以說是現(xiàn)代魚雷的雛型。還應當看到，火龍出水的發(fā)射原理跟現(xiàn)代兩級火箭發(fā)射的原理是相同的，也可以說它是現(xiàn)代多級火箭的始祖?；鹚幵诨鸺幸延忻鞔_分工：噴氣飛行的推進劑和摧毀敵人艦船的爆炸物。所以，明代火箭在技術上已有相當大的突破。13世紀以后，中國的火箭制造技術沿著絲綢之路漸漸傳入印度，阿拉伯等地，向世界傳播，為世界的科技發(fā)展作出了巨大的貢獻。14世紀末(明朝)，一勇敢者萬虎坐在裝有47個當時最大的火箭的椅子上，雙手各持一大風箏，試圖借助火箭的推力和風箏的升力實現(xiàn)飛行的夢想。盡管這次試驗是一次失敗的悲劇（箭毀人亡），但萬虎被公認是嘗試利用火箭飛行的世界第一人。1959年，為了紀念萬虎，人們以他的名字命名了月球背面的一座環(huán)形山，美國的火箭專家赫伯特·基姆也撰文記載他的事跡，在美國的航空和航天博物館中也標示著：“最早的飛行器是中國的風箏和火箭”。繼美國，俄羅斯之后，我國成功的發(fā)射了載人航天飛行的“神舟5號”(2003.10.15)，“神舟6號”(2005.10.12)，標志著我國載人飛船技術已經(jīng)達到國際第三代載人飛船的水平。

◆我國現(xiàn)在的火箭技術已達到世界先進水平?！糇钤绲幕鸺d人飛行試驗也發(fā)生在中國長征二號F型火箭火箭由四個液體助推器、芯一級火箭、芯二級火箭、整流罩和逃逸塔組成，是目前我國所有運載火箭中起飛質(zhì)量最大、長度最長的火箭。全箭起飛質(zhì)量460噸全長49.7米3.5質(zhì)心討論一個質(zhì)點系的運動時，引入質(zhì)量中心的概念。注意：質(zhì)心相對于質(zhì)點系內(nèi)各點的相對位置不會隨坐標系的選擇而發(fā)生變化，即質(zhì)心是相對于質(zhì)點系本身的一個特定的位置。xyzmircriO1.考慮由N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)質(zhì)心坐標的分量表達式：2.對于大的連續(xù)物體，可認為是由許多質(zhì)元所組成積分遍及整個質(zhì)量分布區(qū)域直角坐標分量式為：dm：任一質(zhì)元的質(zhì)量，r：位矢對于均勻的直棒、均勻圓環(huán)、均勻圓盤、均勻球體、均勻立方體等形體質(zhì)心就在其幾何對稱中心上。例3-5-1

設一任意三角形的每個頂點處均有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，求該三角形的質(zhì)心。xyO213(x1,y1)(x2,0)(0,0)解：建立如圖所示的坐標系，根據(jù)質(zhì)心坐標的分量式可得：例3-5-2

一個細長均勻桿長為L，質(zhì)量為M1，與另一個半徑為a，質(zhì)量為M2

的均勻圓盤相連(如圖所示)。圓盤的中心在桿的一端。求圓盤中心距離該連結(jié)體質(zhì)心的距離。M1M2解：設連結(jié)點處為坐標原點，即：x=0。圓盤和桿的質(zhì)心就是它們的幾何中心。用兩個質(zhì)點分別代表圓盤和桿，則由它們組成的連結(jié)體的質(zhì)心：Lx=0x例3-5-3

一半徑為R的均質(zhì)薄圓盤，開了一半徑為r的圓孔，兩圓中心O，O’相距為d。求其質(zhì)心。分析：補償法此黃色開孔圓盤可設想由質(zhì)量為m1，半徑為R的無孔大圓盤和質(zhì)量為–m2(不妨稱為負質(zhì)量)，半徑為r的小圓盤所組成，兩者的質(zhì)量之和m1+(–m2)即為開孔大圓盤的質(zhì)量。解：設圓盤的質(zhì)量面密度為σ，則無孔大圓盤的質(zhì)量為：其質(zhì)心在原點：x1=0小圓盤的質(zhì)量為：其質(zhì)心坐標為：x2=d因此所求黃色開孔圓盤的質(zhì)心坐標為：負號表示質(zhì)心在圓盤中心O的左邊例3-5-4

已知半圓環(huán)質(zhì)量為M，半徑為R。求：它的質(zhì)心位置？解：如圖，半圓環(huán)對y軸對稱，故質(zhì)心應在y軸上，即：xc=0。在環(huán)上任取一小段圓弧dl，其對應的角度為，并假設環(huán)的線密度為，則。又：，y思考：如果是一個半圓盤xyOx=LO課堂練習：一根長為L

的直桿，一端置于坐標原點，另一端的坐標為x=L，如果桿單位長度的質(zhì)量為Ax，其中A為常數(shù)，求質(zhì)心的位置。則質(zhì)心坐標為：dmx解：已知桿的線密度為。在桿上距離原點為x處取一段長為dx

的質(zhì)元，其質(zhì)量為：3.6質(zhì)心運動定理由質(zhì)心公式可得：即表明：質(zhì)點系的總動量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運動速度的乘積。質(zhì)點系的總動量與一個以系統(tǒng)的質(zhì)心速度運動且其質(zhì)量等于系統(tǒng)總質(zhì)量的質(zhì)點的動量相同。對上式兩邊求導，得：由質(zhì)點系的動量定理可得：質(zhì)心運動定理表明：一個質(zhì)點系的質(zhì)心的運動，就如同這樣一個質(zhì)點的運動，該質(zhì)點質(zhì)量等于整個質(zhì)點系的質(zhì)量并且集中在質(zhì)心，而此質(zhì)點所受的力是質(zhì)點系所受的所有外力之和。質(zhì)心運動定理告訴我們：系統(tǒng)質(zhì)心的運動由系統(tǒng)所受的合外力決定，與系統(tǒng)的內(nèi)力無關。推論：若合外力F=0，則mac=0，可得：vc=const.即：質(zhì)點系所受的合外力為零時，質(zhì)心速度不變手榴彈高臺跳水運動員炮彈各個質(zhì)點的運動很復雜質(zhì)心沿一條拋物線運動例3-6-1

設有一質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，他飛行到最高點時爆炸成質(zhì)量相等的兩個碎片，其中一個碎片垂直自由下落，另一個碎片水平拋出，他們同時落地，試問第二個碎片落地點在何處（忽略空氣阻力）？解：xcx1x2yxOT例3-6-2

水平桌面上拉動紙，紙張上有一均勻球，球的質(zhì)量為M，紙被拉動時與球的摩擦力為F，求：t

秒后球相對桌面移動多少距離？?Oyx解：根據(jù)質(zhì)心運動定理由運動學公式可得：方向：沿拉動紙的方向移動FF例3-6-3

用質(zhì)心運動定理來求解例3-3-3解：取人和船組成的質(zhì)點系為研究對象：根據(jù)質(zhì)心運動定理：又整個質(zhì)點系原來是靜止的即在整個過程中，系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變。Ox在人走之前，人船系統(tǒng)質(zhì)心的坐標為：當人走到船尾，人船系統(tǒng)質(zhì)心的坐標為：因為xc=x’cOxx1x2x’1x’2船相對于湖岸向左移動的距離SSOxx1x2x’1x’2例3-6-4

用質(zhì)心運動定理來求解例3-2-3。解：仍取臺面為原點，取x軸豎直向上。當繩索提起x

長時，體系的質(zhì)心坐標為：而整個體系共受三個力的作用：提力F，重力G(G=mg)，臺面支持力N()。由質(zhì)心運動定理得：思考將一根直尺豎立在光滑的冰面上，如果它倒下來的話，其質(zhì)心將劃過怎樣一條軌道。答：由于水平方向不受外力，故其質(zhì)心在水平方向應保持不變，質(zhì)心將豎直向下運動?！?/p>

質(zhì)心參考系：即質(zhì)心在其中靜止的平動參考系。選取質(zhì)心為質(zhì)心參考系的坐標原點，則根據(jù)質(zhì)心的定義：求導：零動量參考系z'r'ix'y'xyzmircriOSS’另一方面，位矢滿足：故：求導可得質(zhì)心系中的速度：在自然界中經(jīng)常會遇到質(zhì)點圍繞著一定的中心運轉(zhuǎn)的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動，電子繞原子核轉(zhuǎn)動以及剛體的轉(zhuǎn)動等等。動量定理及其守恒定律未必適用，我們采用角動量的概念就比較方便。角動量與動量一樣，是一個重要概念。3.7質(zhì)點的角動量★角動量概念

一個動量為p的質(zhì)點，對慣性參考系中某一固定點O

的角動量L用矢積定義：如果質(zhì)點作圓周運動角動量大小角動量方向滿足右手螺旋法則單位：kg·m2/s質(zhì)點的角動量v和p的方向一致，故矢積為零力矩單位：N·m★質(zhì)點的角動量隨時間的變化率：大?。悍较颍簼M足右手螺旋法則O角動量定理表明：質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。討論：判斷下列有關角動量的說法的正誤。一質(zhì)點作直線運動，質(zhì)點的角動量一定為零。一質(zhì)點作直線運動，質(zhì)點的角動量一定不變。(1)不一定為零。因質(zhì)點的角動量與參考點有關。??vrr’OO’(2)不一定不變。2.作變速率直線運動的質(zhì)點對任一固定點的角動量的大小是變化的。??vrr’OO’d1.作勻速直線運動的質(zhì)點對任一固定點的角動量是一個常矢量;角動量方向不變，垂直于板面向里注意：的情況，可能是

r=0，也可能是F=0或者是

F//r(同向或反向)，質(zhì)點在有心力中運動就是這種情況。3.8角動量守恒定律角動量守恒定律：如果對某一點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變角動量守恒定律也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律Aqualitativedemonstrationoftherelationshipofm,vsquared,andr.Theballisswunginacircularmotiononthesmoothstand.Pullingontheringshortenstheradiusoftheballpathandincreasesthevelocity.在光滑的水平桌面上，對固定參考點（桌面小孔）而言，小球受到的合力矩為零，小球的角動量守恒。因此，運動半徑減小，運動速率增大。F◆用角動量守恒定律解釋物理現(xiàn)象Theballissettoswinging,andasmallmassishookedtothering,exertingadownwardforceonthestring.Theradiusofthestringfromthepivottotheballshrinks,andtheball’svelocityincreases.討論1：作勻速直線運動的質(zhì)點const.定義：r在單位時間內(nèi)掃過的面積，稱為掠面速度質(zhì)點的角動量守恒：質(zhì)點的角動量守恒：結(jié)論：在這兩種情況下，質(zhì)點相對于某點(O)的角動量守恒與質(zhì)點相對于該點位矢的掠面速度相等是等價的討論2：作勻速率圓周運動的質(zhì)點(有心力場)位矢r的掠面速度在圓周上各點均相等開普勒第二定律：行星對太陽的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的軌道是橢圓形的，提出了開普勒三定律*，開普勒為此欣喜若狂。把二十余年觀測的幾千個數(shù)據(jù)歸納成這樣簡潔的幾條規(guī)律，開普勒應該為此感到自豪。只是開普勒尚不理解，他所發(fā)現(xiàn)的三大定律已傳達了重大的“天機”。由于角動量正比于位矢的掠面速度，因此開普勒第二定律意味著角動量守恒。*：見附錄證明：太陽對行星的引力是有心力，故行星對太陽的角動量保持不變。(1)角動量的方向不變，表明位矢和速度所決定的平面的方位不變，行星就在這個平面內(nèi)運動，即行星的軌道是一個平面。運用角動量守恒定律來證明開普勒第二定律。(2)角動量的大小為：另一方面，由幾何關系可得：行星運動的角動量守恒意味著這一掠面速度保持不變。由此證明了開普勒第二定律。掠面速度例3-8-1

質(zhì)量為m的物體拴在穿過小孔的輕繩的一端，在光滑的水平面上以角速度ω0

作半徑為r0

的圓周運動。自t=0時刻起，手拉繩的另一端以勻速v向下運動，使半徑逐漸減小。試求角速度與時間的關系ω(t)。。vrm分析：質(zhì)點在水平方向上僅受通過小孔的繩的拉力作用，為有心力，故角動量守恒。解：質(zhì)點對小孔的角動量守恒。當質(zhì)點與小孔的距離為r

時，其角速度為ω，則有：即(1)聯(lián)立(1)、(2)兩式可得：根據(jù)題意可知，質(zhì)點m

與小孔距離的變化規(guī)律為：(2)。vrmrO3.9*

質(zhì)點系的角動量定理一個質(zhì)點系對某一點的角動量定義為其中各質(zhì)點對該點的角動量的矢量和，即：········ijFiPifijfjiOrjri·對于任一質(zhì)點i，運用角動量定理：Fi

為第i個質(zhì)點所受的外力；fij

為該質(zhì)點所受系內(nèi)第j

個質(zhì)點對它施加的內(nèi)力。其中：ri

-rj對系統(tǒng)內(nèi)所有的質(zhì)點求和：求和其中合外力矩合內(nèi)力矩其中，一對內(nèi)力矩為之和為：由牛頓第三定律可知：若無外力矩，即M=0，則L=const.

，表明質(zhì)點系總角動量將不隨時間改變——質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量定理：一個質(zhì)點系所受的合外力矩等于該質(zhì)點系的角動量對時間的變化率。由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，而每一對內(nèi)力矩之和為零，所以可推得所有內(nèi)力矩之和為零，即：討論：質(zhì)點系的總動量為零，總角動量一定為零？不正確。僅由不能導出?m1v1m2v2r1r2O但，對O點的角動量均是垂直于板面向內(nèi)的，故總角動量不等于零。例：兩個質(zhì)量均為m

的質(zhì)點，用一根長為2a

的質(zhì)量可忽略不計的輕桿相連，構成一個簡單的質(zhì)點系。兩質(zhì)點繞固定軸O’Z以勻角速度轉(zhuǎn)動，軸線通過桿的中點O并與桿的夾角為，求質(zhì)點系對O點的角動量。分析：由圖可知。兩