《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)課件全集第1章極限與連續(xù)

第1章極限與連續(xù)本章將學(xué)習(xí)函數(shù)極限和連續(xù)的概念、性質(zhì)及其計(jì)算方法。了解極限的定義和重要性,并掌握計(jì)算極限的技巧。同時(shí)還將介紹連續(xù)函數(shù)的定義和性質(zhì),以及間斷點(diǎn)的分類。這些基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)后續(xù)微積分的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。ppbypptppt1.1函數(shù)的極限1函數(shù)極限的定義理解極限的概念和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述。2極限的性質(zhì)掌握極限的基本運(yùn)算性質(zhì)。3極限的計(jì)算方法學(xué)習(xí)各類型函數(shù)極限的求解技巧。函數(shù)極限的概念是微積分的基礎(chǔ)。通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)極限的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法,為后續(xù)學(xué)習(xí)微分和積分奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。同時(shí),理解函數(shù)極限對(duì)于分析函數(shù)的性質(zhì)和行為也很重要。函數(shù)極限的定義直觀理解函數(shù)在某點(diǎn)附近的值如何"無(wú)限接近"于某個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限。數(shù)學(xué)描述如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,總存在一個(gè)正數(shù)δ使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí),|f(x)-L|<ε,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的極限為L(zhǎng)。應(yīng)用意義函數(shù)極限概念為后續(xù)微積分的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ),是理解函數(shù)性質(zhì)和變化規(guī)律的重要工具。極限的性質(zhì)加法與減法如果limf(x)=A和limg(x)=B，則lim[f(x)±g(x)]=A±B。乘法如果limf(x)=A和limg(x)=B，則lim[f(x)·g(x)]=A·B。除法如果limf(x)=A≠0和limg(x)=B≠0，則lim[f(x)/g(x)]=A/B。常數(shù)倍如果limf(x)=A，則lim[kf(x)]=kA，其中k為任意常數(shù)。極限的計(jì)算方法1代入法當(dāng)函數(shù)表達(dá)式看起來(lái)簡(jiǎn)單時(shí),可以直接代入x=a計(jì)算極限。2因式分解法將分子分母同時(shí)因式分解,并利用因式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算。3替換法對(duì)復(fù)雜的表達(dá)式進(jìn)行巧妙替換,轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的極限形式。4洛必達(dá)法則若形式為0/0或∞/∞,可以使用導(dǎo)數(shù)比值求極限。無(wú)窮小和無(wú)窮大無(wú)窮小無(wú)窮小是一種極其接近于0的數(shù)量,雖然具體數(shù)值很小,但不等于0。它們?cè)诤瘮?shù)極限分析中扮演著關(guān)鍵角色。無(wú)窮大無(wú)窮大描述一個(gè)數(shù)值增長(zhǎng)到超出常規(guī)數(shù)字范圍的狀態(tài)。它在極限分析中表示函數(shù)值無(wú)限增大或減小的情況。關(guān)系和應(yīng)用無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念及其相互關(guān)系,是理解函數(shù)極限、連續(xù)性和微積分原理的基礎(chǔ)。掌握這些概念對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。1.2函數(shù)的連續(xù)1連續(xù)函數(shù)的定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的極限等于f(a)，則稱f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)描述的是函數(shù)在某點(diǎn)附近變化平穩(wěn)、沒(méi)有突然跳躍的性質(zhì)。2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有良好的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),可以進(jìn)行加減乘除等運(yùn)算。它們?cè)陂]區(qū)間上具有最大值和最小值。3間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)是指函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)。間斷點(diǎn)可分為可去間斷點(diǎn)、jump間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)。理解這些類型有助于分析函數(shù)的性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的定義定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的極限等于f(a)，則稱f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)描述函數(shù)在某點(diǎn)附近變化平穩(wěn)、沒(méi)有突然跳躍的性質(zhì)。應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的概念是微積分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),對(duì)理解函數(shù)性質(zhì)和變化規(guī)律很重要。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)可以進(jìn)行加減乘除等基本的代數(shù)運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)。這為后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。最值存在性在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定存在最大值和最小值。這是連續(xù)函數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的重要性質(zhì)。積分性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有良好的積分性質(zhì),可以使用基本初等函數(shù)進(jìn)行積分運(yùn)算。這為后續(xù)學(xué)習(xí)定積分打下了基礎(chǔ)。間斷點(diǎn)的分類可去間斷點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處有定義,但極限不存在,可通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷亩蛊湓谠擖c(diǎn)處連續(xù)。跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)生跳躍,左右極限存在但不相等,這類點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。無(wú)窮間斷點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處extreme值為正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮,左右極限不存在,這類點(diǎn)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)。分類意義理解不同類型的間斷點(diǎn)有助于分析函數(shù)的性質(zhì)和走勢(shì),為后續(xù)微積分學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算加法運(yùn)算連續(xù)函數(shù)可以進(jìn)行加法運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)。這為微積分的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。乘法運(yùn)算連續(xù)函數(shù)可以進(jìn)行乘法運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)。這展現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的良好代數(shù)性質(zhì)。積分運(yùn)算連續(xù)函數(shù)可以進(jìn)行積分運(yùn)算,從而獲得更多的函數(shù)性質(zhì)信息。這為后續(xù)學(xué)習(xí)定積分奠定了基礎(chǔ)。極限存在的必要條件1夾逼定理若函數(shù)有上下界,則極限存在。2單調(diào)有界準(zhǔn)則若函數(shù)單調(diào)且有界,則極限存在。3柯西收斂準(zhǔn)則若函數(shù)列滿足柯西收斂條件,則極限存在。確定函數(shù)極限是否存在的必要條件包括:夾逼定理、單調(diào)有界準(zhǔn)則和柯西收斂準(zhǔn)則。這些定理為判斷極限存在與否提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù),是高等數(shù)學(xué)極限理論的重要組成部分。掌握這些定理有助于分析函數(shù)極限的性質(zhì)。夾逼定理夾逼定理若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a附近滿足不等式c≤f(x)≤d,且c和d在點(diǎn)a處極限存在且相等,則f(x)在點(diǎn)a處也存在極限,且極限等于c和d的共同極限。極限存在的必要條件夾逼定理為判斷函數(shù)極限存在提供了數(shù)學(xué)依據(jù)。只要函數(shù)在某點(diǎn)附近被兩個(gè)具有共同極限的函數(shù)所夾持,則該函數(shù)在該點(diǎn)也必定存在極限。應(yīng)用舉例夾逼定理可用于求解復(fù)雜函數(shù)的極限,只需找到合適的夾持函數(shù)并計(jì)算它們的極限即可。這是一種非常有效的極限計(jì)算方法。單調(diào)有界準(zhǔn)則1定義如果一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的且有界,那么該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一定存在極限。2應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則是判斷函數(shù)極限是否存在的重要依據(jù),可以快速確定極限的存在性。3舉例例如函數(shù)f(x)=1/x在(0,∞)上是單調(diào)遞減的且有界,因此在該區(qū)間內(nèi)極限一定存在?？挛魇諗繙?zhǔn)則定義若一數(shù)列{a_n}滿足對(duì)任意ε>0,存在正整數(shù)N,使得對(duì)任意m,n>N都有|a_m-a_n|<ε,則稱該數(shù)列是柯西收斂的。特點(diǎn)柯西收斂是極限存在的一個(gè)必要條件。它要求數(shù)列的元素之間的差值足夠小,這保證了數(shù)列有極限。應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則為判斷極限存在提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù),是高等數(shù)學(xué)中重要的理論工具。無(wú)窮小的比較定義對(duì)于兩個(gè)無(wú)窮小α和β,如果極限lim(α/β)=0，則稱α比β更小，記為α=o(β)。等價(jià)無(wú)窮小如果α/β和1的極限都為常數(shù)k≠0，則稱α和β是等價(jià)無(wú)窮小，記為α~β。應(yīng)用無(wú)窮小的比較和等價(jià)無(wú)窮小的概念為高等數(shù)學(xué)中極限的研究和計(jì)算提供了重要工具。無(wú)窮小的等價(jià)無(wú)窮小定義如果兩個(gè)無(wú)窮小α和β的比值的極限是一個(gè)非零常數(shù)k,則稱α和β是等價(jià)無(wú)窮小,記作α~β。性質(zhì)等價(jià)無(wú)窮小具有加法、乘法等基本運(yùn)算性質(zhì),計(jì)算時(shí)可相互替換。這簡(jiǎn)化了無(wú)窮小的分析。應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)計(jì)算等高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念。洛必達(dá)法則1定義若函數(shù)f(x)和g(x)滿足limf(x)/g(x)=L≠0,∞時(shí),則limf'(x)/g'(x)=L。2適用條件當(dāng)函數(shù)極限形式為0/0或∞/∞時(shí),可以應(yīng)用洛必達(dá)法則求解。3計(jì)算優(yōu)勢(shì)洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化了極限計(jì)算,避免了直接求極限可能遇到的困難。函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)函數(shù)的定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的值f(x0)與x在x0的某鄰域內(nèi)趨近于x0時(shí)f(x)的極限一致,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有良好的代數(shù)性質(zhì),可進(jìn)行加、減、乘、除等基本運(yùn)算,并保持連續(xù)性。這為后續(xù)的微積分理論奠定了基礎(chǔ)。3間斷點(diǎn)的分類函數(shù)若在某點(diǎn)不連續(xù),則稱該點(diǎn)為間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)可分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無(wú)窮間斷點(diǎn)等類型。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算保持連續(xù)性連續(xù)函數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除等基本代數(shù)運(yùn)算,并且運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)。這使得連續(xù)函數(shù)具有良好的代數(shù)性質(zhì),為后續(xù)的微積分理論奠定了基礎(chǔ)。函數(shù)復(fù)合保持連續(xù)性若函數(shù)f(x)和g(x)均為連續(xù)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)f(g(x))也為連續(xù)函數(shù)。這種性質(zhì)極大地?cái)U(kuò)展了連續(xù)函數(shù)的適用范圍。反函數(shù)保持連續(xù)性如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)的,那么它的反函數(shù)f^(-1)(x)在該區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)的。這為反函數(shù)的性質(zhì)研究提供了理論基礎(chǔ)。普遍存在性在日常生活中,大多數(shù)函數(shù)都是連續(xù)的,這也使得連續(xù)函數(shù)成為最基本和最常見(jiàn)的函數(shù)類型。掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于理解和應(yīng)用函數(shù)非常重要。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)取值范圍有界在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)，其取值范圍必定有界。也就是說(shuō)，函數(shù)值存在上限和下限。這為后續(xù)的積分理論和極值問(wèn)題奠定了重要基礎(chǔ)。最大值與最小值性質(zhì)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)必定存在最大值和最小值。這體現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)間上的良好性質(zhì)。中值定理若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)必定存在至少一點(diǎn)，使函數(shù)值等于連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的平均數(shù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性1定義復(fù)合函數(shù)f(g(x))的連續(xù)性2性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3應(yīng)用復(fù)合函數(shù)連續(xù)性在微積分中的作用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念。它定義了當(dāng)內(nèi)層函數(shù)g(x)和外層函數(shù)f(x)都連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)f(g(x))也一定連續(xù)的性質(zhì)。這為復(fù)合函數(shù)的微積分計(jì)算和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ),為后續(xù)的極限、導(dǎo)數(shù)等理論的深入研究提供了理論支撐。復(fù)合函數(shù)的定義復(fù)合函數(shù)概念若有兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)，將g(x)代入f(x)得到的新函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記作f(g(x))。復(fù)合過(guò)程首先計(jì)算內(nèi)層函數(shù)g(x)的值，然后將g(x)的值代入外層函數(shù)f(x)中得到復(fù)合函數(shù)的值。應(yīng)用場(chǎng)景復(fù)合函數(shù)廣泛應(yīng)用于各種計(jì)算和建模中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)函數(shù)的組合和嵌套性。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定義如果內(nèi)層函數(shù)g(x)和外層函數(shù)f(x)都是連續(xù)函數(shù),那么復(fù)合函數(shù)f(g(x))也是連續(xù)函數(shù)。性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性是建立在內(nèi)外層函數(shù)都連續(xù)的基礎(chǔ)之上的。這保證了復(fù)合運(yùn)算后函數(shù)的連續(xù)性。應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性為后續(xù)微積分中涉及的極限、導(dǎo)數(shù)等概念的研究奠定了基礎(chǔ)。舉例如果f(x)=sin(x)和g(x)=x^2都是連續(xù)函數(shù),那么它們的復(fù)合函數(shù)f(g(x))=sin(x^2)也是連續(xù)的。反函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)的,那么它的反函數(shù)f^(-1)(x)在該區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)的。單調(diào)性反函數(shù)的連續(xù)性建立在原函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)之上,保證了反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的良好性質(zhì)。應(yīng)用反函數(shù)的連續(xù)性為許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和求解提供了理論依據(jù)和計(jì)算基礎(chǔ)。反函數(shù)的定義反函數(shù)的概念若函數(shù)f(x)是一一對(duì)應(yīng)的,即每個(gè)y對(duì)應(yīng)唯一的x,那么可以定義反函數(shù)f^(-1)(x),它將y映射到原來(lái)的x。反函數(shù)是原函數(shù)的逆映射。反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)f^(-1)(x)保持了原函數(shù)f(x)的單調(diào)性和