三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）專題04 立體幾何（理）（原卷版）

專題04立體幾何（理）考點三年考情（2022-2024）命題趨勢考點1：三視圖2022年浙江卷、2022年全國甲卷（理）2023年全國乙卷（理）從近三年高考命題來看，本節(jié)是高考的一個重點，立體幾何是高考的必考內(nèi)容，重點關(guān)注以下幾個方面：（1）掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，能夠解決簡單的實際問題；（2）多面體和球體的相關(guān)計算問題是近三年考查的重點；（3）運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，突出考查直觀想象和邏輯推理．（4）能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用；能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的程序化思想．考查重點是解決空間線線角、線面角、二面角的問題求解．考點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積2023年全國Ⅱ卷、2022年全國II卷2022年天津卷、2023年天津卷2024年全國甲卷（理）、2022年全國甲卷（理）2023年全國乙卷（理）、2023年全國甲卷（理）2024年天津卷、2023年北京卷2024年全國Ⅰ卷考點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷2024年天津卷、2024年全國甲卷（理）2022年全國乙卷（理）考點4：線線角與線面角問題2022年全國甲卷（理）2022年全國乙卷（理）2022年北京卷、2022年浙江卷2023年全國甲卷（理）2022年全國甲卷（理）2022年浙江卷、2023年全國乙卷（理）2024年全國Ⅱ卷、2022年全國I卷考點5：外接球、內(nèi)切球問題2023年全國甲卷（理）、2022年全國II卷考點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題2023年全國Ⅰ卷、2022年全國I卷2022年全國乙卷（理）考點7：距離問題2024年北京卷考點8：立體幾何存在性問題2024年全國Ⅰ卷、2023年全國Ⅰ卷考點9：二面角問題2024年全國甲卷（理）2024年全國Ⅱ卷、2024年北京卷2024年天津卷、2023年北京卷2023年全國乙卷（理）2023年全國Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全國II卷、2023年天津卷考點1：三視圖1．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（

）A． B． C． D．3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．30考點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積4．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為5．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．6．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．277．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．8．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．9．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．10．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．11．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．12．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．13．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．14．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．考點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷15．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交16．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④17．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面考點4：線線角與線面角問題18．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．19．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．20．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．21．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．22．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．23．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為24．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．25．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．26．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．327．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為考點5：外接球、內(nèi)切球問題28．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．29．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．考點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題30．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體31．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．32．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．考點7：距離問題33．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．考點8：立體幾何存在性問題34．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．35．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．考點9：二面角問題36．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．37．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．38．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．39．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．40．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大小．41．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.42．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．