河南省頂尖名校高三下學(xué)期第二次素養(yǎng)調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省頂尖名校高三下學(xué)期第二次素養(yǎng)調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋缘墓曹棌?fù)數(shù)為.故選.2．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后由條件結(jié)合數(shù)軸可得答案.【詳解】由解得或，則或，又，若，則.故選：.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由結(jié)合誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】，故選:.C4．隨著互聯(lián)網(wǎng)和物流行業(yè)的快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中不可或缺的重要組成部分.下圖是20122020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這年的統(tǒng)計(jì)信息，下列說法正確的是（

）20122020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況A．這年我國快遞業(yè)務(wù)量有增有減B．這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的中位數(shù)為C．這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差未超過D．這年我國快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過億件【答案】D【分析】對(duì)于A，由條形圖有變化進(jìn)行判斷即可；對(duì)于B，先對(duì)這9年的增速排列，找到第5個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；對(duì)于C，求出極差進(jìn)行判斷；對(duì)于D，從條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠(yuǎn)超過億件，從而可得平均數(shù)超過億件【詳解】由條形圖可知，這年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，故錯(cuò)誤；將各年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速按從小到大排列得：，，，，，，，，，故中位數(shù)為第個(gè)數(shù)，故錯(cuò)誤；這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差為，故錯(cuò)誤；由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠(yuǎn)超過億件，故快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過億件，正確.故選：D.5．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】先將已知條件用首項(xiàng)和公差表示，然后可得的倍數(shù)關(guān)系，然后將用的形式表示并結(jié)合倍數(shù)關(guān)系，即可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.6．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)函數(shù)，再令，得，求出，最后在點(diǎn)處的切線的斜率.【詳解】，令，得，所以，所以，的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：是的導(dǎo)函數(shù)值，是一個(gè)常數(shù)，所以在求導(dǎo)函數(shù)時(shí)要注意.7．在西方人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例被稱為黃金分割比例.黃金分割比例符合人類潛意識(shí)里的審美觀，給人以強(qiáng)烈的視覺美感，因此在繪畫、設(shè)計(jì)、建筑等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形、矩形、矩形、矩形、矩形，則點(diǎn)恰好落在黃金矩形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可設(shè)、、、、、，然后根據(jù)題意得出以及，最后求出矩形的面積以及矩形的面積，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)，，，，，，則，故，，，，則矩形的面積，矩形的面積，故點(diǎn)恰好落在黃金矩形內(nèi)的概率，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何概型的相關(guān)問題的求解，能否求出矩形的面積以及矩形的面積是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是中檔題.8．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由的解析式分析得出其奇偶性和單調(diào)性,從而利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可得出答案.【詳解】易知定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，故，即，即所以，則，或，解得或，所以，故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，解答本題的關(guān)鍵是得出為偶函數(shù)和在上單調(diào)遞增，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)將不等式化為，即，再由單調(diào)性求解，屬于中檔題.9．一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開圖如圖所示，其中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則將該長(zhǎng)方體還原后，與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出該長(zhǎng)方體還原后的直觀圖求解.【詳解】將該長(zhǎng)方體還原后的直觀圖如圖所示，取的中點(diǎn)，則易證得，所以（或補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，易求得，，由余弦定理得.故選：B.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，若滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)圖象求解出的解析式，然后根據(jù)圖象的平移變換求解出的解析式，由已知條件分析出的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可根據(jù)求解出的值.【詳解】法一：由圖可知，，圖象過點(diǎn)，，，.的圖象過點(diǎn)，，，，，，由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，，又，所以，故選：.法二：，故圖象對(duì)稱軸可表示為，的圖象的一條對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，可知的左側(cè)圖象離最近的對(duì)稱軸為，故的最小值為，故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)正、余弦型函數(shù)（）的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心求解參數(shù)的方法：（1）已知正、余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸，則必有，由此求解出參數(shù)；（2）已知正、余弦型函數(shù)的對(duì)稱中心，則必有，由此求解出參數(shù).11．已知雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，，過點(diǎn)A的直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，直線與的一個(gè)交點(diǎn)為B，若，且，則的離心率為(

)A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由向量數(shù)量積等式推出l⊥x軸，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)B坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求解即得.【詳解】由已知得，設(shè)，由，得，所以軸，即，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.設(shè)，由，得，，，即，點(diǎn)在雙曲線上，，整理得，，解得，或(負(fù)值舍去).故選C.故選：C【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率的問題，根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=c2a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解之即可得e.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知遞推關(guān)系先求的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)的和，再變量分離不等式，構(gòu)造新數(shù)列，確定新數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求最值.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式作差，得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；，，，，錯(cuò)位相減得，，所以.令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，于是由題意得.故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:確定數(shù)列問題中的參數(shù)取值范圍（或最值），常通過變量分離，構(gòu)造數(shù)列轉(zhuǎn)化為求新數(shù)列的最值.二、填空題13．平面內(nèi)單位向量滿足則=_____________.【答案】【分析】由題可得，兩邊平方后結(jié)合是單位向量，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故可得，則，則，又均為單位向量，則，解得.故答案為：.14．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則取最大值4時(shí)，的最小值為___________.【答案】2【分析】作出可行域，利用線性規(guī)劃知識(shí)求出，再根據(jù)基本不等式可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖：聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，所以，將目?biāo)函數(shù)化為斜截式可得，因?yàn)橹本€的斜率為，所以由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：2【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15．孫子定理(又稱中國剩余定理)是中國古代求解一次同余式組的方法.問題最早可見于南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題“物不知數(shù)”問題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整數(shù)：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整數(shù)：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整數(shù)：2，9，16，23…，則23就是“問物幾何？”中“物”的最少件數(shù)，“物”的所有件數(shù)可用表示.試問：一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除少1，被5除余4，則這個(gè)數(shù)最小是___________.【答案】19【分析】列舉出被3除余1的整數(shù)有、被4除少1的整數(shù)、被5除余4的整數(shù)，從中找到同時(shí)滿足條件的最小整數(shù)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸?除余1的整數(shù)有：被4除少1即被4除余3的整數(shù)有：被5除余4的整數(shù)有：所以這個(gè)數(shù)最小為.故答案為：1916．三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，面垂直底面，且，則三棱錐體積的最大值是___________.【答案】【分析】設(shè)到AB的距離為，，則可得，求出的最大值即可求出體積最大值.【詳解】因?yàn)槊娲怪钡酌?，則三棱錐的高即為到AB的距離，設(shè)為，，設(shè)，在中，，則，則，當(dāng)，即時(shí)，，又，則三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三棱錐體積最值的求解，解題的關(guān)鍵是求出到AB的距離的最大值，根據(jù)題意能得出.三、解答題17．若函數(shù)的圖象與直線（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且公差為.（1）函數(shù)的解析式；（2）已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且a、b、c成等比數(shù)列，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）、利用輔助角公式化簡(jiǎn)的表達(dá)式，由題意推導(dǎo)出周期,進(jìn)一步利用求出即可求出函數(shù)表達(dá)式.（2）、由求,再根據(jù)a、b、c成等比數(shù)列求出，代入三角形面積公式得到答案.【詳解】（1），的圖象與直線相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且公差為.，

∴.（2）由（1）知

∴，∵

∴

∴

又∵a、b、c成等比數(shù)列，，，∴.18．某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出,有一萬人參加,每人一張門票,每張100元.在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張,其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品,并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕,電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù),(,),隨即按如右所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序．若電腦顯示”中獎(jiǎng)”,則抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金;若電腦顯示”謝謝”,則不中獎(jiǎng)．(Ⅰ)已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中,求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率;(Ⅱ)若小葉參加了此次活動(dòng),求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望;(Ⅲ)若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外,不計(jì)其它支出,該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款．問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）97；（Ⅲ）能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).【分析】（Ⅰ）利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為，的可能取值為，利用古典概型概率公式與獨(dú)立事件概率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，利用期望公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購票者每人收益期望為，該機(jī)構(gòu)此次收益期望為元=萬元，由可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）從1，2，3三個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件有共9個(gè)，設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件，且事件所包含的基本事件有共2個(gè)，∴.（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為，的可能取值為，，．∴的分布列為9009900∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購票者每人收益期望為.∵有一萬人購票，除獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)品外，不計(jì)其它支出，∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為元=萬元，∵，∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式、獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解數(shù)學(xué)期望問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).19．如圖，菱形與正的邊長(zhǎng)均為，且平面平面，平面，且，（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）如圖，作于，連，證明四邊形是平行四邊形得到答案.（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，計(jì)算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式得到答案.【詳解】（1）如圖，作于，連，平面平面，，平面，平面，且，又平面，且，，且，故四邊形是平行四邊形，，平面，平面，故平面.（2），菱形，易知，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，令，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，令，取，則，由題意知二面角是鈍二面角，故二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力.20．已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，分別為左右頂點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知確定基本量即可.（2）代入消元，運(yùn)用韋達(dá)定理整體思想，求出的橫坐標(biāo)為定值得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，直線為，令，得.即橢圓的上頂點(diǎn)為，所以，又的周長(zhǎng)為，即，又，解得，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)，由，消去得，所以，又，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得.由得代入上式，得，解得所以點(diǎn)在定直線上.21．已知函數(shù)，(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，對(duì)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，由恒成立，變量分離可得解.（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論得解.【詳解】(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當(dāng)時(shí)，