現(xiàn)代電力電子技術(shù)(第2章)

現(xiàn)代電力電子技術(shù)湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院第2章電力電子技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換2.2坐標(biāo)變換法2.3瞬時(shí)功率理論2.4對(duì)稱分量分解法2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換由積分可知一、三角函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,...

2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換二、傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)非正弦波的周期信號(hào)，可以看作是由一些不同頻率的正弦波信號(hào)疊加的結(jié)果，這一個(gè)過程稱為諧波分析。由上可知，兩個(gè)頻率不同的正弦波可以合成一個(gè)非正弦波。反之，一個(gè)非正弦波也可分解成幾個(gè)不同頻率的正弦波。例如：e=e1+e2=E1msin(

t)+E2msin(3

t)

e1和e2叫做非周期信號(hào)的諧波分量。

e1

的頻率與非正弦波的頻率相同，稱為非正弦波的基波或一次諧波；e2的頻率為基波的三倍，稱為三次諧波。諧波分量的頻率是基波的幾倍，就稱它為幾次諧波。非正弦波含有的直流分量，可以看作是頻率為零的正弦波叫零次諧波。2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換非正弦周期性信號(hào)滿足和狄里赫利條件，則：2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換?

余弦形式?

正弦形式

通常，把角頻率為

1的分量稱為基波，角頻率為21，31，…等分量分別稱為二次諧波、三次諧波……等。2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換四、非正弦周期電信號(hào)的電量關(guān)系非正弦周期電壓非正弦周期電流平均有功功率無功功率可畫出頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。五、幅度頻率特性和相位頻率特性關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖，簡(jiǎn)稱幅度譜；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖，簡(jiǎn)稱相位譜。的線性組合?；ń穷l率的整數(shù)倍）（）和各次諧波，基波（周期信號(hào)可分解為直流:11wwn2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO幅度頻譜相位頻譜2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換六、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)形式2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換f(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)說明：2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換幅度頻率特性和相位頻率特性相頻特性幅頻特性——復(fù)數(shù)頻譜雙邊頻譜

n(-,)|Fn|~

n~

?當(dāng)Fn為實(shí)數(shù)時(shí)，可用Fn的正負(fù)表示

n的0、

，因此常把幅度譜和相位譜合畫在一張圖上；?負(fù)頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，并沒有任何物理意義，只有將負(fù)頻率項(xiàng)和相應(yīng)的正頻率項(xiàng)成對(duì)合并起來，才是實(shí)際的頻譜函數(shù)。2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換七、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的1、偶函數(shù)則)(tfLLOtTET-2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換)(tfLLOtTT-11-2、奇函數(shù)則注：若在奇函數(shù)上加以直流成分，則它不再是奇函數(shù)，但在其級(jí)數(shù)中仍不會(huì)含有余弦項(xiàng)，而僅含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng)。2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換則f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即)(tfLLOtTT-2T

若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化，則稱奇諧函數(shù)。3、奇諧函數(shù)2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換4、偶諧函數(shù)則f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零)(tfLLOt1T1T-21T-21T2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換八、傅里葉變換2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換傅里葉變換2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換傅里葉逆變換2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換設(shè)是周期為N的周期序列與連續(xù)信號(hào)不同的是，離散周期序列只有N個(gè)諧波對(duì)離散周期信號(hào)對(duì)連續(xù)周期信號(hào)周期序列可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)表示九、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)通常記WN的性質(zhì):2.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換十、離散傅里葉變換2.2坐標(biāo)變換

一、

坐標(biāo)變換的基本思路

直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型直流電機(jī)電樞本身是旋轉(zhuǎn)的，但其繞組通過換向器電刷接到端接板上，因此，電樞磁動(dòng)勢(shì)的軸線始終被電刷限定在q軸位置上，其效果好象一個(gè)在q

軸上靜止的繞組一樣。主磁通

的方向沿著與之垂直的d

軸；直流電機(jī)的主磁通基本上唯一地由勵(lì)磁繞組的勵(lì)磁電流決定，這是直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及其控制系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單的根本原因。2.2坐標(biāo)變換

交流電機(jī)的物理模型交流電機(jī)三相對(duì)稱的靜止繞組A、B、C，通以三相平衡的正弦電流時(shí)，所產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)是旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F，它在空間呈正弦分布，以同步轉(zhuǎn)速

1

（即電流的角頻率）順著A-B-C

的相序旋轉(zhuǎn)。ABCABCiAiBiCFω1三相交流繞組2.2坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)并不一定非要三相不可，除單相以外，二相、三相、四相等任意對(duì)稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，當(dāng)然以兩相最為簡(jiǎn)單。不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。等效的兩相交流電機(jī)繞組兩相交流繞組

兩相靜止繞組

和

，它們?cè)诳臻g互差90°，通以時(shí)間上互差90°的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F。

當(dāng)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)大小和轉(zhuǎn)速都相等時(shí)，即認(rèn)為圖b的兩相繞組與圖a的三相繞組等效。

F

i

i

ω12.2坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機(jī)模型

1FdqimitMT兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組d和q，其中分別通以直流電流id和iq，產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì)F，其位置相對(duì)于繞組來說是固定的。如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì)F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。若旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速與A、B、C三相繞組和α、β的磁動(dòng)勢(shì)一樣，旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，M和T是兩個(gè)通以直流而相互垂直的靜止繞組。如果控制磁通的位置在M軸上，就和直流電機(jī)物理模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組M相當(dāng)于勵(lì)磁繞組，T相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。2.2坐標(biāo)變換等效的概念以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為準(zhǔn)則，三相交流繞組、兩相交流繞組和整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f，在三相坐標(biāo)系下的iA、iB

、iC，在兩相坐標(biāo)系下的i

、i

和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流im、it

是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。

現(xiàn)在的問題是，如何求出iA、iB

、iC

與i

、i

和im、it之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的任務(wù)。注意:在這里，不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。2.2坐標(biāo)變換二.三相--兩相變換（3/2變換）在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組

、

之間的變換，或稱三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡(jiǎn)稱

3/2變換。在A、B、C

和

、

兩個(gè)坐標(biāo)系，為方便起見，取A軸和

軸重合。設(shè)三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動(dòng)勢(shì)為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關(guān)相的坐標(biāo)軸上。由于交流磁動(dòng)勢(shì)的大小隨時(shí)間在變化著，圖中磁動(dòng)勢(shì)矢量的長(zhǎng)度是隨意的。AN2i

N3iA

N3iCN3iBN2iβ60o60oCB2.2坐標(biāo)變換

設(shè)磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在

、

軸上的投影都應(yīng)相等，矩陣形式當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，并考慮變換前后總功率不變，得2.2坐標(biāo)變換三相—兩相坐標(biāo)系的變換矩陣

如果三相繞組是Y形聯(lián)結(jié)不帶零線，則有iA+iB+iC=0，或iC=

iA

iB

。代入式（3-38）并整理后得2.2坐標(biāo)變換考慮i0三相—兩相坐標(biāo)系的變換矩陣2.2坐標(biāo)變換三、

兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d、q變換稱作兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱2s/2r變換。其中s表示靜止，r表示旋轉(zhuǎn)。

dqiαφθ1φjcosdiβiqisiidω1jsindi兩個(gè)坐標(biāo)系圖2.2坐標(biāo)變換

兩相交流電流i

、i

和兩個(gè)直流電流id、iq

產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速

1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì)Fs

。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動(dòng)勢(shì)中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如Fs

可以直接標(biāo)成is

。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時(shí)間相量。

M，T軸和矢量Fs（is）都以轉(zhuǎn)速

1旋轉(zhuǎn)，分量id、iq

的長(zhǎng)短不變，相當(dāng)于d，q繞組的直流磁動(dòng)勢(shì)。但、軸是靜止的，

軸與d軸的夾角

隨時(shí)間而變化，因此is在、軸上的分量的長(zhǎng)短也隨時(shí)間變化，相當(dāng)于繞組交流磁動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。2.2坐標(biāo)變換i

、i

和id、iq

之間存在下列關(guān)系矩陣形式兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣。2.2坐標(biāo)變換逆變換-----兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣。2.2坐標(biāo)變換三相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣C3s/2r為（即Park變換）

兩相靜止坐標(biāo)系到三相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣C2s/3s為：

三相靜止—兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）2.2坐標(biāo)變換四、

空間矢量交流電動(dòng)機(jī)繞組的電壓、電流、磁鏈等物理量都是隨時(shí)間變化的，如果再考慮到它們所在繞組的空間位置，如圖所示，可以定義為空間矢量uA0，uB0，uC0

。定子電壓空間矢量：uA0

、uB0

、uC0

的方向始終處于各相繞組的軸線上，而大小則隨時(shí)間按正弦規(guī)律脈動(dòng)，時(shí)間相位互相錯(cuò)開的角度也是120°。合成空間矢量：由三相定子電壓空間矢量相加合成的空間矢量us是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的空間矢量，它的幅值是每相電壓值的3/2倍。空間矢量的定義2.2坐標(biāo)變換合成空間矢量

us

如果uAO、uBO、uCO是角頻率為

1的三相對(duì)稱正弦波電壓，那么電壓矢量uS就是以角頻率

1按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)的空間矢量。而空間矢量uS在三相坐標(biāo)軸（A，B，C）上的投影就是對(duì)稱的三相正弦量。三相電壓經(jīng)過空間矢量合成后等效為一個(gè)空間矢量的概念，實(shí)質(zhì)上就是一種由三相信號(hào)到兩相信號(hào)的變換。2.2坐標(biāo)變換電壓空間矢量的計(jì)算三相電壓計(jì)算：前述電壓空間矢量定義中采用了2/3系數(shù)，實(shí)際上就是考慮到使得變換后的矢量長(zhǎng)度變?yōu)?，即所謂的等幅值變換。2.2坐標(biāo)變換磁鏈軌跡與電壓空間矢量運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系圖旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)與電壓空間矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡

如圖所示，當(dāng)磁鏈?zhǔn)噶吭诳臻g旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，電壓矢量也連續(xù)地按磁鏈圓的切線方向運(yùn)動(dòng)2

弧度，其軌跡與磁鏈圓重合。這樣，電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的軌跡問題就可轉(zhuǎn)化為電壓空間矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡問題。

2.3瞬時(shí)功率理論一、Akagi瞬時(shí)無功功率理論從abc到

0坐標(biāo)系電壓和電流變換引入瞬時(shí)有功功率p和瞬時(shí)無功功率q：2.3瞬時(shí)功率理論二、瞬時(shí)有功電流ip和瞬時(shí)無功電流iq瞬時(shí)有功電流和瞬時(shí)無功電流分別為矢量i在矢量u及其法線上的投影，即：2.3瞬時(shí)功率理論2.3