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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省眉山市仁壽縣三校聯(lián)考高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(1?i)2的虛部為(
)A.?2 B.2 C.?2i D.2i2.已知向量a=(2m,1),b=(1,?3),若a⊥bA.?23 B.23 C.33.甲、乙兩位同學(xué)去參加某高??蒲许椖棵嬖?已知他們通過面試的概率都是45,且兩人的面試結(jié)果相互之間沒有影響,則甲、乙兩人中僅有一人通過面試的概率為(
)A.425 B.45 C.24254.已知A,B,C,D四點在平面α內(nèi),且任意三點都不共線,點P在α外,且滿足AP+BP?3CP+zA.0 B.1 C.2 D.35.在△ABC中,點E為△ABC的重心,則EC=(
)A.13AB?23AC B.?6.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列判斷錯誤的是(
)A.若m?α,n?α,m?n=A,m//β,n/?/β,則α/?/β
B.若m⊥α,n/?/α,則m⊥n
C.若m/?/α,n?α,則m/?/n
D.若α⊥β,α?β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β7.如圖,平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=2,AD=A.26
B.25
C.8.一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球,已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是25;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是79,則紅球的個數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題:本題共4小題,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.下列命題為真命題的是(
)A.若z1,z2為共扼復(fù)數(shù),則z1?z2為實數(shù)
B.若i為虛數(shù)單位,n為正整數(shù),則i4n+3=i
C.復(fù)數(shù)?2?i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限
D.10.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,A表示事件“兩次擲的點數(shù)之和是4”,B表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”,C表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”,則(
)A.A與C?互斥 B.P(D)=34 C.P(BD)=14 11.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則(
)A.ω=2
B.φ=π6
C.f(x)在[4π3,5π312.已知在等邊△ABC中,AB=2,D為AC的中點,E為BD的中點,延長CE交AB于點F,則(
)A.AE=12AB+14AC 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本,其中高二年級有學(xué)生600人,抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是______人.14.已知平面向量e1,e2不共線,且AB=2e1+ke2,CB=3e15.四種電子元件組成的電路如圖所示,T1,T2,T3,T4電子元件正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7,0.6,則該電路正常工作的概率為______.
16.在如圖所示的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,四、解答題:本題共6小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)
目前用外賣網(wǎng)點餐的人越來越多,現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進行隨機調(diào)查,并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時間的范圍是[0,120],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120].
(1)求頻率分布直方圖中x的值.
(2)利用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表)18.(本小題12分)
一枚質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,將該正四面體連續(xù)拋擲2次,記錄每一次底面的數(shù)字.
(1)求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率;
(2)兩次數(shù)字之和為多少的事件概率最大?并求此事件的概率.19.(本小題12分)
如圖所示,四面體O?ABC中,G,H分別是△ABC,ΔOBC的重心,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,點D,M,N分別為BC,AB,OB的中點.
(1)試用向量a,b,c表示向量MN,OG;
(2)試用空間向量的方法證明M、N20.(本小題12分)
甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強大腦”比賽,每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞,已知甲每輪猜對的概率為23,乙每輪猜對的概率為34.在每輪比賽中,甲和乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率;
21.(本小題12分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,側(cè)面PAB是邊長為1的等邊三角形,底面ABCD是正方形,M是側(cè)棱PB上的點,N是底面對角線AC上的點,且PM=2MB,AN=2NC.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求證:MN/?/平面PAD;
(3)求點N到平面PAD的距離.22.(本小題12分)
已知向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,3sinx),函數(shù)f(x)=2m?n?3.
(1)求f(x)的最小正周期T答案解析1.A
【解析】解:因為復(fù)數(shù)(1?i)2=1?2i+i2=?2i.
所以復(fù)數(shù)的虛部為:?22.C
【解析】解:a=(2m,1),b=(1,?3),a⊥b,
則2m?3=0,解得m=33.D
【解析】解:甲、乙兩人中僅有一人通過面試的情況為:“甲通過乙不通過,甲不通過乙通過”,
設(shè)“甲、乙兩人中僅有一人通過面試“的事件為A,
則P(A)=45×15×2=4.B
【解析】解:因為A,B,C,D四點在平面α內(nèi),點P在α外,
由空間向量的共面定理可知,存在實數(shù)x,y,m,使得PA=xPB+yPC+mPD且x+y+m=1,
因為AP+BP?3CP+zDP=05.B
【解析】解:如圖,延長CE,交AB與點D,
因為點E為△ABC的重心,
所以D為AB的中點,
所以EC=?23CD=?23[12(CA+6.C
【解析】解:對于A,若m?α,n?α,m?n=A,m//β,n/?/β,則由面面平行的判定定理可得α/?/β,故A正確;
對于B,若m⊥α,n/?/α,則由線面垂直的性質(zhì)定理可得m⊥n,故B正確;
對于C,若m/?/α,n?α,則m/?/n或m與n異面,故C錯誤;
對于D,若α⊥β,α?β=m,n?α,m⊥n,則由面面垂直的性質(zhì)定理可得n⊥β,故D正確.
故選:C.
7.B
【解析】解:由AC1=AC+CC1,可得|AC1|2=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC?CC1+8.A
【解析】解:由題意可知:袋中黑球的個數(shù)為25×10=4,
設(shè)紅球個數(shù)為x,
從袋中任意摸出2個球,沒有白球的概率為4+x10×3+x9=(4+x)(3+x)90,
因為至少得到1個白球的概率是79,則1?(4+x)(3+x)909.AC
【解析】解:設(shè)z1=a+bi(a,b∈R),則z1=a?bi,故z1?z2=(a+bi)(a?bi)=a2+b2,故A正確;
因為i4n+3=i4n×i3=1×(?i)=?i,故B錯誤;
因為復(fù)數(shù)?2?i10.BCD
【解析】解:A選項,兩次投擲的點數(shù)不同,仍有可能點數(shù)之和為4,
于是A與C?,可以同時發(fā)生,并不互斥,A選項錯誤;
兩次都不出現(xiàn)奇數(shù)點的事件記為D,依題意P(D?)=(12)2=14,
于是P(D)=1?P(D)=34,B選項正確;
C選項,當(dāng)?shù)谝淮瓮冻銎鏀?shù)點,第二次投出偶數(shù)點,那么事件B,D同時發(fā)生了,
故P(BD)=3×36×6=14,C選項正確;
D選項,第二次擲出的點數(shù)為偶數(shù),有P(B)=12,11.ABD
【解析】解:由圖可知T=2(11π12?5π12)=π,則ω=2ππ=2,故A正確;
因為f(5π12)=2cos(2×5π12+φ)+1=?1,
所以5π6+φ=2kπ+π(k∈Z),即φ=2kπ+π6(k∈Z),
因為0<φ<π,所以φ=π6,則B正確;
令2kπ?π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z),解得kπ?7π12≤x≤kπ?π12(k∈Z),此時f(x)單調(diào)遞增;
令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ?π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),此時f(x)單調(diào)遞減.
由x∈[4π3,5π3]12.AB
【解析】解:如圖,
對于A,因為E為BD的中點,所以AE=12AB+12AD=12AB+14AC,故A正確;
對于B,設(shè)AB=kAF,由A可得:AE=k2AF+14AC,
又E,F(xiàn),C三點在一條直線上,故k2+14=1,故k=32,
即AF=23AB,13.1800
【解析】解:設(shè)該校高中學(xué)生總?cè)藬?shù)為x,則x45=60015,
解得x=1800,所以該校高中學(xué)生總數(shù)為1800人.
14.1
【解析】解:∵A,B,D三點共線,
∴AB與BD共線,設(shè)AB=λBD,
∵CB=3e1+2ke2,CD=e1+e2,
15.0.8784
【解析】解:該電路正常工作即T1正常工作,T2,T3,T4至少一個正常工作,
所以該電路正常工作的概率為0.9×(1?0.2×0.3×0.4)=0.8784.
16.3【解析】解:設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,
則{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底,
設(shè)AB=1,
因為BD⊥AN,
所以BD?AN=0,
因為BD=AD?17.解:(1)由頻率分布直方圖可得,(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)×20=1,
解得x=0.014;
(2)由頻率分布直方圖可得,平均數(shù)為:
0.002×20×10+0.004×20×30+0.014×20×50+0.02×20×70+0.008×20×90+0.002×20×110=63.6.
【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程,求解即可;
(2)利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方法計算即可.
18.解:(1)由題意,2次所得數(shù)字(a,b),且a,b分別表示第一次、第二次的對應(yīng)數(shù)字,
基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),共16種;
其中兩次數(shù)字之和為7的事件有(3,4),(4,3),共2種;
所以兩次數(shù)字之和為7的事件的概率為18.
(2)由(1),數(shù)字之和為X=2,3,4,5,6,7,8,
X=2有(1,1),概率為116;
X=3有(1,2),(2,1),概率為18;
X=4有(1,3),(3,1),(2,2),概率為316;
X=5有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),概率為14;
X=6有(2,4),(4,2),(3,3),概率為316;
X=7有(3,4),(4,3),概率為18;
X=8有(4,4),概率為116【解析】(1)列舉法求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率;
(2)列舉出數(shù)字之和為X=2,3,4,5,6,7,8的對應(yīng)事件并確定概率,即可得答案.
19.解:(1)在△OBC中,M,N分別AB,OB的中點,
∴MN/?/OA,且|MN|=12|OA|,
又OA=a,∴MN=?12a,
在△ABC中,G是△ABC的中心,D是BC的中點,
由平行四邊形法則可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),
∵OA=a,OB=b,OC=c,
∴AB=OB?OA=b?a,AC=OC?OA=c?a,
又OG=OA+AG=a+13(b?【解析】(1)根據(jù)題意可得MN/?/OA,且|MN|=12|OA|,在△ABC中,G是△ABC的中心,D是BC的中點,由平行四邊形法則可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),又OG20.解:(1)因為甲每輪猜對的概率為23,
所以甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率P=1?(1?23)2=89;
(2)“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞,包括兩輪比賽中甲猜對2個,乙猜對一個,和甲猜對1【解析】(1)利用獨立事件的概率乘法公式,結(jié)合對立事件的概率關(guān)系求解;
(2)利用獨立事件的概率乘法公式,結(jié)合互斥事件的概率加法公式求解.
21.解:(1)證明:因為側(cè)面PAB⊥底面ABCD,且側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB,
AD⊥AB,AD?面ABCD,
所以AD⊥面PAB,
因為PB?面PAB,
所以AD⊥PB.
(2)證明:過M作MS//BA交PA于點S,過點N作NT//CD交AD于點T,連接ST,
因為PM=2MB,
所以MS=23BA,
同理可得NT=23CD=23BA,
所以MS//NT,MS=NT,
所以四邊形MNTS是平行四邊形,
所以MN/?/ST,
又ST?面PAD,MN?面P
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