函數(shù)的單調(diào)性與最值課件（1） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1函數(shù)單調(diào)性與最大（?。┲担?1)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

那么，我們要怎樣來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的這些性質(zhì)呢？其實(shí)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.因此，我們不妨先畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察和分析圖象，來(lái)得到它們的一些直觀性質(zhì).

函數(shù)f(x)的圖象在某段區(qū)間內(nèi)是下降的,在某些區(qū)間內(nèi)是上升的以及對(duì)稱性.

函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述？——單調(diào)性觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)（變化中的不變性或規(guī)律性）？畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

1.從左至右圖象上升還是下降____? 2.在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升在初中，我們利用函數(shù)圖象研究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)，這一性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性.下面進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)這種性質(zhì)1.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．2.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大減小?畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

用符號(hào)語(yǔ)言描述，就是：

一、函數(shù)單調(diào)性定義

1．增（減）函數(shù)

（自變量x與函數(shù)值f(x)變化趨勢(shì)相同單調(diào)遞增，相反則單調(diào)遞減）

函數(shù)單調(diào)性的定義：

如果y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性為局部性質(zhì)例1.下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個(gè)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].區(qū)間端點(diǎn)問(wèn)題注意：（多個(gè)單調(diào)區(qū)間用“和”或者“逗號(hào)”隔開(kāi)）例2.證明：函數(shù)在上是增函數(shù).證明：在區(qū)間上任取兩個(gè)值且

，且所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).取值化簡(jiǎn)作差判號(hào)定論三、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（因式分解通分和配方等）乘積或商式；④定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論：（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)的單調(diào)性

(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，

所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3

根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f(x)在區(qū)間(－∞，－1]，[0，1)上單調(diào)遞增，

在區(qū)間(－1，0)，[1，＋∞)上單調(diào)遞減．反思領(lǐng)悟

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解．(2)利用函數(shù)的圖象，如本列（3）【利用單調(diào)性解不等式】例4已知函數(shù)y＝f(x)在定義域(－1，1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（練習(xí)冊(cè)73頁(yè)）

練習(xí)若f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集

是________

總結(jié)：先在定義域內(nèi)再滿足單調(diào)性【已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍】

ABC

總結(jié)：分段函數(shù)單調(diào)：各段單調(diào)且分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小關(guān)系復(fù)合單調(diào)性