湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院大一理學(xué)專業(yè)微積分期末試卷及答案

湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院微積分（下）試卷

一、選擇題

1./,=J；exdx與八=J；e*公相比,有一

2

A.I1<I2B./,>I2C.I{=I2D./,=12

2.z=sinx?則邑=

②一

A.cosx~yB.cosxycosxyxsinxy

3.交換二次積分￡dyj；/(x,y)公的積分次序?yàn)椤?/p>

A.￡dxj；'/(x,y)dyB.1dxj：/(尤,y)dy

C.［：dx『'/(x'y)dyD.^dx^f{x,y)dy

4.微分方程y，+Mx)y=q(x)的兩個(gè)特解丹(總當(dāng)⑴，則該方程的通解可表示為

A.C}yt+C2y2B.j2+C(y2+y,)

c.必+。(％-y)D.Gy+GO2-必)

811

limun=+8,則級(jí)數(shù)￡(-------)___

…，IU,W?+1

A.收斂于0B.發(fā)散C.收斂于‘

U1

二、填空題

G(x)=fsintdt,貝ijG'(x)=__________________

JO

f(xy,x+y)=xy+x2+y2,則f(x,y)=

2

3.設(shè)D:-1-y2?1,貝UJJdxdy—____________________

4D

4.微分方程+=滿足初始條件乂0=1的特解為

E/=收斂域?yàn)開_______________

n=0J"+1

三、計(jì)算題

1.求積分Jo'Jl-X2.

2.求積分J。e~xsinxdx

3.求二重積分JJJx2+y2港,其中￡）：f+y2<2x.

Y

4.設(shè)z=lntan—,求j

y

5.設(shè)函數(shù)2=2*2+2卜2+3孫+以+力+<；在點(diǎn)(-2,3)取得極值3,求常數(shù)a,"c之

積而c,并判定該極值是極大還是極小。

6.設(shè)z=(l+xy)v,求全微分dz

7.設(shè)X+Z=H＞，—z2),其中f具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求z?+y(

dxoy

8.求微分方程歹=?(l+lny-lnx)的通解。

9.求微分方程y"+9y=x-4的通解。

10-判別級(jí)數(shù)雪曾是否收斂，假設(shè)收斂說明是條件收斂還是絕對(duì)收斂。

11.將函數(shù)/'(x)=ln，+3x+2)展開成(x-l)的幕級(jí)數(shù)。

四、應(yīng)用與證明題

1.求曲線/+(>-5-=16繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2.設(shè)對(duì)一切自然數(shù)〃均有句證明:假設(shè)￡c“收斂,則￡么收斂。

M=1"=1/1=1

大學(xué)專業(yè)考試試卷

微積分（下）答案

一、選擇題

1.B2.B3.A4.C5.C

二、填空題

1.3x2sinx32.y2-x3.2%4.e~y=1+1--1|x5.［-1,1)

三、計(jì)算題

1.求積分J(產(chǎn)2-元2dx

解：令％=sinf,貝ij〃=cosbfr,當(dāng)x=0口寸，=0,當(dāng)x=l時(shí)，=一，于是

2

^x2\l}-x2dx=￡2(sint)2|cost\costdt=jj(sinr)2(cosr)2t/r=-|J(l-cos4fM/

iri一下兀

8L4Jo16

2.求積分J()e~xsinxdx

解：先計(jì)算￡e~xsinxdx：

rb_rb_「—-tbrb_

e~AsinA^Zr=-e~xdcosx=-\e~xcosx-e~xcosxdx

JoJoLJoJo

=~\f~xcosx］：-￡e~xdsinx=-cosx］：-^e~xsinx］：-￡e~xsinxdx

于是￡e~xsinxdx=g(1一e~bcosb一e~hsinb)

所以fe~xsinxdx=lim［e~xsinxdx=—

JOb->+ooJO2

3.求二重積分JJ+y2公辦,其中￡)：Y+y2<2x.

D

解：

JJV%2+y2dxdy=JJr-rdrdO=J弓d。［："r2dr=-cos30d0=—jjcos30d0=—

0

DD冷~2~i3。9

v

4.設(shè)z=Intan—,求z

y

大學(xué)專業(yè)考試試卷

12x122x

-----sec"—=—CSC—

x

tan—yyyy

y

22x4x2x2x

z=——7CSC—+—CSC—cot—

yyyyy

5.設(shè)函數(shù)2=2工2+2丁2+39+儀+制+(?在點(diǎn)(_2,3)取得極值3,求常數(shù)a,b,。之

積Me,并判定該極值是極大還是極小。

4=4x+3y+。

解：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，可得

zv=4y+3x+/?

由于函數(shù)z=2f+2/+3盯+0￥+勿+。在點(diǎn)(一2,3)取得極值3,因此有

4x(-2)+3x3+a=0

<4x3+3x(-2)+〃=0

2X(-2)2+2X32+3X(-2)X3+^ZX(-2)+Z?X3+C=3

解得a=—1,b=—6,c=11,從而abc=66.

A=zK—2,3)=4,3=ZxV(—2,3)=3,C=z?(—2,3)=4,于是AC—5?=7>0,又

A=4>0,因此函數(shù)2=2/+2/+3盯+辦+外+。在點(diǎn)(_2,3)取得極小值3。

6.設(shè)z=(l+xy)v,求全微分dz

分7

解：—=y(l+xy)y~l-y=y2(1+xy)y~';

ox

將z=(l+孫尸兩邊取對(duì)數(shù)得：lnz=yln(l+M,對(duì)y求偏導(dǎo)可得：

1azi八、xydz八、，八、xy

----=ln(l+xy)+——,即An一=(1+盯)ln(l+盯)+―--.

zdy------------l+xydy[_14-xy

于是dz=%~dx+^dy=y2(1+xy)3-1+(1+xy)yln(l+Ay)+"\dy

dxdy|_1+xyJ

7.設(shè)X+Z=W(X2—Z2),其中/具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求z包+>當(dāng)

dxdy

解：

ap(x,y,z)=x+z-W(x2-z2),則G=l—2xW'，G=-/，理=l+2ygf',

大學(xué)專業(yè)考試試卷

于是空=_&=_>2/&=4=f

dxF:1+2何',&y~F:~\+2yzf'

dzdz

從而z-----by一=z?

dxdy1+2何Myzf'1+2何’

8.求微分方程V=2(1+Iny-Inx)的通解。

解：令？=〃，則y'=〃+x@，原方程可化為

xdx

u+x—=u(\+\nu),即e-=生，兩端積分得：

dx?Inwx

ln|lnw|=ln|jc|+ln|C|?即ln"=Cr,因此原方程的通解為ln?=Cx.

9.求微分方程y"+9V=x-4的通解。

解：先解對(duì)應(yīng)的齊次方程丁"+9曠=0。特征方程為一+9r=0,特征根為彳=0,

4=-9。齊次方程的通解為y=G+C2"”。

再求非齊次方程的一個(gè)特解。設(shè)特解為尸=雙奴+與，將其代入原方程求得

I37137

a=—,b=--.因此特解為y*=x(-!-x—衛(wèi))。

18811881

137

所以原方程的通解為y=G+Ge&+

10.判別級(jí)數(shù)￡您經(jīng)是否收斂，假設(shè)收斂說明是條件收斂還是絕對(duì)收斂。

?=i〃+1

解：￡竺竺=￡4為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足

?=1〃+1?=|〃+1

⑴=(〃=1,2,…)；

〃+1幾+2

⑵limu=lim——=0

〃一>8n8〃+]

因此級(jí)數(shù)￡竺絲收斂。

占〃+i

再考慮級(jí)數(shù)￡吧絲=￡4=￡此正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。

〃=1〃+1"=]〃+1〃=]

因此級(jí)數(shù)￡理竺收斂，且為條件收斂的級(jí)數(shù)。

a"+i

大學(xué)專業(yè)考試試卷

11.將函數(shù)/(x)=ln(x2+3x+2)展開成(x—1)的幕級(jí)數(shù)。

解：

/(%)=ln(x2+3x+2)=ln(x+l)+ln(x+2)=ln[2+(x—l)]+ln[3+(x-l)]

=In2+In(1++In3+In(1+

其中l(wèi)nIjl+土』2)=之(—1)"In」+J1—=Sf'(—"1)("+(l1)2")+i,xe(-1,3]；

8(it

In1+?=：￡(-1)"

=E(-irxG(—2,4]o

(n+l)3),+l

\5)n=0n=0

所以

―+3—+*D"深＞?D"嘉若

=m6+￡*[擊+擊卜T)""’——I,”

四、應(yīng)用與證明題

I.求曲線產(chǎn)+(>-5『=16繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：匕=