專題01 數(shù)與式的運算（學生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義

專題01數(shù)與式的運算【知識點梳理】知識點1：絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．知識點2：乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三數(shù)和平方公式；(4)兩數(shù)和立方公式；(5)兩數(shù)差立方公式．知識點3：二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．(1)分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化．為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式．(2)二次根式的意義知識點4：分式(1)分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．(2)繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【題型歸納目錄】題型一：絕對值題型二：乘法公式題型三：二次根式題型四：分式【典例例題】題型一：絕對值例1．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市中實學校?？计谥?如果，那么_______例2．(2023·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期中)若，則___________．例3．(2023·上海靜安·六年級上海市回民中學?？计谥?比較大?。篲__________．變式1．(2023·天津東麗·八年級校聯(lián)考期中)已知實數(shù)、滿足，則的值為______．變式2．(2023·四川南充·七年級四川省南充高級中學?？茧A段練習)已知：實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：_____．變式3．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學校?？计谥?已知在數(shù)軸上A、B兩點分別表示的數(shù)是a和b，，，，點Р在數(shù)軸上且與點A、點B的距離相等，則點Р表示的數(shù)是_________．題型二：乘法公式例4．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模)下列運算正確的是(

)A． B． C． D．例5．(2023·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試)多項式A與的乘積含有項，那么A可能是(

)A． B． C． D．例6．(2023·北京西城·八年級北京市第一六一中學?？奸_學考試)下列因式分解結(jié)果正確的是(

)A． B．C． D．變式4．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模)、為正整數(shù)，，則的值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5變式5．(2023·四川內(nèi)江·威遠中學校?？级?下列運算正確的是(

)A． B．C． D．變式6．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模)下列運算正確的是(

)A． B． C． D．變式7．(2023·山東東營·統(tǒng)考二模)下列運算結(jié)果正確的是()A． B．C． D．題型三：二次根式例7．(2023·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中)計算：(1)；(2)．例8．(2023·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試)先化簡，再求值：，其中．例9．(2023·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學校考開學考試)計算：變式8．(2023·全國·九年級專題練習)先化簡，再求值：，其中變式9．(2023·北京·八年級統(tǒng)考期中)計算：．變式10．(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學?？寄M預測)先化簡，再求值，其中變式11．(2023·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期中)一個三角形的三邊長分別為，，．(1)求它的周長(用含的式子表示)；(2)請你給一個適當?shù)闹?，使該三角形的周長為整數(shù)，并利用海倫公式求出此三角形的面積．(海倫公式：，其中，，分別是三角形的三邊長，記)題型四：分式例10．(2023·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學?？计谥?分式與的最簡公分母是______．例11．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)化簡：________．例12．(2023·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_________________．變式12．(2023·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達中學校?？计谥?已知，則______．變式13．(2023·廣東佛山·校聯(lián)考二模)若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是________．變式14．(2023·河北滄州·統(tǒng)考二模)已知，求下列各式的值．(1)_____________；(2)___________．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)數(shù)1，0，，中最小的是(

)A． B．0 C． D．12．(2023·北京海淀·七年級101中學?？奸_學考試)下列代數(shù)式中中，單項式()A．1個 B．2 C．3個 D．4個3．(2023·八年級單元測試)直線l：(m、n為常數(shù))的圖象如圖，化簡：得()

A． B．5 C．-1 D．4．(2023·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中)下列計算正確的有(

)A． B． C． D．5．(2023·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中)下列二次根式中，最簡二次根式是(

)A． B． C． D．6．(2023·陜西西安·?？既?在下列計算中，正確的是()A． B．C． D．7．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市中實學校?？计谥?有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)有(

)①；②；③；④；⑤

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于(

)A．4 B．5 C．6 D．79．(2023·陜西榆林·校考模擬預測)若實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A． B． C． D．10．(2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測)同學們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲．將，2，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，則的值為(

)

A．1或 B．或 C．或 D．1或二、填空題11．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)分解因式：_________________．12．(2023·廣西南寧·?？级?若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍________．13．(2023·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學校考期中)化簡：______．14．(2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模)分解因式：_____________．15．(2023·陜西榆林·七年級綏德中學?？茧A段練習)課堂上老師布置了四道運算題目，小剛做的結(jié)果為：①；②；③；④，他做對的有______．(填序號)三、解答題16．(2023·浙江溫州·?？级?(1)計算：．(2)解不等式組，并把解表示在數(shù)軸上．

17．(2023·浙江·校聯(lián)考三模)化簡與計算：(1)化簡：；(2)計算：．18．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模)計算：．19．(2023·河北滄州·校考模擬預測)如圖，數(shù)軸上點O為原點，點A，B，C表示的數(shù)分別是，，．

(1)______(用含m的代數(shù)式表示)；(2)求當與的差不小于時m的最小值．20．(2023·河南南陽·統(tǒng)考三模)化簡求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．21．(2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中)先化簡，再求值：，其中a滿足．22．(2023·上海靜安·六年級上海市回民中學校考期中)若方程的解是關(guān)于的方程的解，求的值．23．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學校?？计谥?如圖，數(shù)軸上點A、B分別在原點左側(cè)和右側(cè)，點C在點B右側(cè)，點C對應的數(shù)是點B對應的數(shù)m倍，點A到點B的距離是點B到點C距離的n倍，且．(1)求m和n的值；(2)若點B在數(shù)軸上對應的數(shù)是2，若P從A點出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長的速度向點右運動，同時點Q從B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位長的速度與Р點同向運動，求點Р運動時間為多少秒時點Р和點