第04講 有理數(shù)的加法-人教版新七年級《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（解析版）

第第頁第04講有理數(shù)的加法（2個知識點(diǎn)+5個考點(diǎn)+易錯分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.掌握有理數(shù)加法的運(yùn)算法則,能熟練進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算,體會分類和歸納的思想方法，2.理解并靈活運(yùn)用有理數(shù)的加法運(yùn)算律簡化運(yùn)算3.在利用有理數(shù)的加法解決實(shí)際問題的過程中,提高分析問題和解決問題的能力知識點(diǎn)1.有理數(shù)的加法法則（重點(diǎn)）①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）【例1】下列說法中正確的是（

）A．兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)B．異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)C．絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零D．兩數(shù)相加，取較小一個加數(shù)的符號作為結(jié)果的符號【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法分別分析各個選項，然后得出結(jié)論即可．【詳解】解：A選項，兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)，說法錯誤，例如：兩個負(fù)數(shù)相加，故不符合題意；B選項，異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)，說法錯誤，如果和為正數(shù)，就不滿足題干要求，故不符合題意；C選項，絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零，說法正確，故符合題意；D選項，兩數(shù)相加，取絕對值較大一個加數(shù)的符號作為結(jié)果的符號，原說法錯誤，故不符合題意；故選：C．方法總結(jié)：本題主要考查有理數(shù)加法的知識，熟練掌握有理數(shù)加法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】若兩個有理數(shù)的和等于零，則這兩個有理數(shù)必定（）A．相等 B．都是零C．互為相反數(shù) D．有一個數(shù)是零【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則解答即可．【詳解】解：兩個有理數(shù)之和等于零，那么這兩個有理數(shù)一定互為相反數(shù)，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法，相反數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】兩數(shù)相加，其和小于每個加數(shù)，那么這兩個數(shù)一定是（

）A．同號且為正 B．互為相反數(shù) C．異號 D．同號且為負(fù)【答案】D【分析】通過舉例說明每一選項正確或錯誤．【詳解】解：A、同號且為正，例如：5+3=8>3，故不符合題意；B、互為相反數(shù)相加得0，故不符合題意；C、例如：8+(?2)=6<8，故不符合題意；D、如：?2+(?5)=?7<?2，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法、相反數(shù)，掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則，符號的確定是解題關(guān)鍵．【例2】計算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)；(4)(－89)＋0.解析：利用有理數(shù)加法法則，首先判斷這兩個數(shù)是同號兩數(shù)、異號兩數(shù)還是同0相加，然后根據(jù)相應(yīng)法則來確定和的符號和絕對值．解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))＝1eq\f(1,3)；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)＝0；(4)(－89)＋0＝－89.方法總結(jié)：兩數(shù)相加時，應(yīng)先判斷兩數(shù)的類型，然后根據(jù)所對應(yīng)的法則來確定和的符號與絕對值．【變式2-1】下列各式計算正確的是（）A．?3+?3=0C．?10++7=+17【答案】B【分析】按照有理數(shù)加法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：A．?3+B．0+?5C．?10+D．?3+故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加法法則：1．同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；3．一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)．掌握理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】計算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案與解析】(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【例3】已知|a|＝5，b的相反數(shù)為4，則a＋b＝________．解析：因為|a|＝5，所以a＝－5或5，因為b的相反數(shù)為4，所以b＝－4，則a＋b＝－9或1.解：－9或1方法總結(jié)：本題涉及絕對值和相反數(shù)的定義，在解決絕對值問題時要注意考慮全面，避免造成漏解．【變式3-1】若一個數(shù)的絕對值等于2，另一個數(shù)是?1的相反數(shù)，則這兩個數(shù)的和是（

）A．3 B．?1 C．3或?1 D．±3或±1【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的意義，相反數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：∵一個數(shù)的絕對值等于2，另一個數(shù)是?1的相反數(shù)，∴這兩個數(shù)分別為2和1，或?2和1∴2+1=3，∴則這兩個數(shù)的和是3或?1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，相反數(shù)的定義，有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式3?2】a=5，b=3，且a<b【答案】?2或?8/?8或?2【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可求出a,b的值，再根據(jù)a<b確定a,b的值，由此即可求解．【詳解】解：∵a=5，b∴a=±5，b=±3，∵a<b，∴a=?5，b=±3，∴a+b=?5+3=?2或a+b=?5+(?3)=?8，故答案為：?2或?8．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值的知識，掌握絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律（難點(diǎn)）交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．【例4】運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律計算：（1）3+(?10)+7=3________7________(?10)=_________；（2）(?6)+12+(?3)+(?5)=[(?6)_______(?3)_______(?5)]_______12=_______．【答案】++0+++-2【分析】（1）可以先把正數(shù)結(jié)合在一起，然后再利用有理數(shù)的加法法則計算即可解決本題；（2）可以先把負(fù)數(shù)結(jié)合在一起，然后再利用有理數(shù)的加法法則計算即可解決本題．【詳解】解：根據(jù)加法交換律和結(jié)合律（1）3+(?10)+7=3+7+(?10)=0；（2）(?6)+12+(?3)+(?5)=[(?6)+(?3)+(?5)]+12=?2故答案為：（1）+、+、0；（2）+、+、+、-2．方法總結(jié)：本題主要考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算規(guī)律，熟記有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】利用加法的交換律和結(jié)合律，將＋327＋15－517－3【答案】+3【分析】運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律改變運(yùn)算順序可以使運(yùn)算簡便.【詳解】＋327＋15－517=＋327－317－5=+3故答案為+32【點(diǎn)睛】本題考查了加法的運(yùn)算定律，熟練記住加法交換律和結(jié)合律可以簡便計算.【變式4-2】在()里寫出每一步變形過程的依據(jù)．(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2)＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______)＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)](________)＝(－19)＋(＋21)(________)＝2．(________)【答案】將減法統(tǒng)一為加法

加法的交換律、結(jié)合律

有理數(shù)加法法則

有理數(shù)加法法則【分析】根據(jù)題意利用加法的交換律、結(jié)合律以及有理數(shù)加法法則進(jìn)行分析即可．【詳解】解：(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2)＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(將減法統(tǒng)一為加法)＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)](加法的交換律、結(jié)合律)＝(－19)＋(＋21)(有理數(shù)加法法則)＝2．(有理數(shù)加法法則)故答案為：將減法統(tǒng)一為加法；加法的交換律、結(jié)合律；有理數(shù)加法法則；有理數(shù)加法法則．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律、結(jié)合律以及有理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵．【例5】計算：(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))．解析：(1)把互為相反數(shù)的兩數(shù)相加；(2)可把符號相同的數(shù)相加；(3)可把相加得到整數(shù)的數(shù)相加．解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))＝(6eq\f(3,5)＋4eq\f(2,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(2eq\f(2,3))＝11＋(－3)＝8.方法總結(jié)：合理地運(yùn)用有理數(shù)的加法運(yùn)算律可使計算簡化．在進(jìn)行多個有理數(shù)相加時，在下列情況下一般可以用加法交換律和加法結(jié)合律簡化運(yùn)算：①有些加數(shù)相加后可以得到整數(shù)時，可以先行相加；②有互為相反數(shù)的兩數(shù)可以互相消去，和為0，可以先行相加；③有許多正數(shù)和負(fù)數(shù)相加時，可以先把符號相同的數(shù)相加，即正數(shù)和正數(shù)相加，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)相加，再把一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)相加．【變式5-1】計算63A．－3 B．3 C．－5 D．5【答案】C【分析】利用加法的運(yùn)算律計算即可．【詳解】原式=63故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】計算：(1)?3+12+?17+【答案】(1)0，(2)1【分析】（1）原式運(yùn)用加法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行計算即可得到答案；（2）原式先將?2.75化為?23【詳解】（1）?3=?3?17=?=?20+20=0；（2）2=2=2=0=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加法的計算方法是解題的關(guān)鍵．易錯點(diǎn)：拆分帶分?jǐn)?shù)時出現(xiàn)符號錯誤【例6】閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計算：原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.【答案】-2.【詳解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]＝－2.【變式6-1】拆項法計算：【答案】．【分析】先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可得．【詳解】原式，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．【變式6-2】拆項法．計算：．【答案】．【分析】根據(jù)例題將各帶分?jǐn)?shù)拆解，將整數(shù)和分?jǐn)?shù)分別相加，再計算加法即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法計算，正確理解例題的解題方法并仿照解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】折項法計算：．【答案】-1【分析】根據(jù)拆項法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】原式=,=,=,=-1．考點(diǎn)1：利用數(shù)軸信息進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算1．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）

【答案】＜【詳解】解：由此圖可知，且，所以．2．小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判定墨跡蓋住部分的整數(shù)的和是．【解答】解：由圖可知，左邊蓋住的整數(shù)數(shù)值是﹣2，﹣3，﹣4，﹣5；右邊蓋住的整數(shù)數(shù)值是1，2，3，4；所以他們的和是﹣4．故答案為：﹣4．3．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為8，設(shè)點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)的和是m．(1)若以點(diǎn)A為原點(diǎn)，則數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)是__________；若以點(diǎn)B為原點(diǎn)，則m=_________；(2)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上，且點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離為4，求m的值．【答案】(1)3；5(2)或17【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為8，再由原點(diǎn)即可求出三個點(diǎn)所表示的數(shù)及m的值；（2）分兩種情況：當(dāng)O在B的左邊時，當(dāng)O在B的右邊時，求出每種情況A、B、C對應(yīng)的數(shù)，即可求出m的值．【詳解】（1）解：∵若A為原點(diǎn)，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)是3；∵若B為原點(diǎn)，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為8，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)是0，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)C表示的數(shù)是8，∴，故答案為：3，5；（2）解：∵點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為8，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離為4，∴當(dāng)O在B的左邊時，A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為1、4、12，∴，當(dāng)O在B的右邊時，A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為、、4，∴，綜上所述：m的值為或17．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的加法，會確定A、B、C對應(yīng)的數(shù)及分類討論是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：有理數(shù)與相反數(shù)、絕對值的綜合考查4．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）已知a是最大的負(fù)整數(shù)的相反數(shù)，，且．式子的值為__________．【答案】5或1【詳解】解：是最大的負(fù)整數(shù)的相反數(shù)，,,或,或,,解得,或,或,的值為5或15．（1）求的相反數(shù)與的絕對值的和；（2）若與互為相反數(shù)，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把的相反數(shù)和的絕對值相加計算即可；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義可得，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a和b的值，然后代入計算即可．【詳解】（1）．（2）因為與互為相反數(shù)，所以，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、絕對值的意義，絕對值的非負(fù)性，以及有理數(shù)的加法，綜合運(yùn)用各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．6．以1厘米為1個單位長度用直尺畫數(shù)軸時，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C剛好對著直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如圖所示．設(shè)點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)的和是p，該數(shù)軸的原點(diǎn)為O．(1)若點(diǎn)A所表示的數(shù)是，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是___________；(2)若點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，則數(shù)軸的原點(diǎn)O對應(yīng)直尺上的刻度為___________，此時p的值為___________；(3)若點(diǎn)C，O之間的距離為4，求p的值；(4)該數(shù)軸的單位長度不變，在（2）的基礎(chǔ)上移動原點(diǎn)O．①將原點(diǎn)沿數(shù)軸向左移動1厘米，p的值為___________，再將原點(diǎn)O向左移動1厘米，p的值為___________；②猜想原點(diǎn)O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，p的值將會如何變化．【答案】(1)(2)，(3)2或(4)①；②原點(diǎn)O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，p的值將會增加3【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)的距離，得出點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，由，得出點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)有理數(shù)的加法即可求解；（3）分點(diǎn)在得到左邊和右邊兩種情況討論即可求解；（4）①將原點(diǎn)沿數(shù)軸向左移動1厘米，則點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)有理數(shù)的加法進(jìn)行計算即可求解；同理計算再將原點(diǎn)O向左移動1厘米，p的值；②根據(jù)原點(diǎn)O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)都加1，即可求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C剛好對著直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，∴，∵點(diǎn)A所表示的數(shù)是，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是，故答案為：；（2）解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C剛好對著直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，∴∵點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∵，∴點(diǎn)表示的數(shù)是，則數(shù)軸的原點(diǎn)O對應(yīng)直尺上的刻度為，∵A，B，C所表示的數(shù)的和是p∴故答案為：，（3）∵點(diǎn)C，O之間的距離為4，點(diǎn)對著直尺上的刻度10，①當(dāng)在點(diǎn)的左邊時，點(diǎn)對著直尺上的刻度6，則C點(diǎn)表示的數(shù)為4，∵，此時點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為2，∴②當(dāng)在點(diǎn)的右邊時，點(diǎn)對著直尺上的刻度14，則C點(diǎn)表示的數(shù)為∵此時點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∴，綜上所述，的值為2或；（4）由（2）可知原點(diǎn)對應(yīng)的刻度為5,點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，①將原點(diǎn)沿數(shù)軸向左移動1厘米，則點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，∴，再將原點(diǎn)O向左移動1厘米，則點(diǎn)表示是的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，∴，②猜想原點(diǎn)O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，p的值增加3．∵原點(diǎn)O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)都加1，∴的值增加3．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，有理數(shù)的加法運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：有理數(shù)的加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用7.某公路養(yǎng)護(hù)小組乘車沿南北方向巡視維修，某天早晨他們從A地出發(fā)，晚上最后到達(dá)B地，約定向北為正方向，當(dāng)天的行駛記錄如下．(單位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽車行駛1km耗油aL，求該天耗油多少L?解析：(1)首先把題目的已知數(shù)據(jù)相加，然后根據(jù)結(jié)果的正負(fù)即可確定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所給的數(shù)據(jù)的絕對值相加，然后乘以a即可求解．解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)故B地在A地正北，相距1千米；(2)該天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．答：該天耗油75aL.方法總結(jié)：解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示，其次是要正確理解題目意圖，選擇正確的方式解答．8.某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定往東為正，往西為負(fù)．某天自A地出發(fā)到收工時所走路線（單位：千米）為：，，，，，，，，，．(1)問收工時距A地多遠(yuǎn)？在哪個方向？(2)若每千米路程耗油m升，問從A地出發(fā)到收工共耗油多少升？【答案】(1)在正東方向，距離A地2千米(2)升【分析】（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）求出運(yùn)動的總路程，然后根據(jù)每千米路程耗油m升，求出從A地出發(fā)到收工共耗油量即可．【詳解】（1）解：（千米）答：收工時在正東方向，距離A地2千米．（2）解：從A地出發(fā)到收工行駛的總路程為：（千米），∴從A地出發(fā)到收工共耗油升．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．9.小蟲從點(diǎn)O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的各段路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時是多少？在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【答案與解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=00表示最后小蟲又回到了出發(fā)點(diǎn)O答：小蟲最后回到了出發(fā)地O.（2）(+5)+(－3)＝+2；(+5)+(－3)+(+10)＝+12；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因為絕對值最大的是+12，所以小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時是向右12cm;(3)（cm）,所以小蟲爬行的總路程是54cm，由（粒）答：小蟲一共可以得到54粒芝麻.10.在抗洪搶險中，人民解放軍的沖鋒舟沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：14，，+8，，13，，+10，，(1)B地在A地的哪邊？距A地多少千米？(2)救災(zāi)過程中，最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)A有多遠(yuǎn)？(3)若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱原油量為29升，求途中還需補(bǔ)充多少升油？【答案】(1)B地在A地東18千米處；(2)23千米；(3)7升．【詳解】（1）解：（千米），答：B地在A地東18千米處；（2）第一次14千米，第二次（千米），第三次（千米），第四次（千米），第五次（千米），第六次（千米），第七次（千米），第八次（千米），，答：最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)A有23千米；（3）耗油量：（升），（升），答：求途中還需補(bǔ)充7升油．考點(diǎn)4：幻方計算題11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)中，m代表一個數(shù)，你認(rèn)為m是多少時，能夠使這9個數(shù)分別填入圖中的9個空格內(nèi)，使每行的3個數(shù)、每列3個數(shù)、斜對角3個數(shù)個數(shù)相加均為零．(1)我認(rèn)為m＝_______．(2)按要求將這9個數(shù)填入如圖的空格內(nèi)．【答案】(1)0(2)見解析【詳解】（1）﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)的和為0，則，故答案為：0（2）填寫如下：12．如圖是3×3的三階幻方，將2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個數(shù)分別填入下列兩個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．(1)方格正中間位置的數(shù)是_______．(2)將兩個幻方補(bǔ)充完整．【答案】(1)10(2)見解析【詳解】（1）∵每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，且等于正中間位置數(shù)的3倍，∴除正中間以外的兩個數(shù)的和是正中間位置的數(shù)的2倍，∵第一個方格斜對角的兩個數(shù)為8和12，和為20，∴正中間位置的數(shù)是10，∵第二個方格中間上下兩個數(shù)為2和18，和為20，∴正中間位置的數(shù)是10，故答案為：10．（2）將兩個幻方補(bǔ)充完整如下：．13．（1）如圖1，請你在圓圈內(nèi)填上恰當(dāng)?shù)牟煌欣頂?shù)，使每條線上的3個數(shù)和為0．（2）如果將中心處的0改為，使每條線上的個數(shù)之和為呢？請在圖2中試一試．【詳解】解：（1）如下圖：（2）如下圖：考點(diǎn)5：新定義運(yùn)算14.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，計算：______．【答案】3【詳解】解：∵表示不超過的最大整數(shù)，∴，∴；故答案為3．15．（23-24七年級上·福建南平·階段練習(xí)）對于有理數(shù)a，b定義新運(yùn)算：“”，，則關(guān)于該運(yùn)算，下列說法正確的是．（請?zhí)顚懻_說法的序號）①；②；③若，則；④該運(yùn)算滿足交換律．【答案】②③【分析】根據(jù)新定義逐項進(jìn)行分析即可．【詳解】解：①∵，∴，故①錯誤；∵，；∴，故②正確；∵，，，∴；故③正確；，，只有當(dāng)時，，∴該運(yùn)算滿足交換律不成立．故④錯誤，故答案為：②③【點(diǎn)睛】此題考查了新定義運(yùn)算，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．16．（23-24七年級上·陜西寶雞·期末）數(shù)學(xué)課上，老師說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫做‘星加’運(yùn)算．”然后老師寫出了一些按照“星加”運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：；；；；；．根據(jù)上述材料，回答下列問題：(1)歸納“”運(yùn)算的運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行“”運(yùn)算時，______特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“”運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行“”運(yùn)算，______；(2)計算______；(3)我們知道加法有交換律，試判斷這種新運(yùn)算“”是否具有交換律？并舉例驗證你的結(jié)論．（寫出一個例子即可）【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】本題考查的是加法運(yùn)算的新定義，理解新定義的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題干運(yùn)算中的實(shí)例總結(jié)運(yùn)算法則即可；（2）利用新定義先計算括號內(nèi)的運(yùn)算，再進(jìn)一步的計算即可；（3）分三種情況歸納交換律，再舉例說明即可．【詳解】（1）解：由題意可得，歸納（星加）運(yùn)算的運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行（星加）運(yùn)算時，同號得正，異號得負(fù)，并把它們的絕對值相加，特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行（星加）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行（星加）運(yùn)算，都等于這個數(shù)的絕對值；（2）；（3）當(dāng)同號時，，，∴，當(dāng)異號時，，∴，當(dāng)有1個為0，或兩個都為0也滿足，∴新運(yùn)算“”具有交換律；如，．一、單選題1．（23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)的和是（）A． B．0 C．7 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了絕對值的意義，有理數(shù)的加法計算，先根據(jù)絕對值的意義得到絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)為，再根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可．【詳解】解：絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)為，∵，∴絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)的和是0，故選：B．2．（22-23七年級上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）氣溫由上升后是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用．根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：C．3．（23-24七年級上·新疆伊犁·期中）如果的值是負(fù)數(shù)，則a與b的值（

）A．一定都是正數(shù) B．一定都是負(fù)數(shù)C．一定是一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù) D．至少有一個是負(fù)數(shù)【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，根據(jù)理數(shù)的加法的法則判斷即可．【詳解】解：的值是負(fù)數(shù)，a與b的值中至少有一個是負(fù)數(shù)．故選：D．4．（23-24七年級上·浙江·期末）計算的結(jié)果是（

）A． B． C．4 D．10【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)加法法則計算即可，本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大絕對值減去較小的絕對值是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，故選A．5．（23-24七年級上·廣東潮州·期中）若兩個數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)（）A．都是正數(shù) B．只有一個正數(shù)C．至少有一個是正數(shù) D．以上都不對【答案】C【分析】本題主要考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的計算是解題的關(guān)鍵．若兩個數(shù)之和為正數(shù)，可以是兩個正數(shù)相加，正數(shù)加負(fù)數(shù)或者正數(shù)加0，據(jù)此得出結(jié)論即可．【詳解】解：∵兩個數(shù)之和為正數(shù)，∴可以是兩個正數(shù)相加，或正數(shù)加負(fù)數(shù)或者正數(shù)加零，故選：C．6．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習(xí)）如果，那么等于（）A． B．4 C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值，然后根據(jù)加法法則計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及有理數(shù)的加法，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值是解答本題的關(guān)鍵．7．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)分別是，且滿足，則下列各式的值一定是正數(shù)的是（

）A．a(chǎn) B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸，正負(fù)數(shù)，根據(jù)數(shù)軸可得，再結(jié)合可得出一定是正數(shù)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)和確定的符號．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，一定是正數(shù)，故選：B．8．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如果，，，則下列各式中大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，先根據(jù)a，b的正負(fù)，結(jié)合判斷出b比a的絕對值大，進(jìn)而在數(shù)軸上表示出各數(shù)，利用數(shù)軸比較大小即可．【詳解】解：，，a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，，b比a的絕對值大，a，b，，在數(shù)軸上的位置如圖所示：由數(shù)軸可知，，故選D．二、填空題9．（22-23七年級上·吉林·期末）比大2的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握其加法運(yùn)算法則，根據(jù)題意列出算式計算即可．【詳解】解：依題意可得：，故答案為：．10．（22-23七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，則的值（填“大于”、“小于”或“等于”）．

【答案】小于【分析】本題考查數(shù)軸，涉及絕對值的性質(zhì)，以及有理數(shù)的加法性質(zhì)，掌握有理數(shù)的加法性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸，利用有理數(shù)加法性質(zhì)比較和的大?。驹斀狻拷猓河蓤D可得，且，，根據(jù)有理數(shù)加法性質(zhì)，正數(shù)加負(fù)數(shù)，符號取絕對值大的數(shù)，數(shù)字用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值．．故答案為：小于．11．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學(xué)設(shè)計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，，3，，5，，7，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形的4個數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將、5、7、這四個數(shù)填入了圓圈，則圖中的值為．【答案】或【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù),且橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，得出橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都是，設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，得出，，，，進(jìn)而分情況得出a的值，然后計算即可.【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，∵，且橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，∴內(nèi)外兩個圈的4個數(shù)字之和都是，橫、豎的4個數(shù)字之和也是，則，得，，得，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故答案為：或.12．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）用符號表示a，b兩數(shù)中的較大者，用符號表示a，b兩數(shù)中的較小者，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查了有理數(shù)大小比較，有理數(shù)減法運(yùn)算．根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，則，故答案為：．13．（23-24七年級上·北京昌平·期中）絕對值小于2023的所有整數(shù)的和為．【答案】0【分析】根據(jù)絕對值的概念得出結(jié)論即可．【詳解】解：∵絕對值小于2023的整數(shù)為，，，，……，，0，∴所有絕對值小于2023的所有整數(shù)的和為：故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值的概念和有理數(shù)加法等知識，熟練掌握絕對值的概念和有理數(shù)加法等知識是解題的關(guān)鍵．14．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算以及加法運(yùn)算律，根據(jù)加法運(yùn)算律添