考點13矩形-2022四川中考數(shù)學(xué)試題分類匯編(原卷版+解析)

考點13：矩形1.(2023達州）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（）A.9 B.12 C.15 D.182.(2023樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當(dāng)點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（）

A. B.3 C. D.43.(2023綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（） B. C. D.4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）

A. B. C. D.5．(2023內(nèi)江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．7.(2023眉山）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．

（1）【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．（2）【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點時，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．

（1）判斷的形狀，并說明理由．（2）當(dāng)點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．（3）點Q在邊上，，當(dāng)時，求的長．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．（1）通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）進一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結(jié)論；（3）已知，若恰好經(jīng)過原矩形邊的中點，求與之間的距離．考點13：矩形1.(2023達州）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（）A.9 B.12 C.15 D.18答案:C解析：分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進而求得，根據(jù)，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，,，，，設(shè)，則，，在中，即，解得，，，，，，，，，在中，，．故選C．【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．2.(2023樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當(dāng)點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（）

A. B.3 C. D.4答案:D解析：分析：當(dāng)P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當(dāng)點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當(dāng)P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當(dāng)點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．

∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=BF=4，∴點M的運動路徑長為4，故選：D．【點睛】本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．3.(2023綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（） B. C. D.答案:A解析：分析：證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設(shè)，表示出，，，，進一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進一步可求出邊形EFGH的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設(shè)，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長為：，故選：A.【點睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用求出a的值．4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）

A. B. C. D.答案:C解析：分析：先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．5．(2023內(nèi)江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．分析：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長即可．【解答】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線將AF+CE的最小值轉(zhuǎn)化為AG的長是解題的關(guān)鍵．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．答案:解析：分析：利用矩形與軸對稱的性質(zhì)先證明再利用勾股定理求解再利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3，解得：故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．7.(2023眉山）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．答案:6解析：分析：作點B關(guān)于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；然后求出和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質(zhì)，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的找到點P使得有最小值．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．答案:解析：分析：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．

（1）【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．（2）【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點時，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．答案:（1）見解析（2）或（3）或解析：分析：（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當(dāng)FH=BH時，當(dāng)FH=BF=nBE時，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；【小問3詳解】解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當(dāng)FH=BH時，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當(dāng)FH=BF=nBE時，

，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．

（1）判斷的形狀，并說明理由．（2）當(dāng)點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．（3）點Q在邊上，，當(dāng)時，求的長．答案:（1）為直角三角形，理由見解析（2）見解析（3）或12解析：分析：（1）由點O是的中點，可知，由等邊對等角可以推出；（2）延長AM，BC交于點E，先證，結(jié)合（1）的結(jié)論得出PC是直角斜邊的中線，推出，進而得到，再通過等量代換推出，即可證明；（3）過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，得到兩個K型，證明，，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列等式求出QF，F(xiàn)P，再通過即可求出DM．【小問1詳解】解：為直角三角形，理由如下：∵點O是的中點，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為直角三角形；【小問2詳解】證明：如圖，延長AM，BC交于點E，

由矩形的性質(zhì)知：，，∴，∵點M為邊中點，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C點為BE的中點，由（1）知，∴，即為直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；【小問3詳解】解：如圖，過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，

由已知條件，設(shè)，，則，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，將代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時點M在DC的延長線上，綜上，的長為或12．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，第3問有一定難度，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造K字模型．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．（1）通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）