八年級數(shù)學軸對稱與將軍飲馬問題練習（含答案）

軸對稱與將軍飲馬問題專題練習

一、兩定點一動點

1、如圖，直線/外不重合的兩點A、B,在直線/上求作一點C,使得4C+BC的長度最

短，作法為：①作點B關于直線/的對稱點8,.②連接A夕與直線/相交于點C,則點C

為所求作的點.在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是（）.

A.轉(zhuǎn)化思想

B.三角形的兩邊之和大于第三邊

C.兩點之間，線段最短

D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角

2、如圖，MN是正方形ABC。的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，PC+PD

).

C.60°D.無法確定

3、如圖，AABC是等邊三角形，是BC邊上的高，￡是AC的中點，P是上的一個

動點，當PC與PE的和最小時，NCPE的度數(shù)是（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

4、如圖，PQ為△A2C邊上的兩個定點，在2C邊上求作一點M,使PM+QM最短.（保

留作圖痕跡，不寫作法，無需證明)

5、如圖，解答下列問題:

①畫出△ABC關于)，軸對稱的圖形△ABICI.

②在x軸上找出點P,使得點P到點A、點B的距離之和最短.(保留作圖痕跡)

6、在平面直角坐標系中，已知點A(2,6),B(4,0),在y軸上求一點尸，使AA8P

的周長最小.

(1)在坐標系中畫出4、B兩點的位置.

(2)畫出點P的位置.

(3)求出點P的坐標.

7、在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長為1.格點三角形4BC(頂點是網(wǎng)格線

交點的三角形)的頂點A,B,C的坐標分別是(-4,6),(-2,2),(-1,4).

(1)請畫出△ABC關于y軸對稱的其中A,B,C的對稱點分別為4,

Ci.

(2)請在y軸上求作一點P,使APBC的周長最小.

8、如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分

(1)畫出AAOB關于直線軸對稱后圖形△A'O'B'.

(2)點P在x軸上使△APB周長最小時，在圖中畫出點P.(請保留作圖痕跡)

(3)求出AAOB的面積.

二、一定點兩動點

9、如圖，ZAOB=a,點P是NAOB內(nèi)的一定點，點M、N分別在。4、。8上移動，當

△的周長最小時，NMPN的值為（）.

4.90°+〃.B.90°+-G.

2

C.180°-iz.D.1800-2a.

10、如圖，點尸是NAOB內(nèi)任意一點，OP=6c〃?，點M和點N分別是射線0A和射線08

上的動點，△PMN周長的最小值是6CT?,則NAOB的度數(shù)是（）.

11、如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,ZABC=a,在A8,8c上分別找一點E、

F,使ADEF的周長最小，此時，NEDF=（）.

B.90°--a

2

D.1800-2a

2

12、如圖，點尸關于04、0B的對稱點分別為C、D,連接CZ）,交0A于M,交0B于

N,若C￡>=18c〃?，則△PMN的周長為cm.

13、如圖，點P在NA08的內(nèi)部，點M、N分別是點P關于直線04。8的對稱點，線

段MN交。4、。8于點E、F,若APEF的周長是20cm,則線段MN的長是cm.

14、已知：如圖，點P為NAO8內(nèi)一點，分別作出P點關于OA,。8的對稱點Pi,Pi,

連接PP2,交OA于點"，交于點N,PIP2=15,則的周長為;若

Z(9=40°,則NMPN='

P2

15、如圖，等腰△ABC底邊8c的長為4a”，面積是12cm2,腰A8的垂直平分線E尸交AC

于點F,垂足為E,若M為BC邊上一動點，D為EF上一動點,則BC+MD的最小值為

______cm.

16、如圖，已知點P在銳角/AOB內(nèi)部，ZAOB=a,在08邊上存在一點。，在0A邊上

存在一點C,能使PD+OC最小，此時NFDC=.

?p

D

17、如圖，在四邊形ABC。中，NB=/D=90°,ZC=65°,M、N分別是邊BC,CD上的動

點，當△4MN的周長最小時，NMAN=

18、如圖，。是NABC內(nèi)一點，80=4,ZABC=30°,設M是射線BA上一點，N是射線

BC上一點，則^MND的周長的最小值是

19、如圖，已知鈍角三角形ABC的面積為20,最長邊48=10,8。平分NABC,點、M、N

分別是BQ、BC上的動點，則CM+MN的最小值為

20、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=6,ZACB=75°,AO_LBC于。，點M、N分別是線

段AB、線段AO上的動點，則MN+BN的最小值是

21、如圖，在銳角AABC中，AC=6,4ABC的面積為15,/8AC的平分線交BC于點

D,M,N分別是A。和4B上的動點，則BM+MN的最小值是.

22、如圖，ZAOB=30°,0c=2,在。4上找一點M,在上找一點N,使得CM+MN最

小，求出此最小值.

A

23、如圖，已知點A是銳角/M0N內(nèi)的一點.

(1)按要求畫圖：(不寫作法，尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)

①分別作點A關于0M,0N的對稱點4,A”.

②試分別在0M、ON上確定點B,點C,使AABC的周長最小.

(2)若NM0245。時，試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

24、如圖，ZAOB=30°,點尸是乙408內(nèi)一點，P0=8,在N40B的兩邊有點R、Q（均不

同于。），求APQR周長的最小值.

25、某班舉行晚會，桌子擺成兩條直條（如圖中的A。，8。），A。桌面上擺滿了桔子，

8。桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫

助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短.

26、如圖，在mZiABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\O,A。是N8AC的平分

線.若匕。分別是4。和4c上的動點，求PC+P。的最小值.

軸對稱與將軍飲馬問題（基礎篇）專題練習

一、兩定點一動點

1、答案：D

分析：

解答：???點B和關于直線/對稱，且點C在/上，

CB=CB',

又所交/于C,且兩條直線相交只有一個交點，

??.C夕+CA最短，即C4+C8的值最小，將軸對稱最短路徑問題利用線段的性質(zhì)定理兩點之

間，線段最短，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，驗證時利用三角形的兩邊之和大于第三邊.

2、答案：B

分析：

解答：MN是正方形ABCD的一條對稱軸，

：.PD=AP,

當尸C+PD最小時，即點P位于AC與的交線上，

此時/PCD=45。.

3、答案：C

分析：

解答：當PC+PE最小時，P在BE與的交點位置，

；△ABC是等邊三角形，

，ZACB=60°,

:。、E分別是邊BC,AC的中點,

???P為等邊△ABC的重心，

：.BELAC,

,11

NPCE=-ZACB=-x60°=30°,

22

ZCPE=90°-ZPC￡=90°-30o=60°,

選C.

4、答案：作圖見解答.

分析：

解答：如圖所示：

5、答案：作圖見解答.

分析：

解答：所作圖形如圖所示:

(2)畫圖見解答.

(3)P(0,4).

分析：

(3)過點4作4川_1_》軸于M,

VA(2,6),

；.M(2,0),AM=6,

又,：B(4,0),

.??點8關于y軸的對稱點夕(-4,0),

：.B'M=6=AM,

...為等腰直角三角形，

：.ZP'BO=45°,

：.△P'BO也為等腰直角三角形，

.*.B'O=PO=4,

：.P(0,4).

7、答案：(1)畫圖見解答.

(2)畫圖見解答.

分析：

解答：(1)關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標相反.

(2)作C關于y軸的對稱點Cl,連接GB,交y軸于點P.連接尸8,PC,此時△P8C周

長最小.

8、答案：(1)如圖所示:

(2)如圖所示:

(3)3.5.

分析:

(2)如圖所示:

y

222

二、一定點兩動點

9、答案：D

分析：

解答：分別作點P關于。A、。8的對稱點P、Pi,連接尸卜P2,交。4于

交08于N,則0Pi=0P=0P2,N0P\M=/MP0,

ZNP0=ZNPi0,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得MP=PiM,PN=PW,

二△PMN的周長的最小值=21凡，

由軸對稱的性質(zhì)可得/POP2=2ZA0B=2a,

.?.等腰40PiP2中，N0P1B+/OP2Pl=180。-2%

NMPN=Z0PM+Z0PN=Z0P\M+ZOP2M

=/0P|P2+/0P2Pl

=180°-2a,

分析：

解答：分別作點P關于。8,0A對稱點C、D,

連CD,分別交04、0B于點M、N,連OC、O。、PM、PN、MN,

：.PM=DM,OP=OD,ZCOB=ZPOB,NDOA=NPOA,

/.OC=OP=OD,ZAOB=；ZCOD,

,/MMN周長的最小值是bcm,

:.PM+PN+MN=6,

：.DM+CN+MN=6,BPCD=6=0P,

，OC=OD=CD,即4OCD為等邊三角形,

ZCOD=60°,

，ZAOB=30°.

分析：

解答：如圖，作點。關于直線AB的對稱點G,作點。關于直線BC的對稱點H,

連接GH交AB于點E,交BC于點F,則此時△DEF的周長最小，

VZDAB+ZABC+ZDCB+ZADC^360°,ZDAB=ZDCB=90°,NABC=a

：.ZADC=3600-ZDAB-ZDCB-NABC=180°-a,

ZG+Z//=180°-ZADC=a,

:./EDF=ZADC-(ZADE+ZCDF)=180°-2a.

選D.

12、答案：18

分析：

解答：根據(jù)題意點P關于04、。8的對稱點分別為C、D,

故有例P=MC,NP=ND;

則CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm.

13、答案：20

分析：

解答：根據(jù)題意，EP=EM,PF=FN,

MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=4PEF的周長，

:.MN=20.

14、答案：15;100

分析：

解答:連接。P,OP\,OP1,PP1,PP2.

由對稱可知，MPi=MP,NP=NPz,

APMN的周長為MN+MP+NP=MN+MPI+NP2=PIP2=15.

由對稱可知，ZOPM=ZOPtM,ZOPN=ZOPiN,

：.NMPN=ZOPM+ZOPN=ZOP\M+ZOPW=180°-2ZAOB=100°.

15、答案：6

分析：

解答：連A￡>,過A作ANJ_BC于N,

是A8的垂直平分線,

：.AD=BD,

：.DB+DM=AD+DM,

在AAOM中，AD+DM>AM,

：.(AD+DM)min=AM,

又M為BC上動點,

.?.當時最小，即為AN,

V5a4BC=12ew2,BC=4cm,

AN=2x12-T4=6C/M.

16、答案：2a

分析：

解答：過P的作關于。B的對稱點尸，作產(chǎn)CLOA于C,交0B于D,

此時PD=PD',根據(jù)點到直線的距離最短可知PD+DC=P'C最短.

■:NPDB=P，DB,NCDO=NFDB>

：.ZCDO=ZPDB,

"：P'C1.0A,ZAOB=a,

：.ZCDO=90°-a,

：.ZPDC=180°-2(900-a)=2a.

17、答案：50°

分析：

解答：作A關于BC的對稱點為E,作A關于CO的對稱點F,

連接EF交BC,CD于點M,N.

此時AMN的周長就是最小的時候.

設NNAD=/F=a,NE=NBAM=0,

VZB=ZD=90°,ZC=65°,

，ZBAD=a+/i+ZMAN=\15°.

'：2a+2/3+ZMAN=180°,

."+￡=65°.

:.NMAN=/BAD-（a+在）=50°.

18、答案：4

分析：

解答：作。關于BA,BC的對稱點E,F.連接BE,BF.則當M,N是CD與BA,8c的

交點時，AMNC的周長最短，最短的值是E尸的長.

連接BE、BF,

,:D、E關于BA對稱，BE=BD,

：.NABE=NABD,

同理，NFBC=NDBC,BF=BD,

.../E8尸=2/ABC=60°,BE=BF,

.?.△BEF是等邊三角形.

:.EF=BE=BD=4.

故答案是：4.

B………1、C

19、答案：4

分析：

解答：過點C作CELAB于點E,交8。于點M,過點M作MN工BC于N,

平分/ABC,ME_LA8于點E,MNLBC于N,

:.MN=ME,

，CE=CM+ME=CM+MN的最小值.

???三角形ABC的面積為20,A2=10,

1

二一xl0xCE=20,

，CE=4.

即CM+MN的最小值為4.

故答案為4.

A

分析：

解答：如圖：CM即為最短距離.

ZBAC=30°,CMLAB,

c

21、答案：5

分析：

解答：如圖，作N關于A。的對稱點M,連接MV,

作BATL4c于AT,交于Ml

BM+MN=BM+MNWBV',

.?.當M與M,N與N”重合時，BN”最小,

"：S^ABC=--ACBN,,=15,AC=6,

2

解得BM，=5,

.?.BM+MN的最小值為5.

22、答案：6

分析：

解答：如圖所示，易得CM+M論百