立體幾何中展開與折疊相關(guān)的問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題09立體幾何中展開與折疊相關(guān)的問題

今?？碱}型目錄

題型1立體圖形的展開..............................................................................1

?類型1展開圖問題............................................................................2

?類型2最短路徑問題..........................................................................6

?考點1長方體中的最短路徑.............................................................6

?考點2三棱柱中的最短路徑............................................................10

?考點3錐體中的最短路徑..............................................................11

?考點4臺體中的最短路徑..............................................................16

?類型3周長最小問題........................................................................17

?類型4和最小問題..........................................................................23

題型2平面圖形的折疊.............................................................................30

?類型1折疊中的小題.......................................................................30

?類型2折疊中的解答題.....................................................................34

但知識梳理

知識點一.折疊問題

1.概念：將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形，再對折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量進(jìn)行論證

和計算，就是折疊問題.

2.折疊問題分析求解原則：

(1)折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；

(2)折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變

知識點二.展開問題

將空間圖形按一定要求展開就成為平面問題，當(dāng)涉及幾何體表面上兩點間的距離問題時，通常需要將空間

圖形展開轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行研究.

徑題型分類

題型1立體圖形的展開

?類型1展開圖問題

【方法總結(jié)】立體圖形的展開是指將空間圖形沿某一條棱長展開為平面圖形，研究其面積或者距離

的最小值，把幾何體中的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點距離.

【例題1]（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后"抗"字一面

A.新B.冠C.病D.毒

【答案】C

【分析】將展開圖折疊成正方體，觀察可得結(jié)果.

【詳解】將展開圖折疊成正方體可得"擊"字與"冠"字相對，"抗"字與"病"字相對，"新"字與"毒"

字相對，

故選：C.

【變式1-1]1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩

個完全一樣的是（）

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)

【答案】B

【分析】分別判斷出還原成正方體后，相對面的標(biāo)號，即可得出答案.

【詳解】(1)圖還原正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；

(2)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；

(3)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；

(4)圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；

綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是(2)(3).

故選：B.

【變式1-1]2.(2022?高一單元測試)如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的

第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是

4^7

復(fù)興/3/4/5/

1/1/2/

①②

【答案】路

【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找出相對面，再由其特征得到結(jié)果.

【詳解】由圖①可知，"國"和"興"相對，"夢"和"中"相對，"復(fù)"和"路"相對；

由圖②可得，第1、2、3、4、5格對應(yīng)面的字分別是"興"、"夢"、"路"、"國"、"復(fù)"，

所以到第5格時，小正方體朝上面的字是"路".

故答案為：路.

【變式1-1]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖是一個正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后,互

相重合的點是.

①□與口②□與口③口與口④口與口

【答案】①②④

【分析】還原正方體即可解決.

【詳解】根據(jù)題意，標(biāo)記下圖,

由圖知，口與口,口與口,口與港臺,

故答案為：①②④

【變式1-1】4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）把正方體的表面沿某些棱剪開展成一個平面圖形（如圖），

請根據(jù)各面上的圖案判斷這個正方體是（）

【答案】C

【分析】通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，

然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形.

【詳解】結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，即可得出兩圓應(yīng)該在幾何體的上下，符合要求的只有C和

D,再根據(jù)三角形的位置，即可得出答案，

故選：C

【變式1-1]5.如圖，兩個圖形都是立體圖形的平面展開圖，你能分別說出這兩個立體圖形的名稱嗎？

【答案】（1）正方體（2）四棱錐

【解析】（1）將展開圖還原為原圖可知，該幾何體為正方體.（2）將展開圖還原為原圖可知，該幾何體為

四棱錐.

【變式1-1】6.（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考一模）將3個6cmx6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點剪開，

每個正方形均分成兩個部分，如圖（1）所示，將這6個部分接入一個邊長為3夜cm的正六邊形上，如圖（2）

所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個七面體，則該七面體的體積為cm3.

圖⑴圖⑵

【答案】108

【分析】根據(jù)平面圖形折起后得到七面體，由七面體為正方體被平面所截，由對稱性可得其體積.

【詳解】將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖所示的正方體，

該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積為正方體體積

的一半，即!X63=108cm3.

故答案為：108

?類型2最短路徑問題

?考點1長方體中的最短路徑

【例題1-2】（多選）（2023?高一課時練習(xí)）長方體?？诳?。一口1口1口1口］的樓長口口1=4,口口=

3,00=5,則從。點沿長方體表面到達(dá)4點的距離可以為（）

aa

B

A.4V5B.3同C.V74D.8

【答案】ABC

【分析】從o點沿長方體表面到達(dá)口有三種展開方式，以&&、□□、a與軸展開，分別求。，可

得答案.

【詳解】則從。點沿長方體表面到達(dá)&有三種展開方式，

若以a&為軸展開，則□&=若a〃+&a)2+(aa)2=倔廠兩=3Vw,

若以oa為軸展開，則。&=?□、口+0。2+(0。2=V49+25=V74,

若以&外軸展開，則0a=Z2702+（〃&）2=V64+16=4V5.

故選：ABC.

【變式1-2】1(2022?高一課時練習(xí)舊知長方體?？凇?。一口1口1口1口1中，□口=5，口口［=4，口□=3,

從點A出發(fā)沿著表面運(yùn)動到0的最短路線長是_____.

【答案】V74

【分析】將長方體的面折疊到同一平面，求出線段￡74的長，分三種情況，求出結(jié)果，比較大小，確定最

短路線長.

【詳解】如圖，

①將長方形。與平■面□□□】a折疊到同一平面，如圖1所示,

圖I

連接￡7&,此時口&=1(5+3)2+42=4V5,

②將長方形口a與長方形aa&a折疊到同一平面，如圖2,

5

A\

A

連接DO,,此時o&=J(4+3)2+52=V74,

③將長方形與長方形ooaa折疊到同一平面，如圖3,

D

ABB\

圖3

連接,此時O&=J(4+5)2+32=3V10,

因為E<4V5<3同,

所以從點A出發(fā)沿著表面運(yùn)動到4的最短路線長是g.

故答案為：V74

【變式1-2]2.(2022?高一單元測試悵方體□□□□-口口1口1，中，□口=2,￡70=4，口□1=1,

則一只小蟲從a點沿長方體的表面爬到口1點的最短距離是__________.

【答案】5

【分析】根據(jù)題意，畫出三種展開的圖形，求出aa兩點間的距離，比較大小，從而找出最小值即為所

求.

【詳解】解：長方體aaaa的表面可如下圖三種方法展開后，口、口兩點間的距離分別

??.一只小蟲從a點沿長方體的表面爬到a點的最短距離是5.

故答案為：5.

?考點2三棱柱中的最短路徑

【例題1-3]（2022秋?上海徐匯?位育中學(xué)?？计谀┮阎庵鵒OO-口[□]&的底面邊長為2,

高為5,從點。出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)&點的最短路線長度為.

【答案】13

【分析】將正三棱柱沿剪開，即可求解.

【詳解】如圖所示，將正三棱柱沿〃口剪開，可得到一個矩形，其長為6,寬為5,

其最短路線為量相等線段之和，其長度等于,

故答案為：13.

【變式1-3]（2022春?廣西百色?高一?？计谥校┤鐖D，正三棱柱口4□[4的底面是邊長為3的

正三角形，側(cè)棱。a=4,一小蟲從點A途經(jīng)三個側(cè)面爬到點&,則小蟲爬行的最短距離為（）

A.4B.5C.V97D.Vl53

【答案】C

【分析】將三棱柱展開為一矩形，確定邊長，確定小蟲爬行的軌跡，即可求得答案.

【詳解】三棱柱的側(cè)面展開圖為一個矩形,如圖所示,

因為正三角形ABC的邊長為3，側(cè)棱Z70=4,所以口口=9,

所以口口[=]UD+g=V81+16=V97,即小蟲爬行的最短距離為歷，

故選：C

?考點3錐體中的最短路徑

【例題1-4】（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正三棱錐。—口。。中，口□=口□=口口=1/□□□=

乙□□□=乙□□口=30°,一只螞蟻從點O出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到。點，則螞蟻爬過的最

短路程為.

【答案】V2

【分析】沿棱O&各正三棱推展開，做出展開圖，由題中條件，結(jié)合展開圖，即可得出結(jié)果.

【詳解】

將正三棱錐口口門沿棱口^^，得到如下圖形，

由展開圖可得，沿口&爬行時，路程最短；

因為口口=1,乙口□□=乙□□□=乙□□□—30°,

所以2口口口1=90°,

因此￡7￡7）=Vl2+12=V2.

故答案為：V2.

【變式1-4]1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）空間四邊形?！?。中）各邊與兩條對角線的長都為1,點O在

邊。D上移動，點。在邊0at移動，則點。，OB勺最短距離為.

【答案】y

【分析】由已知條件可知幾何體為正四面體，由此可知點口，勺最短距離即為相對棱的中點之間的距離，

可求得答案.

【詳解】由于空間四邊形。005）各邊與兩條對角線的長都為1,

故該幾何體為正四面體，如圖當(dāng)BQ分別為AB,CD的中點時，

連接AQ,BQ則?！?=口口，所以□□上口口同理0/71口□,

即當(dāng)BQ分別為AB,CD的中點時，PQ為異面直線AB,CD的公垂線，

此時點￡7,O0勺距離最短；

因為空間四邊形SOd勺各邊與兩條對角線的長都為'，故口□=?□口=]

所以?？?飛口仃一口守=口1=與

故答案為：f

【變式1-4]2.（2023?高一課時練習(xí)）在正四棱錐。一口□□□中,□□=口口=4,以為ZZ7ZJ0勺中點,

%口并中點,則從點◎回著四棱錐的表面到點。的最短路徑的長度為（）

A.2aB.2傷C.4D.3

【答案】C

【分析】對點O到點OB勺路徑進(jìn)行分類討論，將相應(yīng)平面延展為同一平面，結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】分以下幾種情況討論：

（1）當(dāng)點著平面口。。、□□網(wǎng)氤□，將平面□□□、Z7Z7O延展為同一平面，如下圖所示：

易知△□□□、△。。儂為等邊三角形延展后幺口口口=乙□□□=60°幺□□口=乙口口□=120°,

所以，四邊形。。。孕菱形，所以，口口11口謔口口=口□,

因為口、a分別為〃￡/、口彌中氤，%\口口11口□目口口=□口,

所以，四邊形為平行四邊形，此時00=00=4;

(2)當(dāng)點。白著平面口￡70、口□□覆氤口，將平面口口口、￡70。。延展至同一平面，如下圖所示：

連接￡7/7,則O￡7_L□□,且￡70=2V3,4□口□=30°,zZ7￡7￡7=90°+30°=120°,

因為□□=2,由余弦定理可得027=<g+皿-2口口-。氏os120。=V16+4V3>4；

(3)當(dāng)點?合著平面￡700、□□口四點、口,連接￡7。，如下圖所示：

則￡7。=2,口口=4+2V3,乙□□□=30°,

由余弦定理可得R7=廳+UEf-2□□-￡7Ox)s30。=q20+875>4;

(4)當(dāng)點U臺看平面口。￡7、□□□、□□網(wǎng)點、口,將這三個側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：

易知以口、石點共線，目口口=6,口口=2工□□□=60°,

由余弦定理可得，。仃+g-00cos60。=2V7>4.

綜上所述，從點◎合著四棱推的表面到點最短路徑的長度為4.

故選：C.

【點睛】方法點睛：（1）計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行,

即將側(cè)面展開化為平面圖形，即"化折為直"或"化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面

展開圖的形狀；

（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解.

【變式1-4]3.（2023?全國?6專題練習(xí)）如圖,在三棱錐。一,□□邛面口口口,□□=珠.

□□=3米，口口與底面口。。所成角的正切值為2.已知螞蟻從點O出發(fā)，沿著側(cè)面￡7口々走到。。上的一

點，再沿著側(cè)面口口&嵌續(xù)走到棱上，則這只螞蟻從點口出發(fā)到達(dá)棱最短路程為米，這

只螞蟻的最短路線與口為勺交點到底面口口為勺距離為米.

L

【答案】2V5|##1.5

【分析】由題意，將側(cè)面ABD翻折至與平面ABC共面，由兩點之間直線最短確定出螞蟻的最短路線為C

-FT,利用勾股定理求出最短路程為CE=2痣米，利用三角形相似求出FB=|.

【詳解】因為AB_L平面BCD,所以AB^BC,AB_LBD,又AB=4米，BC=3米，

A

所以AC=5米.因為AD與底面BCD所成的角為NADB所以tan/ADB=^=2所以BD=2米.將側(cè)面ABD

翻折至與平面ABC共面，如圖所示.AC=CD=5米,AD=2V5M,取AD的中點E,連接CE,交AB于F,

則CE±AD,螞蟻的最短路線為C-F-E,最短路程為CE=2遍米，最短路線與AB的交點為F.取BD的中

點G,連接EG,貝!JEG=gAB=2米,BG=^BD=1米,根據(jù)《BF—CGE,得穿=攜弓,貝!JFB=*G=|,

故這只螞蟻的最短路線與AB的交點到底面BCD的距離為|米.

故答案為：2V5;

?考點4臺體中的最短路徑

【例題1-5］（多選）（2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考一模）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別

為□卜=1,q=2,母線OO長為2,點口為□□的中點，則（）

上下

B.圓臺的側(cè)面積為12TT

C.圓臺母線OO與底面所成角為60°

D.在圓臺的側(cè)面上，從點。到點口的最短路徑長為4

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知求體積;過OI乍。?！?。2交底面于F,判斷出口即為母線與底面所成角，?作

出圓臺的側(cè)面展開圖，直接求出面積；圓臺的側(cè)面上，判斷出從匚型）廳勺最短路徑的長度為CE,等逐個判斷

即可求解.

【詳解】對于A:圓臺的高為V5,則圓臺的體積O=gnx(l2+1X2+22)XV3=^(cm3),A正確；

對于B:由題意，圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán),

其面積為。=；X2TTX2X4-1X2TTX1x2=6TT.故B新吳;

對于C:過A口交底面于F,則4口_L底面，所以為母線。。與底面所成角.

在等腰梯形ABCD中，2,Z7O=2-1=1,所以COSNOOO=攜=；.

因為N。。小銳角，所以4口口□=60。.故C正確；

對于D如圖示，在圓臺的側(cè)面上，從。到OB勺最短路徑的長度為CE.由題意可得:00=4,口口=2.

由O為0口中點,所以?！?=3,所以￡70=飛口日+口d=V42+32=5.故D錯誤.

故選：AC

?類型3周長最小問題

【例題1-612023春?全國?高一專題練習(xí)在直三棱柱?！?0-口、口［4中3，口□=口口=',

DD=V2,E是棱口4上的一點，則4口口蜜勺周長的最小值為（）

A.VTT+3B.E+2#C.布+尺D.VTT+V14

【答案】C

【分析】由側(cè)面展開圖求解，

【詳解】由題意得&a=V9+2=ViT,

將三棱柱的側(cè)面展開如圖所示.當(dāng)口、口,。三點共線時，△Dy。。的周長的最小，

此時□]口+□□—此+4=VT3,

即^口、Z7G]周長的最小值為布+限，

故選：C

【變式1-6]1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為

CC1的中點，點P,Q分別為面A1B1C1D1和線段B1C上動點，貝!IWEQ周長的最小值為（）

【答案】B

【分析】通過對稱轉(zhuǎn)換oaoa。。，由三點共線求得三角形oou周長的最小值.

【詳解】在平面口口□□上，設(shè)E關(guān)于B1C的對稱點為M,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知1,

B于B1C1的對稱點為'□]口=口、□=□□="

連接MN,當(dāng)MN與B1C1的交點為P,MN與B1C的交點為寸，

則MN是WEQ周長的最小值，

口口=1,口口=3,口口=Vl2+32=VTO,

."PEQ周長的最小值為同

【變式1-6]2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱4一?？?。中，AB=2,=

2V3,D,F分別是棱AB,的中點，E為棱AC上的動點，則aDEF周長的最小值為.

【答案】V7+2##2+V7

【分析】由正三棱柱&&&-￡7。，的性質(zhì)可得：口口11AB,1AC.在RtAADF中，利用勾股

定理可得DF=2.因此只要求出DE+EF的最小值即可.把底面ABC展開與側(cè)面00a&在同一個平面,

當(dāng)三點D,E,F在同一條直線時，DE+EF取得最小值.再利用余弦定理求解.

【詳解】解：由正三棱柱耳口、□□□,可得口口11底面ABC,

:,口口11AB,1AC.

在RtAADF中，DF=J(V3)2+12=2.

把底面ABC展開與側(cè)面。&在同一個平面，如圖所示，

只有當(dāng)三點D,E,F在同一條直線時，DE+EF取得最小值.

在AADF中,zDAF=600+90°=150°,由余弦定理可得：

DF=J(V3)2+12-2V3XCOS150°=V7.

.1△DEF周長的最小值=V7+2.

故答案為：k+2.

【變式1-6]3.(2022?上海?高一專題練習(xí))如圖，□□□□-方。'方方為正方體，任作平面。與對角

線口仃垂直，使得口與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為口，周長為則

B.K為定值，C為定值

C.口與儂為定值

D.口與立勻不為定值

【答案】B

【分析】將正方體切去兩個正三棱錐。-仃口□與仃-仃廿□后，得到一個以平行平面O'與。'方Z7

為上、下底面的幾何體口，。的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形中）每一條邊分別與中）底面

上的一條邊平行，將中側(cè)面沿棱方方剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形方方。1&,考查

方的位置，確定&口

【詳解】解：將正方體切去兩個正三棱錐口-d□□與百-dd/j^,得到一個以平行平面o'與

方方印上、下底面的幾何體O,跳勺每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形。的每一條邊分別與口

的底面上的一條邊平行）各方側(cè)面沿棱口‘。'剪開，展開在一個平面上彳導(dǎo)到一個平行四邊形方方,

如圖所示

而多邊形次勺周界展開后便成為一條與方&平行的線段（如圖中o'a），顯然，方a=方&,所以口

為定值，

當(dāng)。位于方方中點時，多邊形班正六邊形，而當(dāng)方稱到。時，。為正三角形，則當(dāng)周長這定值a的正

六邊形與正三角形面積分別為噂爐點爐,所以k是定值，

N400

故選：B

【變式1-6]4.（2022春河南安陽?統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》卷第五《商功》中描述幾何體"陽馬"為"底

面為矩形,T則棱垂真于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽馬口一□□□□,口口1鉀□□口□，口口=1.口□=3,

口口=W，。。上有一點E,使截面的周長最短，則OO與。。所成角的余弦值等于（）

S

A?一彳。?-gLU-彳

【答案】D

【分析】通過底面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，容易找到最小值點口，然后利用平移法作出異面直線所成的角，

即可得解；

【詳解】解：將平面□□□□￡口口R至仃□□□,

使口口□與仃口口廿共面,

連接O￡7'交。。于Z7,連接O。，此時A長最短,

作。儂Z7Z7TU,

則N〃Z7Z7（或其補(bǔ)角）即為所求角，

在R3SAB中，□口=J口己+口d=2,

??.fi—=旦，即|=攀，可得口口=2,

on□口J'

.?在RMSBE中，□口=d口己+=2\/2,

??在RfSFE中，co”□□口=需=壺=1，

故口。與￡70所成角的余弦值等于9.

故選：D.

?類型4和最小問題

【例題1-7]（2022春?安徽池州?高一統(tǒng)考期末）在正方體￡7口。0-d5&&中，棱長為2E為口□

的中點，點p在平面。。aa內(nèi)運(yùn)動，則?？?。&的最小值為（）

A.3B.2V3C.3V2D.5

【答案】A

【分析】利用點面對稱關(guān)系，找到點B于平面的對稱點為。，則OO+□□、=,

再根據(jù)兩點之間線段最短，可得答案.

【詳解】解：取的中點F,連接m,如下圖：

因為E為。4勺中點，所以點E、F關(guān)于平面OO&&對稱，所以O(shè)O+DD+皿,最小值

為=7l2+22+22=3.

故選：A.

【變式1-7]1.（2020?浙江杭州?高一期末）如圖，在棱長為1的正方體中OZ7DO-5口百口],若

點a段別為線段。a,0a上的動點，點皿底面口口〃。上的動點，則?？?口蜜勺最小值為（）

A.IB.qc."D.l

【答案】A

【解析】先固定M,使PM,NM最小，則易知P應(yīng)是M在BD上的射影，N應(yīng)是M在B1C上的射影；利

用線面垂直判定定理易知BC1_L平面BC1D1/.N應(yīng)為BC1,B1C的交點0;將&BDD1和^BCIDI展開放

到T平面上，可得當(dāng)P、M、0共線，且垂直于BD,時PM+MN最小時，利用正弦的二倍角公式求得sin

zDBCl的值，進(jìn)而計算可得.

【詳解】解：首先當(dāng)固定M時，P點應(yīng)為M在平面ABCD中的射影，在BD上，且MP±BD于R為使

MN最小，MN應(yīng)當(dāng)垂直與B1C,垂足為N,

連接BC1,設(shè)BCinBlC=O,則BC1±B1C,

由D1C1_L平面BCC1C1得D1C1±B1C,

又91（：1的＜：1=01〃31（：，平面BC1D1,

由MN，B1C,MW平面BClDljMNu平面BC1D1,

■,N應(yīng)為BC1,B1C的交點0,

將ABDDI和ABCIDI展開放到一個平面上，如圖所示：

轉(zhuǎn)化為求折線PM0的最小值，顯然最小時P、M、0共線，且垂直于BD,

如圖所示M0,P0,N0,為使PM+MN最小時，M,RN的位置.

顯然ABDD0BC1DL..NDBD1=NC1BD1

.-.sinzDBCl=sin2zDBDl=2sinzzDBDlcoszDBDl=2x*x卻竽，

□odjxsinNOOa='x管.

故選:A.

【點睛】本題考查空間距離和的最值問題，屬中高檔題，關(guān)鍵在于先固定尋找MP,MN最小的條件和位置，

然后利用展開方法，進(jìn)一步研究求解.

【變式1-7]2.（2023?高一課時練習(xí)）在正方體￡7000—&?？谥?，棱長為2,E為口量勺中點，

點P在平面0O4&內(nèi)運(yùn)動，則￡70+口&的最小值為

【答案】3

【分析】由條件證明點E、F關(guān)于平面。a對稱，由此可得口。=口口,再根據(jù)結(jié)論兩點之間線段最

短求?！?+O&的最小值即可.

【詳解】取OO0勺中點F,連接口￡7,如下圖：

因為E為OZJ0勺中點，所以點E、F關(guān)于平面Z7O4&對稱，

所以￡70+,

因為OZ7+□□、＞,

當(dāng)且僅當(dāng)點次線段與平面&的交點時等號成立；

所以￡70+O4的最小值為。口,

由已知△□□、R直角三角形，且口口=1,￡70=2夜，/￡7￡7&為直角，

所以。&=3,

所以的最小值為3.

故答案為：3.

【變式1-7]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，三棱柱￡7。。一&&&中，1底面口Z7Z7,

乙口□□=90,□□=6,□口=□□]=V2,口是□□[上一動點，則￡7。+的最小值是_______.

C

C.

【答案】5V2

【分析】把平面0ao臺著展開與△在同一平面上，利用余弦定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】把平面。留著展開與△0口a在同一平面上,

連接&Z7,則OO+O4的最小值是4Z7,

因為上口□口=90°,三棱柱心口口一a4&是直三棱柱,

□=小口1民+dZZ72=JRZZ?i+口1ZZ^+□、nF=V36+2+2=

□口=6,□□=□]□=\[2

2VT0,

□□、=J□[rf+□[[Jy=72+2=2,

因為+口子=口百，所以&41□□、,

所以N□、口、□=90,口、口、=6,

所以口1=45°+90°=135°,

由余弦定土里得口［—口1+□—2ZZ7-）口、■ZZ7ZZ71cos135=50,

所以口［口=5V2,故。￡7+0&的最小值是5也故答案為：5V2

【變式1-7J4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體口口口口一口1口1口1口中，口，口

分別為棱a□*口10的中點，若點aU,儂別為線段O0,口□,上的動點，則OO+勺最小

值為?

【答案】1

【分析】由口口=OO可確定Z3為OO中點時，￡70最小，取口口=通過三角形全等可將問題轉(zhuǎn)化

為。。最小值的求解問題，根據(jù)三點共線時線段和最小可求得結(jié)果.

???□□=□口，:當(dāng)曲口唧點時,口。取得最小值；

在口D上取一點￡7,使得?？?□口,

,-,tanzULJLJ=tan4ULJLJi=y,4□□口=/.□□□],口口口包□□□,

???□口=□口;

則當(dāng)a□,一點共線時，DD+最小，即。。最小，

斌鴕□□ll□□息□□=□□[=1,勺最小值為1.

故答案為：1.

【變式1-7]5.（2022?高一課時練習(xí)）已知，如圖，斯體□□□□-口口1&a棱長為1田口〕口上

的動點，則口。+的最小值為.

[答案]72+V2

【分析】首先將翻轉(zhuǎn)平面&使點口轉(zhuǎn)到的對應(yīng)點在平面。口&內(nèi)，再將折線和的最小值，轉(zhuǎn)

化為兩點間距離，即可計算結(jié)果.

【詳解】如圖，將4翻轉(zhuǎn)，使點烏轉(zhuǎn)到的對應(yīng)點4在平面?？?內(nèi).

則

z口2口1口=乙□[□、□=90°.

故乙口□、口2=乙口口、□+乙口□、&=45°+90°=135°.

從而，口口+□[□=口口+口2口?口□?=Ji2+12—2cos135°=V2+A/2.

當(dāng)且僅當(dāng)a為。4與口雜交點時，上式等號成立.

故答案為：V2+V2

【變式1-7】6(2022春?上海浦東新?高一?？茧A段練習(xí)庭長方體O0口。一口1口1口、口1中棱口口=6,

￡70=￡7&=遮，點。是線段O&上的一動點，則OO+O4的最小值是.

【分析】將沿O4為軸旋轉(zhuǎn)至于平面。O&共面，可得人口口2口1,利用□□[=UU+

口口2>04求解即可.

【詳解】解：將Ao&a沿為軸旋轉(zhuǎn)至于平面。。a共面，可得△口。2a

則NZJO&=135°,

故□□+□□]=□口+□□?》□□?=J62+（V2）2—2x6xV2cos135°=5>/2,

當(dāng)且僅當(dāng)型Z7&與。&的交點時取等號，

所以Z7D+O4的最小值是5夜.

故答案為：5夜.

題型2平面圖形的折疊

?類型1折疊中的小題

【例題2-1]（2023?吉林?統(tǒng)考二模）已知矩形ABCD中，AB=3,BC=2,將&CBD沿BD折起至《'BD.

當(dāng)直線CB與AD所成的角最大時，三棱錐?！?0口功勺體積為（）

【答案】C

【分析】先判斷當(dāng)方。與口。所成角最大時，方D1。/7,進(jìn)而證得0〃_1面00方，再證得△口口已是

直角三角形，故可由￡7.=口.求得結(jié)果.

口一口口□

【詳解】因為異面直線最大角為直角，故當(dāng)方01。。時,方口與OU所成角最大，

因為四邊形是矩形，所以￡7O_LDO,

又方0!,uuc\d□=□,□□、d□u面口口仃,

板口口遹口口已,又因為口己u面口口仃,所以。Dind,

在R3Z7O'。中,口口=2,00=3,所以口方=J仃仔一口仃=79^4=75,

22

又。。'=2,Ljd=V5,口口=3,所以￡7d=口0+DD,故0方1Cd,

所以￡7.=口,"口,?OO=；x；x2xVSx2=等.

□□-□口□34口口口323

故選：C.

【變式2-1]1.（2023?江蘇宿遷?江蘇省沐陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在直角梯形口。。。中,DDIIDD,

口口，口口，口口=2口口=2,E為。中）中點.將△口口苗40口為別沿口口口口折起，使得點A,

D重合于點F,構(gòu)成四面體?！?00.若四面體OZ7OO0勺四個面均為直角三角形，則其外接球的半徑為

【答案】牛

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理確定垂直關(guān)系，再確定外接球的球心所在位置，利用勾股定

理求出外接球的半徑即可.

【詳解】如圖.由題意可知，折疊后所構(gòu)成的四面體口口?？谥?

乙□□口=90°,z[JLJLJ=90°,N□□□個可能為直角.

在Rt△￡7053,由□口）■知，匚為直角，即OZ7J.

因為。Z271口□.口□1口口,口口門口口=口,口□,口□u平面口口□,

所以□□上平面口口□,因為□□u平面□口□所以□□L

又因為口口,￡7/7n□□=□,口□,口口0：口口口,

所以DO1平面ODD,因為口口u平面口口口，所以□□上口□.

所以四面體。卜接球的球心為OO的中點，半徑為；0/7

在直角梯形。。S中，設(shè)□□=口□=口,

則有=4+1,口己=4+4,g=44+1.

由口仃+口存=S2,解得。=彖負(fù)值已舍去），則，￡7=苧.

因此，四面體。。口仍卜接球的半徑為苧.

【變式2-1]2.（2021?課時練習(xí)）由等邊三角形組成的網(wǎng)格如圖所示,多城□□□□□□□□□□是

某幾何體的表面展開圖，對于該幾何體（頂點的字母用展開圖相應(yīng)字母表示，對于重合的兩點，取字母表

中靠前的字母表示），直線口厚口直線口口的位置關(guān)系是_____.

【答案】異面

【分析】畫出幾何體，即可得到直線。皆口直線OO0勺位置關(guān)系.

【詳解】解：

幾何體如圖所示，所以易知直線口審口直線O班異面直線.

故答案為：異面.

【變式2-1]3.侈選）（2023?山東泰安統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為1,M,N分別為BC,

CD的中點，將正方形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中以下結(jié)論中正確的

A.異面直線AC與BD所成的角為定值

B.三棱錐?？?。的外接球的表面積為2Tl

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.三棱錐口-SO體積的最大值為終

40

【答案】ABD

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷A;易知外接球球心〃是ODK點求解判斷B;利用垂直的轉(zhuǎn)化通過反證

法可判斷C選項；利用等積法判斷D選項.

【詳解】對于A,取口。中點O,連接則口口，且口口工□口，所以□□L平面□□□，

所以口□口，異面直線￡7。與。O所成的角為90。，為定值，故選項A正確；

對于B,因為OA=OB=OC=OD,所以外接球球心是。，所以外接球半徑口=亨,

2

.??四面體勺外接球體積為口=4TTX停）=2TT,故B正確.

對于C,若直線。。與直線口O垂直，

?.直線。門與直線OO也垂直，則直線口。1平面00/7,

.■直線。￡71直線￡70,又□□L□□,：.□□^^口口口，：.□□L口□,

而4口。腹以o%口。a為腰長的等腰三角形，與題意不符，故c錯誤；

對于D/□□-□□□-□□-□□□?當(dāng)平面Z7O01平面OO謝三棱錐口-體積取最大值，

此時口口=寺□"□□口=g口4□□于；，（〃￡7-C7Z7￡7）max=d=祟故選項D正確.

故選：ABD.

?類型2折疊中的解答題

【例題2-2]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）某校積極開展社團(tuán)活動，在一次社團(tuán)活動過程中，一個數(shù)學(xué)興

趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了"芻薨"這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如

圖1,E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊口口口□、。中J中點，先沿著虛線段口U將等腰直角

三角形OO凄掉，再將剩下的五邊形口口口。4合著線段。，折起，連接口口、口O就得到了一個"芻

管’（如圖2）.

（1）若0是四邊形口口06寸角線的交點，求證：口口1平面□□□；

口若乙□□□=?，求三棱錐。一OOOK）體積.

【答案】Q）證明見解析；

⑵竽

【分析】（1）線段￡70中點為￡7,證明￡7a/Z7OBP可；

（2）利用等體積法求三棱錐的體積.

【詳解】（1）在圖2中取線段口口中點H,連接口以S,如圖所示：

F

圖2

由圖1可知，四邊形ODOO是矩形，且DO=20。，

-0是線段口若。中）中點，:?口口11口□目□□=；口口,

圖1中□□舊0^口口=；口口,而口口11口道口口=口□.

所以在圖2中，□□11口星口口=1口口,

：.DDIIDDS.DD=口□,

二四邊形口?？诳谑瞧叫兴倪呅危?/p>

由于Z7Z7C平面ZZ7OZZ7,口口匚平面□□□，

」.￡707平面ZZ7OZ7.

(2)，：□□L□□,□□工□□.□口,□□c^UEJ[J,□□□□□=□，:.口口語□□□,

?？谂c嗎=Jx2x2x^=V3,

所以口□-口0口—□□-□□□—；□□口,□口=gxgx4=竽,

即三棱錐口一?？谥?體積為竽.

【變式2-2]“2023?貴州校聯(lián)考二模)如圖甲，在四邊形PBCD中，PD〃BC,。。=口□=□□=□口=

口□.現(xiàn)將AABP沿AB折起得圖乙，點M是PD的中點.證明：

(1)￡7￡71口口;

⑵PCJ＞平面ABM.

【答案】Q)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)如圖，取AB的中點E,連接PE,CE,AC,由題意可證WBA、MBC是正三角形，則PE

_LAB、EC±AB.根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；

(2)如圖，取PC的中點N,連接MN,BN,則MN//AB，即A,B,N,M四點共面，得BNJ_PC.由

(1),結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】(1)如圖，取AB的中點E,連接PE,CE,AC,

'.1AD=BC且AD//BC,故四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.AB=CDHAB//CD.

又PB=PA=CD,

.-.PA=PB=AB,即WBA是正三角形,

.-.PE±AB,在圖甲中，乙□口口=60°,則N￡7ZZ7Z7=60