2021陜西西安西工大附中高三數(shù)學理科高考模考試含答案

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2021陜西西安西工大附中高三數(shù)學理科高考?？荚嚭鸢?/p>

一.選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分。在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.已知集合M={y?=ln(x2+e)},集合N=Ms=Ji二7},則()

4{x|0Sx<l}B.{x|0MxM2}C.{#xM2}D.{x|xM2松Ne}

2.歐拉公式e"=cosx+isinx。為虛數(shù)單位)是由瑞士著名的數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，

被譽為"數(shù)學中的天橋"。根據(jù)歐拉公式可知，e與’表示的復數(shù)在復平面中對應的點位于()

4第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn)第四象限

3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,方差為b,將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都乘以m(m>0)得到一組新數(shù)

據(jù)，則下列說法正確的是()

4這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為aA這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a+m

C.這組新數(shù)據(jù)的方差為wbD這組新數(shù)據(jù)的方差為m,

4.《三十六計》是中華民族珍貴的文化遺產(chǎn)，是一部傳習久遠的兵法奇書.三十六計共分

勝戰(zhàn)計、敵戰(zhàn)計、攻戰(zhàn)計、混戰(zhàn)計、并戰(zhàn)訐、敗戰(zhàn)計六套，每一套都包含六計，共三十六個

計策。如果從這36個計策中任取2個計策，則這2個計策來自同一套的概率是()

5.函數(shù)f(x)=(e*T-ei卜inx的部分圖像是()

ABCD

6.已知等差數(shù)列{a.}的前項和為S“，若S”=3875,5,=144,a?_4=139,

則”的值為〈〉

460855C.50D.45

7.過拋物線必=2px(p>0)的焦點F的直線,交拋物線于4B兩點，且與1=-5而，則直

理科數(shù)學第1頁共4JS

1/4

E4禮物L守'紇

線/的斜率是(

叵

2

8.直線=h交雙曲線C、4-2=](a>">0)于P,。兩點，〃是雙曲線C上一點,

ab2>

若直線MP與直線同。的斜率之積是:，則雙曲線C的離心率是()

24

C.26

~~3~

9.已知四面體ABCD的每個頂點都在球0的表面上，AB=AC=5fBC=S,

2Q_L底面NBC,M為A43c的重心，且直線DM與底面45c所成角的正切值為工，

2

則球0的表面積是()

,629634「671八2509

A.—nB.——冗C.——nD.-----n

3999

10.正A43c的邊長為3,M是正&所在平面內(nèi)一?點，則必?(2遠+荻)最小值是

()

1L已知實數(shù)x,y滿足條件(比胃:;，則(x+l)y的最大值是(〉

49

41BLC.--D.3

38

12.定義在RJ■的函數(shù)/(%)滿足/'(x)-2〃x)-8>0,且〃0)=-2,則不等式

/(x)>2e2x-4的解集為()

4(0,2)B.(0,+oo)C.(O,4)D.(4,+oo)

二.填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)

13.二項式?丫展開式中的常數(shù)項是______：

理科數(shù)學第2貝共4頁

2/4

14.直線/:皿+期-加-2"=0被圓必+J?=21裁得的弦長的最小值是

15.將函數(shù)/(X)的圖像向左平移/個單位長度，再把所得圖像上所有點的橫坐標伸長到原

來的4倍(縱坐標保持不變)得到g(x)=sin的圖像，則〃x)的解析式為.

16.在直角坐標系中，定義兩點4(三,必)與之間的"直角距離"為

“48)=|玉-9|+|%-對.若43是橢圓二+必=1上任意兩點，則"(48)的最大值是_

4

三.解答題：解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟。

17.在M.BC中，內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b、c,3。sin5=5(2sin3+3sinCcosB)。

(/)求cos。的值；(〃)若c=4且a+b=6,求A4BC面積。

18.已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等

腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

(1)證明：BN1.平面G4N;(〃)求二面角C-NB「Ci的余弦值.

19.某市政府為了節(jié)約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民

月用電量標準a,

用電量不超過々的部分按平價收費，超出。的部分按議價

收費.為此，政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量(單

位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),

[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分組的

頻率分布直方圖如圖所示.

(/)根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，求直方圖中工的值并估

計該市每戶居民月平均用電量〃的值；

(〃)用頻率估計概率，利用(1)的結(jié)果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態(tài)分布

(i)估計該市居民月平均用電量介于〃?240度之間的概率；

(ii)利用(i)的結(jié)論，從核審所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于"?240

度之間的戶數(shù)為y,求丫的分布列及數(shù)學期望E(F).

理科數(shù)學第3頁共4頁

3/4

-V2

20.已知橢圓C:彳+，=1,的左頂點為A,,過其右焦點F作直線交橢畫C于D,E(異于左、

右頂點)兩點,直線/Q,4E與直線/:x=4分別交于M,N,線段AW的中點為H，連接FH.

(/)求證：FHS.DE;匚if

(〃)求ADEH面積的最]t值。

21.已知函數(shù)/'(x)=Inx,g(x)=X2.

(/)若不等式/(x)Vox-1對xe(0,+oo)恒成立，求實數(shù)a的范圍；

(〃)若正項數(shù)列｛4｝("《N)滿足q=匕％”=亨%,數(shù)列｛4｝的前加項和為S”，

求證：2e&>2"+l.

選考題：共10分.請考生在第22、23中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計分.

22.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以原點為極點，以1軸的非負半軸為極軸建立極坐標系；曲線G

的極坐標方程為夕=4cos。。

Y—fCCWzy

｛y-：+，sina(a為參數(shù))'求曲線的直角坐標方程和曲線

。2的普通方程；

⑷若曲線G的參數(shù)方程為('為參數(shù))'點40'1)，曲線G與曲線G的交

點分別為M,N，求的取值范圍。

23.選修4-5:不等式選講

已知函數(shù)/■(；!：)=[3x+a|+|3x-a|.

(1)若a=l,解不等式/(x)26;

(〃)若不等式/'(x)2|a+2|對xeR恒成立，求實數(shù)冊取值范圍.

理科數(shù)學第4頁共4頁

4/4

高2021屆第十二次適應性訓練理科數(shù)學參考答案

L已知集合河=卜,=、（，+0）｝,集合及=｛，卜=7^7｝,則"nM=<

4付04x41｝B.｛x|04x42｝C.｛印MxM2｝。｛布《2則Ne｝

解：y*l,f，2,；選C。

2.歐拉公式4=85%+沔皿水為虛數(shù)單位）是由瑞士著名的數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴大到多數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復交函數(shù)論里非常重要，

當

被譽為“數(shù)學中的天橋”。根據(jù)歐拉公式可知，e3表示的復數(shù)在復平面中對應的點位于（）

4第一象限A第二象限C.第三象限D(zhuǎn)第四象限

解：e31=cos-+zsin—=---/>選。

3322

3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,方差為6,將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都乘以m（m>0）得到一組新數(shù)

據(jù)，則下列說法正確的是（）

A.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為aB.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a+m

C.這組新數(shù)據(jù)的方差為加6D這組新數(shù)據(jù)的方差為m3解：由定義可知，選。

4.《三十六計》是中華民族珍貴的文化遺產(chǎn)，是一部傳習久遠的兵法奇書。三十六計共分

勝戰(zhàn)計、敵戰(zhàn)計、攻戰(zhàn)計、混戰(zhàn)計、并戰(zhàn)計、敗戰(zhàn)計六套，每一套都包含六計，共三十六個

計策。如果從這36個計策中任取2個計策，則這2個計策來自同一套的概率是（）

“1D1n1即6C；1皿,

A.—B.—C.—D.—解：p=——=一，選4

7213542囁7

5.函數(shù)f（x）=（e'T-ei卜inx的部分圖像是（）

ABCD

解：/（0）=0,/（1）=0/（萬）=0,%￡（0,1）時，/（x）v0;xe。,%）時，/（x）>0o選/

6.己知等差數(shù)列｛%｝的前項和為S“，若S”=3875,$9=144,〃i=139,

則〃的值為（）4608.55C.50D.45

理科數(shù)學分考答案第1頁共9頁

1/9

解：Sg=144=9%=>%=16,Q[+4=%+。1=16+139=155,=22^=50，

q+4155

選C

7.過拋物線/=2px（p>0）的焦點廠的直線/交拋物線于N,8兩點，且萬二-5而，則直

線，的斜率是（）A.正3.三C.±3D.土叵

2222

解：當力在第一象限時，萬=-5BF=>|萬|=5|而|=—S--=-J￡—

Illi1-8S61+COS8

=cos6=,ntan8=咚?，由對稱性可知左=±^~,5&D。

8.直線/:y=fcc交雙曲線。：4-1=1（&>0/>0）于尸,。兩點，〃■是雙曲線C上一點,

ab

若直線MP與直線”。的斜率之積是g,則雙曲線C的離心率是（〉

A.2B.—C.260.4

3

解：■S^(小,"),P(%,%),2(-%,-%卜%-務=1號-%=1,

-2-2

k.k五竺上竺叫.巨，=e-2選力

X2_mz/一3'選”

9.已知四面體ABCD的每個頂點都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=3,

4O_L底面4BC,以為AASC的重心，且直線OM與底面4BC所成角的正切值為:，

則球。的表面積是（）A.7tB.71C.~~71D.------71

3999

o

解：延長4W如。于N,"=/C=5,Z?C=8n3=3,sinC=：,4M=2/iJ&4BC

a行4B25]

外接圓的半徑，=甚而=了，由直線?！迸c底面48c所成角的正切值為5，得

40=3㈤^=1，所以&2=（/。）+尸2="+簧=翳=s=4乃&2選8

理科數(shù)學參考答案第2頁共9頁

2/9

10.正M8C的邊長為3,M是正&4BC所在平面內(nèi)一點，則而?（2亞+荻）最小值是

）G

解:而?（2筱+荻）=3而?（!?赤+；流；）八己加二|前+3流，貝11麗二g而,

、七拉,“加八自士上C——(A^+A/V)AMO-NANA

連接y4N,取中點O,M4?MN=A-------1_V--------L=_J—

444

附2=9+1-2*3又巧=10-3=7,...忘?(2礪+荻)之號,選0。(或者建系)

k+2小2.、

11.己知實數(shù)滿足條件I-嘉6加（4以的最大值是（

49

A.1B.—C.-2).3

38

/、￡1

解(一)：設Z=(x+l)、n?=——,由邀意當-14x42時，y=~x+lt相切時

x+12—

I1O1

由>^=---,?=_彳工+1得/_%+2(，_1)=0,4=0='=7，此時％=.—€[_1,2],

x+12-82

3「3一

選C.解(二)：當一24x4-1時，^=-x+3=>(x+l)7e--,0；當14x42時,

2|_o

O1,「9-

?=rx_3=>(x+l)je[-3,0]；當_14工42時，^=--x+l=>(x+l)^e0,g,

22Lo_

當-2《x41時，j=-^-x-l=>(x4-l)ye^-3,ij>所以最大值為.。

解(三)：(x+i>=*+i)(2y)4?色勺生二也當且僅當"1=2%即x=；時等號成立

12.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/'(X)-2/(%)-8>0,且/(0)=-2,

則不等式/(%)>2￡2*—4的解集為()4(0,2)6.(0,So)C.(O,4)D.(4.+<?)

解：/(%)>2+-4o[(")+4>2,設g(x)=/(：+4,則g(0)=2.

理科數(shù)學參考答案第3頁共9頁

3/9

即g（〉g（。），g'（，）=3尚H空=以±產(chǎn)＞。

V）-\r；＜

???g（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=＞x＞0,選3。

，I2..t'?

13.二項式（4工-義］展開式中的常數(shù)項是解：C；（4x）［-/1=S169

14.直線/：爾+孫一加一2〃=0被圓X2+/=21截得的弦長的最小值是

,、._____與的短

解：直線，過定點”（1,2）,當ONU時，弦長最短，最小值為2,21-5三8

15.將函數(shù)f（x）的圖像向左平移右個單位長度，再把所得圖像上所有點的橫坐標伸長到原

—紗）-

來的4倍?〈縱坐標保持不變）的圖像，則/（X）的解析式為

解：將8（切=5m修+?）圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的;（縱坐標保持不變），得

到h（x）=sin（2x+?），再將〃（x）的圖像向右平移y個單位長度得到

/（x）=（聞=sin（2x喑）

16.在直角坐標系中，定義兩點/（芍,乂）與之間的■直角距離”為

"（48）=區(qū)-三|+也-切.若48是橢圓9+y=1上任意兩點，則d（4B）的最大值是_

解（—）：設N（2cosa,sina）,5（2cos/,sin/?）,由柯西不等式可知

d(4,B)=2|cosa-cosfl\+|sina-s\nfi\<J(4+,[|cosa-cos4『十|sina-sin

=V5?丁2-28s(a-6)M2>/5

解O設/&』）,鞏三㈤，則＜+＞=4+義=1.

bki二

理科數(shù)學叁考答案第4頁共9頁

4/9

1=笠'+，3+*仍4電%'）=（芋4*M8）+；（石%-彳2%）%（牛+如）=

恃+乂韭1,則丐J（i2）z=2-2（芋+詞“

由柯西不等式可知

（4+1）8；）-+（/-%）2川西-9|+帆-力|）2=（|占-引+瓦一叫）匕20=

LJ.

人一司+|弘一刃426.?.d（4B）=|x1T2卜|乂一必|的最大值是2氐

17.在MBC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為。力,c,3asinB=“2sin3+3sinCeos5）.

（1）求cosC的值；（〃）若c=4且a+b=6,求&4BC面積。

解：（1）由3asin5=b（2sin3+3sinCcosB）及正弦定理得

t-

3sin4sin8=sinB（2sinB+3sinCcosB）,?1Bw（0,%）,/.sin3w0,

則3sinN=2SinB+3sinCcos3=3sin（jB+C）=2sin5+3sinCcosB

2

=>3sinBcosC=2sinB=>cosC=-o

3

22

（〃）由。=4且a+b=6及余弦定理得。2=a+b-2obcosC

=16=（Q+8）2-a5sinC=-x6x—=>/5

223

18.己知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等

腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

（7）證明：BN±平面G4N；（〃）求二面角c-網(wǎng)-G的余弦值.

解：（/）證明???該幾何體的正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，???

BA,BCfBB｝兩兩垂直.以BA,BBX,BCf分別為xtytz軸建立空間直角坐標系，

，-

B（0,0,0）,N（4,4,0）,340,8,0），G（0,8,4）,C（0,0,4）

理科數(shù)學參行答案第s頁共9頁

5/9

則麗=(4.4,0),而=(4.-4,0)“?，麗?麗=16-16=O,BNJ_4N

跖=(0。4),麗?昭=4x0+4x0+0x4=0,j.HN_LBG

B

又用ND81cLiBN±平面4GN-

(//)??-8N?L平面耳GN，二麗=(4,4,0)是平面B|GN

的一個法向量。設7=(x,y,z)為平面的法向量，則

|??0?=0f(x,y,z)-(4,4.-4)=0fx+y-z=0

17?布=0,t(xj,z).(4,-4,0)=0，'[x-y=0'

qj.

不妨取X=1,貝3=1,z=2,則n=(1,1,2)是平面與CN的一個法向量

而3=4+4_1V3

則cos<BN,n>=

一|麗|.|獷W6+1U+1+4一耳―T"

所以，所求二面角C-N4-G的余弦值為弓.

19.某市政府為了節(jié)約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理J

即確定一戶居民月用電量標準。，用電量不超過a的部分按平價收費，

超出。的部分按議價收費.為此，政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電

盤(單位：度)，以[160,180),[180,200)；[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖所示.

(/)根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，

求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量n的值；

(〃)用頻率估計概率，利用(1)的結(jié)果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態(tài)分布

N.,/)

(i)估計該市居民月平均用電量介于〃?240

度之間的掇率；

(ii)利用(i)的結(jié)論，從該申所有居民中隨機

抽取3戶，記月平均用電量介號"?240度之間的

戶數(shù)為y,求y的分布列及數(shù)學期望E(r).

解；(1)由(0.002+0.00954-0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)x20=1(^x=0.0075

//=170x0.04+190x0.19+210x0.22+230x0.25+250x0.15+270x0.1+290x0.05=225.6

(2)(i)P(225.6<X<240)=i[r-2P(Z>240)]=1

(ii)?.?y~8(3，m，??.P(y=A)=c；(；JC*,*=o；L2,3?lt

理科數(shù)學參考答案第6頁共9頁"/

6/9

所以y的分布列為

Y0123

6448121

P

125125125125

1Q

.-.￡（r）=3x-l=^.

20.已知橢圓C:工+二=1的左頂點為A,過其右焦點F作直線交橢圓C于D,E（異于左

右頂點）兩點，直線4D,/E與直線/:x=4分別交于Af,N,線段處的中點為連接EW.

（7）求證：FH1.DE;（〃）求ADEK面積的最大值。

解：（/）由己知得尸（1,0）,設。（三,耳）,￡（%,%）直線OE的方程為毛=即+1,與橢圓方

程聯(lián)立得（3加2+4）+6my-9=0,必+%=，%％=-3m2+4

設直線4D的方程為＞=一匕一（x+2），與直線/:x=4聯(lián)立得Af［4,色同理可得

玉+2IXr+2）

生］，則%=^^=3（4+4）=3,即*+：（必+?）加

（匕+2）2I網(wǎng)+3myi+3）”必必+3閉（必+%）+9

_3m—0

日（4,一3桃）,％=一^-=當加=0時，顯然DE_LVH;

4—1

［：；.$?，-

當加，0時，k^k=—=DE1FH,綜上，可得

DFHm

（或者取直線OE的方向向量3=（加,1）,麗=（3,-3m）,，麗=3m-3m=0,「.OE_LM）

（"）1%-%|="（M+%）\"%=^t：）2+5^-

|DE|=3+I|M-%”：（1+）H到直線。確距離"=的巴

3m+4yjm+1

S^H=；|/xdJ與堂f，設—4^1=9=產(chǎn)-1,

"）=局*=島（/川，/（'）=隔＞。,

理科數(shù)學參考答案第7頁共9頁

7/9

,?./(，)在[I,皿)上單調(diào)遞增，/OL?=/(1)=1.S(=I.即m=0W取得最小血

/、

Q,[

.?"EH面積的最小值是會或者即'(r)=an」T說明在口；+6。)上單調(diào)遞增

21.已知函數(shù)/'(x)=lnx,g(x)=x2.1D

(1)若不等式/(X)VR-1對xe(0,+oo)恒成立，求實數(shù)淑范圍；

(〃)若正項數(shù)列｛%｝滿足0,=34“=爭&，數(shù)列｛4｝的前”項和為S“

求證：2人>2"+1.

解：(1)/(%)4辦T對Xw(0,+00)恒成立oa2處把對Xw(0,X0)恒成立，

設F(x)=W把(x>0),則尸(切=-整,xe(0,l)時，尸(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增；

xe。*0)時,尸(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減。F(x)g=F⑴=1,.-.aN1?

.??實數(shù)通取值范圍是口,+8).

（〃）取a=l,由（/）可知InxWx-l對xs（0,+oo）恒成立，貝!lln（l+/）4x

??a（）-x2a-2g（4）/0_2an_2a^=>