新高考數(shù)學一輪復習專題八平面解析幾何微專題三圓錐曲線中的證明與探究性問題練習含答案

微專題三圓錐曲線中的證明與探究性問題1.(2024湖南長沙市四縣區(qū)3月調(diào)研,18)如圖,已知A,B分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1的右頂點和上頂點,橢圓E的離心率為32,△ABO的面積為1.若過點P(a,b)的直線與橢圓E相交于M,N兩點,過點M作x軸的平行線,分別與直線(1)求橢圓E的方程;(2)證明:M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.解析(1)依據(jù)題意,得12ab∴橢圓E的方程為x24+y2(2)證法一:設(shè)直線MN:x=my+n,∵直線過點P(2,1),∴m+n=2.聯(lián)立x=my+n,x2+4y2=4,消去x得(m2Δ=4m2n2-4(m2+4)(n2-4)=16(m2-n2+4)>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),(y1≠1,y2≠1)則y1+y2=?2mnm2+4,y1y∵lAB:x+2y-2=0,∴C(2-2y1,y1),∵lBN:y=y2?1x2x+1,令y=y1,可得x要證明M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列,只需證明x1+xD=2xC.即證x1+(y1?1)x即證(my1+n)(y2-1)+(y1-1)(my2+n)=(4-4y1)(y2-1),即證(2m+4)y1y2+(n-m-4)(y1+y2)-2n+4=0,即證(2m+4)·n2?4m2+4+(n-m-4)·即證4m2+8mn+4n2-8(m+n)=0,即證(m+n)2-2(m+n)=0,∵m+n=2,∴上式成立,故x1+xD=2xC.∴M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.證法二:設(shè)直線MN:x=my+n,∵直線過點P(2,1),∴m+n=2.聯(lián)立x=my+n,x2+4y2=4,消去x得(m2設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)(y1≠1,y2≠1),則y1+y2=?2mnm2+4,y1y2=n2?4m2+4,又x1=my1+n∴x1y1?1+x2y又∵B,D,N三點共線,∴y2?1x2=y1?1xD,即x2y2?1=xDy1?1,∴∴x1+xD=2xC,∴M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.2.(2024東北三省四市教研聯(lián)合體模擬,17)在平面直角坐標系中,F1,F2分別為雙曲線C:3x2-y2=a2(a>0)的左、右焦點,過F2的直線l與雙曲線C的右支交于A,B兩點.當l與x軸垂直時,△ABF1面積為12.(1)求雙曲線C的標準方程;(2)當l與x軸不垂直時,作線段AB的中垂線,交x軸于點D.試判斷DF2||AB|是不是定值.若是,請求出該定值;解析(1)雙曲線方程可化為x2a23則c2=a23+a2,即c=23a3.當l與x軸垂直時,|AB|=2a2a3=23a,所以S△ABF1=12|F1F2|·|AB|=12×2×23a3×2(2)由(1)知,F2(2,0).設(shè)直線l的方程為x=ty+2(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M為AB中點,由3x2?y2=3,x=ty+2,消去x可得(3因此y1+y2=?12t3t2?1,y1y2=93t2?1,則x1+x2=t(y1+y2)+4=故線段AB的中垂線方程為y+6t3t2令y=0,得D?83t2?1,0,即|DF2又|AB|=1+=1+t2?12所以DF2||AB|=1.故3.(2024山東青島一模,19)已知O為坐標原點,點W為☉O:x2+y2=4和☉M的公共點,OM·OW=0,☉M與直線x+2=0相切,記動點M的軌跡為C.(1)求C的方程.(2)若n>m>0,直線l1:x-y-m=0與C交于點A,B,直線l2:x-y-n=0與C交于點A',B',點A,A'在第一象限,記直線AA'與BB'的交點為G,直線AB'與BA'的交點為H,線段AB的中點為E.①證明:G,E,H三點共線;②若(m+1)2+n=7,過點H作l1的平行線,分別交線段AA',BB'于點T,T',求四邊形GTET'面積的最大值.解析(1)設(shè)M(x,y),☉M與直線x+2=0的切點為N,由題意得|MN|2=|MW|2=|OM|2+|OW|2,(由OM·OW=0得OM⊥OW)所以|x+2|2=x2+y2+4,化簡得y2=4x,所以C的方程為y2=4x.(2)①證明:設(shè)線段A'B'的中點為F,因為l1∥l2,所以可設(shè)GA=λGA',GB=λGB',因為GE=12(GA+GB)=λ2(GA'+GB')=λ所以G,E,F三點共線,同理,H,E,F三點共線,所以G,E,H三點共線.②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A'(x3,y3),B'(x4,y4),將x=y+m代入y2=4x得,y2-4y-4m=0,所以y1+y2=4,y1y2=-4m,所以yE=y1+同理y3+y4=4,y3y4=-4n,yF=y3+y42=2(G,E,H,F均在定直線因為TT'∥l1,所以△EAT與△EAH面積相等,△EBT'與△EBH面積相等,所以四邊形GTET'的面積等于四邊形GAHB的面積.設(shè)G(xG,2),H(xH,2),直線AA':y-y1=y1?y3x1即y-y1=y1整理得直線AA':y=4x又因為yG=2,所以xG=2(y同理,直線BA':y=4x又因為yH=2,所以xH=2(y所以|GH|=|xG-xH|=(y1?y2所以四邊形GAHB的面積S=12|GH|·|y1-y2|==[(=(16+16m)≤4×(1+m)當且僅當(1+m)2=1+所以四邊形GAHB,即四邊形GTET'面積的最大值為16.4.(2024浙江杭州二模,18)已知A,B是橢圓E:x24+y2=1的左、右頂點,點M(m,0)(m>0)與橢圓上的點的距離的最小值為(1)求點M的坐標.(2)過點M作直線l交橢圓E于C,D兩點(與A,B不重合),直線AC與直線BD交于點G.(i)證明:點G在定直線上;(ii)是否存在點G,使得CG⊥DG?若存在,求出直線l的斜率;若不存在,請說明理由.解析(1)設(shè)P(x0,y0)是橢圓上一點,則x02+4y因為|PM|=(m?x0)2+y0①若0<m≤32,則|PM|min=1?1解得m=0(舍去).②若m>32,則|PM|min=4?4m解得m=1(舍去)或m=3.所以M點的坐標為(3,0).(2)(i)證明:設(shè)直線l:x=ty+3,C(x1,y1),D(x2,y2).由x=ty+3,x24+y2=1消去x得(所以y1+y2=-6tt2+4,y1y所以y1+y2=-65ty1y2,由Δ=16t2-80>0,得t>5或t<-5.易知直線AC的方程為y=y1x1+2(直線BD的方程為y=y2x2?2(聯(lián)立②③,消去y,得x+2x?2=(x1+2)聯(lián)立①④,消去ty1y2,得x+2x?2=解得x=43,即點G在直線x=43(ii)假設(shè)存在點G,