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文檔簡介
命題點9計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計預(yù)測說明計數(shù)原理作為高考的??純?nèi)容,可單獨考查,也會與古典概型結(jié)合考查.概率與統(tǒng)
計是高考考查的熱點,各種題型均有涉及,通常以實際生活為背景命題.主要考查古典
概型、相互獨立事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、獨
立性檢驗等問題,同時注重概率與統(tǒng)計、概率與其他知識(如數(shù)列和函數(shù))結(jié)合的綜合
問題.命題方向:1.二項式定理的應(yīng)用,考查特定項的系數(shù)、系數(shù)和的性質(zhì)等.3.計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計等知識相結(jié)合,考查隨機變量的分布列和均值、獨立事件的
概率、條件概率、二項分布和正態(tài)分布等.4.統(tǒng)計與概率和函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容結(jié)合,這有可能成為新的命題熱點.2.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析,多以統(tǒng)計圖表形式提供數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)的數(shù)字特征進行分析;統(tǒng)計
數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與回歸分析,獨立性檢驗等的綜合.預(yù)測探究識透高頻考點1.(2024重慶八中5月模擬,7)已知盤子A中有3顆糖,盤子B中有4顆糖,小琨每次隨機從其
中一個盤子中選擇吃一顆糖,直到7顆糖全部吃完為止,則盤子A中的糖先吃完的概率
為
(
)A.
B.
C.
D.
C2.(多選)(2024廣東佛山質(zhì)檢(二),11)在一個有限樣本空間中,假設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=
,且A與B相互獨立,A與C互斥,則
()A.P(A∪B)=
B.P(
|A)=2P(A|
)C.P(
|AB)=1D.若P(C|B)+P(C|
)=
,則B與C互斥BCD3.(2024山東省實驗中學(xué)模擬,12)已知(ax-2)
的展開式中常數(shù)項為-2,則實數(shù)a的值為
0
.4.(2024廣東深圳二模,17)某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生
產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn),質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn):甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%;乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%;若將這兩批零件混合放在一起,則
合格品率為97%.(1)從混合放在一起的零件中隨機抽取3個,用頻率估計概率,記這3個零件中來自甲工
廠的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單,甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲
工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率,大于在甲工
廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A=“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”,事件B=“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生
產(chǎn)”,已知0<P(B)<1,證明:P(A|B)>P(A|
).
基礎(chǔ)知識運用
離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;條件概率公式
解析
(1)設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件,乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件,事件M=“混合放在一起零件來自甲工廠”,事件N=“混合放在一起零件來自乙工
廠”,事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,則P(M)=
,P(N)=
,P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×
+98%×
=97%,計算得3m=n.所以P(M)=
=
.X的可能取值為0,1,2,3,X~B
,P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
.所以X的分布列為X0123P
數(shù)學(xué)期望E(X)=3×
=
.(2)證明:因為在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的
概率,大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的
概率,所以P(B|A)>P(B|
),即
>
.因為P(A)>0,P(
)>0,所以P(AB)P(
)>P(
B)P(A).因為P(
)=1-P(A),P(
B)=P(B)-P(AB),所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),即P(AB)>P(A)P(B),所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).又因為1-P(B)=P(
),P(A)-P(AB)=P(A
),所以P(AB)P(
)>P(B)P(A
).因為0<P(B)<1,0<P(
)<1,所以
>
.即得證P(A|B)>P(A|
).5.(2024湖南長沙長郡中學(xué)適應(yīng)性測試(四),16)為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯題情況,
某課題組在某市中學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生,調(diào)查他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平
時整理數(shù)學(xué)錯題情況,并繪制了兩個統(tǒng)計圖,圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布
直方圖,圖2為學(xué)生一個星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分
及以上視為優(yōu)秀,將一個星期內(nèi)有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯題視為“經(jīng)常整理”,少于4
天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中,經(jīng)常整理錯題的學(xué)生占70%.整理錯題情況數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計經(jīng)常整理
不經(jīng)常整理
合計
(1)求圖1中m的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù);(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù),補全上方2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯題是否有關(guān)?(3)用頻率估計概率,在全市中學(xué)生中按“經(jīng)常整理錯題”與“不經(jīng)常整理錯題”進行
分層隨機抽樣,隨機抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機抽取2人進行座談.求這2名同
學(xué)中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:χ2=
.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828
綜合知識考查
統(tǒng)計圖表;獨立性檢驗;分布列和數(shù)學(xué)期望
解析
(1)由題意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,因為(0.0025+0.005+0.0175)×20=0.5,(0.0025+0.005+0.0175+0.015)×20=0.8,所以學(xué)生
期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)在區(qū)間[110,130)內(nèi),所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上
四分位數(shù)為110+20×
=
分.(2)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有100×50%=50人,不優(yōu)秀的有100×50%=50人,經(jīng)常整理錯題的有100×(40%+20%)=60人,不經(jīng)常整理錯題的有100-60=40人,經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的
有50×70%=35人,則2×2列聯(lián)表為整理錯題情況數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計5050100零假設(shè)為H0:數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯題無關(guān),χ2=
=
>3.841=x0.05,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整
理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(3)由分層隨機抽樣知,隨機抽取的5名學(xué)生中經(jīng)常整理錯題的有3人,不經(jīng)常整理錯題
的有2人,則X的可能取值為0,1,2,經(jīng)常整理錯題的3名學(xué)生中,恰抽到k人記為事件Ak(k=
0,1,2),則P(Ak)=
(k=0,1,2),參與座談的2名學(xué)生中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的恰好抽到m人記為事件Bm(m=0,
1,2),則P(B0|A0)=1,P(B0|A1)=
,P(B0|A2)=
=
,P(B1|A1)=
,P(B1|A2)=
×
×
=
,P(B2|A2)=
=
,P(X=0)=P(A0)·P(B0|A0)+P(A1)·P(B0|A1)+P(A2)·P(B0|A2)=
×1+
×
+
×
=
,P(X=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=
×
+
×
=
,P(X=2)=P(A2)·P(B2|A2)=
×
=
,故X的分布列如下:X012P
所以E(X)=0×
+1×
+2×
=0.7.悟透新型考法(2024河北邯鄲三模,17)2021年教育部印發(fā)的《進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工
作的通知》中提出,中小學(xué)校要保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間,每天
統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動.一學(xué)校某體育項目測試有40%的人滿分,而該校有
20%的學(xué)生每天運動時間超過兩個小時,這些人體育項目測試滿分率為50%.(1)從該校隨機抽取三人,三人中體育項目測試相互獨立,求三人中滿分人數(shù)的分布列
和期望;(2)現(xiàn)從每天運動時間不超過兩個小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,求他體育項目測試
滿分的概率;(3)體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓(xùn)練,每次傳球,傳球者等可能地將球傳給
另外兩個人中的任何一人,第1次由甲將球傳出,求第n次傳球后球在乙手中的概率.
創(chuàng)新考法
概率與數(shù)列相結(jié)合
解析
(1)從該校隨機抽取三人,每個人滿分的概率為40%.設(shè)抽取的三人中滿分人數(shù)為X,則X=0,1,2,3.則P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
,則X的分布列為X0123P
因為X~B
,所以數(shù)學(xué)期望E(X)=3×
=
.(2)用A表示事件“抽到每天運動時間超過兩個小時的學(xué)生”,則P(A)=20%,P(
)=1-20%=80%.用B表示事件“抽到體育項目測試滿分的學(xué)生”,則P(B)=40%,P(B|A)=50%.又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,P(B)=P(AB)+P(
B)=10%+P(
B)=40%,故P(
B)=30%.P(B|
)=
=
=
.(3)記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后,球在乙的手中”,設(shè)n次傳球后球在乙手中的概率為pn,n∈N*,則有p1=
,An+1=
An+1+AnAn+1,所以pn+1=P(
An+1+AnAn+1)=P(
An+1)+P(AnAn+1)=P(
)P(An+1|
)+P(An)P(An+1|An)=(1-pn)·
+pn·0=
(1-pn),即pn+1=-
pn+
,n∈N*,所以pn+1-
=-
,且p1-
=
,所以
是以
為首項,-
為公比的等比數(shù)列,所以pn-
=
×
,所以pn=
×
+
=
.即n次傳球后球在乙手中的概率是
.參透創(chuàng)新情境(2024湖北武漢武昌5月質(zhì)檢,19)利用方程的方法可以將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù),例如
將0.
化為分?jǐn)?shù)的方法如下:設(shè)0.
=x,則31.
=100x,即31+x=100x,解得0.
=
.這是一種利用方程求解具有無限過程問題的方法,該方法在高中階段計算無限概率、無限期
望問題時都有妙用.已知甲、乙兩人進行乒乓球比賽,每局比賽甲獲勝的概率為
,乙獲勝的概率為
,每局比賽的結(jié)果互不影響.規(guī)定:凈勝m局指的是一方比另一方多勝m局.(1)如果約定先獲得凈勝兩局者獲勝,求恰好4局結(jié)束比賽的概率.(2)如果約定先獲得凈勝三局者獲勝,那么在比賽過程中,甲可能凈勝i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,設(shè)甲在凈勝i局時,繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為Pi,比賽結(jié)束(甲、乙有一方先凈勝三局)
時需進行的局?jǐn)?shù)為Xi,期望為E(Xi).(i)求甲獲勝的概率P0;(ii)求E(X0).
創(chuàng)新情境
利用無限過程的方程求解思想,解決題設(shè)問題
解析
(1)若4局結(jié)束比賽時甲獲勝,則在前2局甲、乙各勝一局,并且第3,4局甲勝.概率為
×
×
×
=
;若4局結(jié)
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