概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件 第3章3節(jié)

第3章隨機(jī)變量及其分布本章主要介紹隨機(jī)變量及其分布的概念。隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示的變量，它可以是離散的或連續(xù)的。隨機(jī)變量的分布描述了隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律。ffbyfsadswefadsgsa3.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示的變量。隨機(jī)變量的值是不確定的，其取值取決于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果。1定義隨機(jī)變量是將隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果用數(shù)值表示的變量。2取值隨機(jī)變量的值是不確定的，其取值取決于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果。3類型隨機(jī)變量可以是離散的或連續(xù)的。隨機(jī)變量的類型取決于其取值的性質(zhì)。如果隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)，則稱為離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量的取值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可以取任意值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。3.2離散型隨機(jī)變量定義離散型隨機(jī)變量是指其取值只能是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)的隨機(jī)變量。例如，擲一枚硬幣的正面次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樗荒苋≈禐?或1。概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布是指該隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。它通常用概率質(zhì)量函數(shù)(PMF)來描述。例子例如，如果擲一枚公平的硬幣3次，那么正面次數(shù)的概率分布如下所示：P(X=0)=1/8，P(X=1)=3/8，P(X=2)=3/8，P(X=3)=1/8。3.3連續(xù)型隨機(jī)變量1定義連續(xù)型隨機(jī)變量是指其取值可以在一個(gè)連續(xù)區(qū)間內(nèi)變化的隨機(jī)變量。例如，人的身高、體重、血壓等。它的概率分布是通過概率密度函數(shù)來描述的。2概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是指一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在每個(gè)取值點(diǎn)上的概率密度。通過積分可以計(jì)算出隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。3分布函數(shù)分布函數(shù)是指一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率累積函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量小于某個(gè)值的概率。分布函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，且其值域?yàn)閇0,1]。3.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量是指其取值可以在某個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)變化的隨機(jī)變量。它與離散型隨機(jī)變量不同，離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)。1連續(xù)型隨機(jī)變量2取值范圍連續(xù)3可取無限多個(gè)值例如，人的身高、體重、血壓等都是連續(xù)型隨機(jī)變量。它們的值可以在某個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)變化，而不是只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值。3.3.2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)定義對于一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)f(x)是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，它滿足以下條件：性質(zhì)f(x)的積分在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上等于1，即∫f(x)dx=1。意義f(x)代表了隨機(jī)變量X在某個(gè)特定值x附近的概率密度，而不是該值處的具體概率。3.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)1定義連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是指在某一特定值以下的概率值。它是隨機(jī)變量取值的累積概率。2性質(zhì)分布函數(shù)是單調(diào)遞增的，并且取值在0到1之間。它在負(fù)無窮處取值為0，在正無窮處取值為1。3應(yīng)用分布函數(shù)可以用來計(jì)算隨機(jī)變量落在特定區(qū)間內(nèi)的概率，也可以用來求隨機(jī)變量的各種統(tǒng)計(jì)特征。3.3.4連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1定義期望反映隨機(jī)變量的平均值2計(jì)算積分計(jì)算，用概率密度函數(shù)加權(quán)3意義反映隨機(jī)變量的長期平均值連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是衡量該隨機(jī)變量取值的平均水平的指標(biāo)，其定義為隨機(jī)變量值乘以該值出現(xiàn)的概率的積分。期望的計(jì)算方法是將隨機(jī)變量的取值乘以其概率密度函數(shù)，然后對整個(gè)取值范圍進(jìn)行積分。期望的意義在于它反映了隨機(jī)變量的長期平均值，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量取值的平均值趨近于其期望值。3.3.5連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差是衡量隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)。方差越大，隨機(jī)變量取值越分散；方差越小，隨機(jī)變量取值越集中。1方差的定義方差是隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望2方差的計(jì)算公式方差可以用積分計(jì)算3方差的性質(zhì)方差是非負(fù)的，且方差為0當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)變量為常數(shù)方差的計(jì)算需要利用積分，而積分的計(jì)算可能比較復(fù)雜。為了簡化計(jì)算，可以使用一些常用的公式和性質(zhì)。3.3.6連續(xù)型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，用于衡量隨機(jī)變量的離散程度。公式連續(xù)型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差用σ表示，計(jì)算公式為σ=√Var(X)。意義標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的離散程度越大，反之亦然。3.4常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布1均勻分布均勻分布是指在給定區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率都是相等的。2指數(shù)分布指數(shù)分布常用來描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔，例如設(shè)備的壽命或兩次故障之間的時(shí)間間隔。3正態(tài)分布正態(tài)分布是自然界中最常見的分布之一，它可以用來描述許多隨機(jī)現(xiàn)象，例如身高、體重、血壓等。3.4.1均勻分布均勻分布是一種簡單的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它表示一個(gè)隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率是均勻的。均勻分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)常數(shù)，其值等于區(qū)間長度的倒數(shù)。均勻分布的分布函數(shù)是一個(gè)線性函數(shù)，其斜率等于區(qū)間長度的倒數(shù)。1定義概率密度函數(shù)為常數(shù)2性質(zhì)概率密度函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)3應(yīng)用模擬隨機(jī)事件3.4.2指數(shù)分布1定義隨機(jī)變量X表示事件持續(xù)時(shí)間2概率密度函數(shù)f(x)=λe^(-λx)3分布函數(shù)F(x)=1-e^(-λx)4性質(zhì)無記憶性指數(shù)分布是描述事件發(fā)生時(shí)間的概率分布。例如，一個(gè)燈泡的壽命可以用指數(shù)分布來描述。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)由參數(shù)λ決定，λ表示事件發(fā)生的速率。指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是無記憶性，即事件發(fā)生的概率與之前事件的發(fā)生時(shí)間無關(guān)。3.4.3正態(tài)分布正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常見的分布之一。它也是許多實(shí)際現(xiàn)象的理想模型。例如，人類身高，血壓，考試成績等都近似服從正態(tài)分布。1正態(tài)分布的密度函數(shù)鐘形曲線，對稱2正態(tài)分布的性質(zhì)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差3正態(tài)分布的應(yīng)用數(shù)據(jù)分析，質(zhì)量控制3.4.4正態(tài)分布的性質(zhì)1對稱性以均值為中心左右對稱2峰度鐘形曲線，最高點(diǎn)在均值處3漸進(jìn)性曲線兩端無限接近橫軸正態(tài)分布的概率密度函數(shù)滿足對稱性，以均值為中心左右對稱。鐘形曲線在均值處達(dá)到峰值，且兩端無限接近橫軸。這些性質(zhì)使得正態(tài)分布在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛。3.4.5正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化1標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量將任意一個(gè)隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z，稱為標(biāo)準(zhǔn)化。2標(biāo)準(zhǔn)化公式Z=(X-μ)/σ，其中μ為X的期望，σ為X的標(biāo)準(zhǔn)差。3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化后，隨機(jī)變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。3.4.6正態(tài)分布的應(yīng)用數(shù)據(jù)分析正態(tài)分布是數(shù)據(jù)分析中最為常見的分布之一，可以用于描述各種數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。例如，身高、體重、血壓等數(shù)據(jù)通常服從正態(tài)分布。質(zhì)量控制在質(zhì)量控制中，正態(tài)分布可以用于評估產(chǎn)品的質(zhì)量水平，以及預(yù)測產(chǎn)品的合格率和失效率。金融領(lǐng)域在金融領(lǐng)域，正態(tài)分布可以用于模擬金融資產(chǎn)的價(jià)格變化，以及預(yù)測投資組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)。醫(yī)學(xué)研究在醫(yī)學(xué)研究中，正態(tài)分布可以用于分析患者的健康指標(biāo)，以及評估藥物的效果和安全性。其他領(lǐng)域除了上述領(lǐng)域，正態(tài)分布在物理學(xué)、工程學(xué)、社會學(xué)等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。3.5隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)是指將隨機(jī)變量作為自變量的函數(shù)。例如，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，則Y=g(X)是一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)。1定義將隨機(jī)變量作為自變量的函數(shù)2性質(zhì)函數(shù)本身也是一個(gè)隨機(jī)變量3應(yīng)用研究隨機(jī)變量的變換隨機(jī)變量的函數(shù)的性質(zhì)與隨機(jī)變量本身密切相關(guān)。例如，隨機(jī)變量函數(shù)的分布、期望和方差可以通過隨機(jī)變量本身的分布、期望和方差來計(jì)算。3.5.1隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1基本概念設(shè)X為隨機(jī)變量，g(x)為定義在X的取值范圍上的函數(shù)，則g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。2分布函數(shù)g(X)的分布函數(shù)可以通過X的分布函數(shù)和g(x)的關(guān)系來求得。3概率密度函數(shù)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則g(X)的概率密度函數(shù)可以通過X的概率密度函數(shù)和g(x)的關(guān)系來求得。3.5.2隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X為隨機(jī)變量，g(X)為X的函數(shù)，則g(X)的數(shù)學(xué)期望為：性質(zhì)若c為常數(shù)，則E[cg(X)]=cE[g(X)]，且E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]。計(jì)算根據(jù)隨機(jī)變量X的類型，可以使用不同的方法計(jì)算g(X)的數(shù)學(xué)期望，例如，離散型隨機(jī)變量可以使用求和公式，連續(xù)型隨機(jī)變量可以使用積分公式。3.5.3隨機(jī)變量的函數(shù)的方差1定義隨機(jī)變量函數(shù)的方差是其期望值與期望值的平方的差2公式Var(g(X))=E[(g(X)-E[g(X)])2]3計(jì)算利用期望值公式和積分計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的方差可以用來衡量隨機(jī)變量函數(shù)的波動程度。方差越大，波動程度越大。隨機(jī)變量函數(shù)的方差可以用來計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。3.6多維隨機(jī)變量1二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量的集合，它們在同一樣本空間內(nèi)取值。它們可以表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，例如身高和體重。2聯(lián)合分布聯(lián)合分布描述了二維隨機(jī)變量取值的概率。它可以表示為一個(gè)二維函數(shù)，其中每個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)于兩個(gè)變量的特定取值組合的概率。3相關(guān)性相關(guān)系數(shù)是衡量兩個(gè)隨機(jī)變量線性關(guān)系強(qiáng)度的指標(biāo)。它可以是正的、負(fù)的或零的，分別表示正相關(guān)、負(fù)相關(guān)或無相關(guān)。3.6.1二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量是指兩個(gè)隨機(jī)變量的組合。一個(gè)例子是身高和體重，它們共同描述了一個(gè)人的體型。1定義兩個(gè)隨機(jī)變量的組合2例子身高和體重3意義描述多個(gè)特征二維隨機(jī)變量允許我們研究多個(gè)特征之間的關(guān)系，例如，身高和體重之間的相關(guān)性。3.6.2二維隨機(jī)變量的邊緣分布1邊緣分布一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。2二維隨機(jī)變量兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。3邊緣分布計(jì)算從聯(lián)合分布中計(jì)算某個(gè)隨機(jī)變量的分布。邊緣分布描述的是二維隨機(jī)變量中單個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。它可以通過對聯(lián)合分布進(jìn)行積分或求和來得到。例如，如果(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，那么X的邊緣分布可以由Y取所有可能值的聯(lián)合概率分布積分得到。邊緣分布是一個(gè)重要的概念，因?yàn)樗梢宰屛覀兞私鈫蝹€(gè)隨機(jī)變量的概率分布，而不需要考慮其他隨機(jī)變量。3.6.3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布定義二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布描述了兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率分布。聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)表示兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取值小于或等于某兩個(gè)值的概率，它是一個(gè)二元函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度函數(shù)描述了兩個(gè)隨機(jī)變量在