專題03解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線(原卷版+解析)(重點突圍)

專題03解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一底邊有中點時，連中線】 1【題型二底邊無中點時，作高】 7【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 14【典型例題】【題型一底邊有中點時，連中線】例題：(2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，．D為邊的中點，E，F(xiàn)分別在上，于點D．(1)求證：是等腰三角形．(2)求的最小值．【變式訓練】1．(2023春·北京海淀·八年級北京二十中?？茧A段練習）如圖：在中，，D為邊的中點，過點D作于點E，于點F．(1)求證：；(2)若，求的周長．2．(2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．3．(2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【題型二底邊無中點時，作高】例題：(2023春·江蘇·八年級期末）如圖，點D、E在的邊上，，，求證：．【變式訓練】1．(2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，．求邊上的高的長．2．(2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，與均為等腰三角形，，且，為延長線上一點，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．3．(2023春·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：(2023春·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【變式訓練】1．(2023春·河北石家莊·八年級?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．專題03解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一底邊有中點時，連中線】 1【題型二底邊無中點時，作高】 7【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 14【典型例題】【題型一底邊有中點時，連中線】例題：(2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，．D為邊的中點，E，F(xiàn)分別在上，于點D．(1)求證：是等腰三角形．(2)求的最小值．答案:(1)見解析(2)最小值為分析：（1）連接，證明，解題即可；（2）先根據(jù)勾股定理求得，則，取中點G，連接，則，即即可解題．【詳解】（1）如圖，連接．∵為直角三角形，且，D為的中點，∴，且平分，，∴．

又∵，∴，∵，∴，

∴，

∴，∴是等腰直角三角形．（2）∵，∴，∴，取中點G，連接，∵，∴，∴，∴最小值為．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．(2023春·北京海淀·八年級北京二十中?？茧A段練習）如圖：在中，，D為邊的中點，過點D作于點E，于點F．(1)求證：；(2)若，求的周長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）連接，可得平分，再根據(jù)證明，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件證明為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）證明：連接，∵，為邊的中點，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴，∴；（2）解：，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴的周長為．【點睛】本題主要考查了三線合一，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．(2023春·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．答案:(1)；(2)，理由見解析．分析：（1）連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)可推導，進而證明，即可得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，利用（1）中的證明思路，再次證明，證得，即可利用等量代換得到．【詳解】（1）解：連接，∵，，點是的中點∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．(2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．答案:(1)①見解析；②18(2)2分析：（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點O為的中點，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點O作，交的延長線于點H，∵，，點O為的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型二底邊無中點時，作高】例題：(2023春·江蘇·八年級期末）如圖，點D、E在的邊上，，，求證：．答案:見解析分析：過點A作于P，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得到答案．【詳解】證明：如圖，過點A作于P，∵，，∴；∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：三線合一，解題的關(guān)鍵是作輔助線．【變式訓練】1．(2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，．求邊上的高的長．答案:邊上高的為分析：過作于，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，即可得出邊上高的長．【詳解】解：如圖，過作于，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，∴邊上高的為．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．2．(2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，與均為等腰三角形，，且，為延長線上一點，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．答案:(1)20°(2)見解析(3)分析：（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過點作于點，過點作于點，證明，得出，，進而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過點作于點，過點作于點，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．3．(2023春·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．答案:(1)；(2)見解析；(3)與相等或互補分析：（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補，因此與互補．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過點作于E點，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個三角形面積相等，綜合能力較強，有一定難度.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：(2023春·上海普陀·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點C作交于點M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點C作交于點M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．(2023春·河北石家莊·八年級校考期中）(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．答案:(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是分析：（1）證（），得，即可；（2）延長交于點F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（