熱點(diǎn)10圖形相似(原卷版+解析)

熱點(diǎn)10圖形相似安徽中考數(shù)學(xué)中圖形的相似常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形全等或相似的性質(zhì)與判定，選擇題時(shí)常與函數(shù)結(jié)合，難度中等，簡(jiǎn)答題難度較大．此類題目第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，后面的問(wèn)題需要結(jié)合第一問(wèn)的方法進(jìn)行類比解答．根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題、翻折類問(wèn)題等?？键c(diǎn)一：相似與函數(shù)的綜合【例1】．(2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）如圖，P是矩形ABCD的一邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM與矩形ABCD的邊交于點(diǎn)N，連接BM，BN，若AB＝6，AD＝2AP＝4，△BMN的面積為S，設(shè)DM＝x，則下列圖象能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【例2】．(2023·安徽蕪湖）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝15OB，延長(zhǎng)AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則kA．3 B．2 C．52 考點(diǎn)二：與幾何的綜合【例3】．(2023·安徽滁州·一模）如圖，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC、AE＝AD，連接CD，連接BE并延長(zhǎng)交AC，AD于點(diǎn)F、G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF＝CF?AC．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例4】．(2023·安徽·二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF，BE相交于G，則AGGFA． B．35 C．22 D．【例5】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，矩形紙片ABCD中，，．點(diǎn)E、G分別在AD，DC上，將△ABE、△EDG分別沿、EG翻折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)E、F、H、C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，連接DH，則線段DH長(zhǎng)為（

）A．4510 B．4310 C．【例6】．(2023·安徽合肥）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)．（1）EG：AC______；（2）AF______．【例7】．（2023·安徽）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且滿足條件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．（1）當(dāng)OP＝時(shí)，OQ＝_______________；（2）若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，則OQ的最小值為_(kāi)____________________．【例8】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線分別交CD，AC于點(diǎn)F，E．(1)求證：△CBF～△ABE；(2)若AB=10，BC=6，求△CBF的面積，(3)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出CEAE的值為_(kāi)_____．【例9】．(2023·安徽·三模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)（不與A、D重合），點(diǎn)F在邊DC延長(zhǎng)線上，，連接、、EF，EF交BC于點(diǎn)M，交對(duì)角線BD于N．(1)求證：∠BEF=45°；(2)若平分∠ABD，求證：BE2(3)若，則EN:NM:MF=__________（直接寫(xiě)答案）．【例10】．(2023·安徽安慶）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，CF＝BF．(1)求證：△ADE≌△FCD；(2)如圖（2），連接DB交AE于點(diǎn)G．

①若AG＝DC，求證：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求CFBD考點(diǎn)三：相似與動(dòng)點(diǎn)綜合【例11】．(2023秋·安徽池州）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6．若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長(zhǎng)為(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積有最大值，最大值為多少？【例12】．(2023秋·安徽安慶）如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA=8，OC=6，連接OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0<t<6，連接DE，作DF⊥DE交OA于F，連接EF(1)如圖一，當(dāng)四邊形DFAE為矩形時(shí)，求t的值．(2)如圖二，試證明在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DFE∽△ABO．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF面積最大？最大值為多少？考點(diǎn)四：相似壓軸【例13】．(2023秋·安徽滁州）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在線段CB上，求證：；(2)設(shè)BP=x、CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與C，B重合），且保持∠APQ=90°，當(dāng)CQ=1時(shí)，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．【例14】．(2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，BM是中線，AH是高，HD⊥BM于D，BH=CM．(1)求證：D為BM的中點(diǎn)；(2)如圖2，連接AD并延長(zhǎng)交BC于E，若AB=BM，EA=EC．①求證：△BDE∽△ABE；②求的值．【例15】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖1，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在邊AB上，連接CE．過(guò)點(diǎn)E作PE⊥CE分別交AC、AD于點(diǎn)F，點(diǎn)P、過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為點(diǎn)H．分別交CE，CD于點(diǎn)G，點(diǎn)Q，∠BAC=α．(1)求證：△AFP∽△QGC；(2)如圖2，若tanα=1且點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求證：EF=EG；(3)如圖3，若EF=EG，tanα=45，求的值．1．(2023秋·安徽安慶）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線m、n分別與直線l1、l2、l3分別交于點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，則BCACA．35 B．58 C．532．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一個(gè)條件，則以下所添加條件不正確的為（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．ADAB=AE3．（2023秋·安徽六安）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中與⑤相似的三角形是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④4．(2023秋·安徽合肥）如圖，已知△ABC與△ADE中，∠C=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然不能判定△ABC與△DAE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．AB：AC=AD：DE C．AD//BC D．BC：AC=AD：AE5．(2023秋·安徽安慶）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④6．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△OAB中，OC平分∠BOA交AB于點(diǎn)C，BD平分∠OBA交OA于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)E，反比例函數(shù)y=kx，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，若OB=2，CEOE=1A． B．89 C．43 D．7．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN，OM，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．△AMN是等邊三角形 B．MN的最小值是2C．當(dāng)MN最小時(shí)，S△CMN=18S菱形ABCD8．(2023秋·安徽蚌埠）黃金分割在我們生活中應(yīng)用廣泛，如主持人站在舞臺(tái)的黃點(diǎn)分割位置會(huì)更自然得體．已知線段AB長(zhǎng)為6，C是AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則AC的值為_(kāi)_____．9．(2023秋·安徽合肥）在如圖的正方形格點(diǎn)紙中，每個(gè)小的四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B、C、D都是格點(diǎn)，AB與CD相交于O，則AO：OB＝_____．10．(2023秋·安徽合肥）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的點(diǎn)，且AD=3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，∠ACD=∠BED=45°，CD=6（1）∠A+∠EBD=__________；

（2）AB=_________cm11．（2023秋·安徽合肥）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE=CF，CE交于M．（1）若E為AB中點(diǎn)，則＝_____；（2）若∠CMF=60°，則＝_____．12．(2023秋·安徽六安）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)CEEB（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為_(kāi)______．13．(2023秋·安徽亳州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?4,3（1）將ΔABC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到ΔA1B1C（2）以點(diǎn)A為位似中心將ΔABC放大2倍，得到，畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．14．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，將矩形紙片ABCDAD>DC沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上，落點(diǎn)為F，折痕交AB邊于點(diǎn)E(1)求證：△EFB～△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求的長(zhǎng)；15．(2023秋·安徽合肥）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示：BP=______，BQ=______；(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似？16．(2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，D重合），連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E．(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，且AP﹥AE時(shí)，求證：PE=PC；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BE的取值范圍．17．(2023秋·安徽合肥）如圖①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，BE＝DF，EF與AD相交于點(diǎn)G，連接CE，CF．(1)求證：CE＝CF；(2)求證：△DFG∽△DCF；(3)如圖②，連接CG，若AB＝4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求CG長(zhǎng)．18．(2023·安徽·統(tǒng)考三模）已知：在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：△AEF≌△DFG；(2)如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)N，連接EN，求證：EN=AE+DN；(3)如圖3，若AE=AD，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：熱點(diǎn)10圖形相似安徽中考數(shù)學(xué)中圖形的相似常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形全等或相似的性質(zhì)與判定，選擇題時(shí)常與函數(shù)結(jié)合，難度中等，簡(jiǎn)答題難度較大．此類題目第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，后面的問(wèn)題需要結(jié)合第一問(wèn)的方法進(jìn)行類比解答．根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題、翻折類問(wèn)題等?？键c(diǎn)一：相似與函數(shù)的綜合【例1】．(2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）如圖，P是矩形ABCD的一邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM與矩形ABCD的邊交于點(diǎn)N，連接BM，BN，若AB＝6，AD＝2AP＝4，△BMN的面積為S，設(shè)DM＝x，則下列圖象能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．答案:B分析：當(dāng)點(diǎn)N在CD邊上時(shí)，即0≤x≤3時(shí)，證明△APM∽△DNM，得到DNAP=DMAM，即DN2=x4?x，求出DN，根據(jù)面積和差關(guān)系求出S；當(dāng)點(diǎn)N在BC邊上時(shí)，即3<x≤4時(shí)，證明△APM∽△【解答】解：當(dāng)點(diǎn)N在CD邊上時(shí)，即0≤x≤3時(shí)，∵AB∥DC，∴△APM∽△DNM∴DNAP=DM解得DN=2x∴S==4×6?12×6當(dāng)點(diǎn)N在BC邊上時(shí)，即3<x≤4時(shí)，∵AD∥BC，∴△APM∽△BPN，∴AMBN∴BN=4AM=4(4-x)=16-4x，∴S===?12x+48，∴當(dāng)0≤x≤3，3<x≤4時(shí)，S與x的函數(shù)關(guān)系均為一次函數(shù)關(guān)系，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象，正確掌握相似三角形的判定及性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的線段計(jì)算面積是解題的關(guān)鍵．【例2】．(2023·安徽蕪湖）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，OC＝15OB，延長(zhǎng)AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則kA．3 B．2 C．52 答案:A分析：作AE⊥BC于E，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及OC=15OB得出OC=12CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得S△CEA=1，進(jìn)而根據(jù)題意求得S△AOE=32，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k【解答】解：作AE⊥BC于E，連接OA，∵AB=AC，∴CE=BE，∵OC=15OB∴OC=14BC=14×2CE=12∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴S△CEA∵△BCD的面積等于1，OC=15OB∴S△COD=14S△BCD=1∴S△CEA=4×14∵OC=12CE∴S△AOC=12S△CEA=1∴S△AOE=12+1=3∵S△AOE=12k（k∴k=3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：與幾何的綜合【例3】．(2023·安徽滁州·一模）如圖，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC、AE＝AD，連接CD，連接BE并延長(zhǎng)交AC，AD于點(diǎn)F、G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF＝CF?AC．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:C分析：利用SAS證明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，可判斷③正確；由全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠ACB的度數(shù)，利用角平分線的定義求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，進(jìn)而可證明CD∥AB，即可判斷②正確；根據(jù)已知條件可求出∠BCF=∠BFC=72°，從而可以得出BC=BF，證明△ABC∽△BFC，即可證明BF2=CF?AC，可判斷④正確，無(wú)法證明DE【解答】∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB?∠CAE＝∠DAE?∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，∵在△DAC和△EAB中AD＝AE∠DAC＝∠EAB∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，AC=AB，∠ACD＝∠ABE，故③正確；∴∠ACB＝∠ABC，∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°?36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠ACD＝∠ABE＝36°，∵∠DCA＝∠CAB＝36°，∴CD∥AB，故②正確；∵∠BFC=180°?∠ACB?∠CBE=180°?72°?36°=72°，∴∠BFC=∠BCF=72°，∴BF=BC，∵∠BAC=∠CBF=36°，，∴△ACB∽△BCF，∴ACBC∴BC即BF2=CF根據(jù)題目中的已知條件無(wú)法證明DE=GE，故①錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明△DAC≌△EAB是解題的關(guān)鍵．【例4】．(2023·安徽·二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF，BE相交于G，則AGGFA． B．35 C．22 D．答案:A分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則BF=BE=AE=a，AF=5a然后說(shuō)明△ABF≌△DAE得到∠BFA=∠AED,進(jìn)一步證明△AEG∽△AFB，然后求得AG和GF的長(zhǎng)，最后求AG【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則BF=BE=AE=a，AF=5∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB在△ABF和△DAE中AD=AB∠ABC=∠DAE∴△ABF≌△DAE（SAS）∴∠BFA=∠AED在△AEG和△AFB中，∠AED=∠AFB,∠BAF=∠BAF,∴△AEG∽△AFB∴AEAF=AGAB,即a5∴GF=AF-AG=∴AGGF故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．【例5】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，矩形紙片ABCD中，，．點(diǎn)E、G分別在AD，DC上，將△ABE、△EDG分別沿、EG翻折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)E、F、H、C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，連接DH，則線段DH長(zhǎng)為（

）A．4510 B．4310 C．答案:A分析：由翻折可以得到：AB=BF=3，，求得FC=4，證明出ΔBFC≌ΔCDE，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥DC于點(diǎn)M，ΔHMC∽ΔEDC，進(jìn)而進(jìn)行求解．【解答】由翻折可知：AB=BF=3，，在中：BF2∴FC=4，如圖所示：，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠BFC=∠ADC，BF=DC，∴ΔBFC≌ΔCDE，∴FC=ED=4，EC=BC=5，∴EH=DE=4，HC=EC?EH=1，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥DC于點(diǎn)M，如圖所示：則HM//AD，∴ΔHMC∽ΔEDC，∴HCEC解得：MC=35，則DM=12在RtΔDHM中，DH=D故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的相關(guān)性質(zhì)，全等三角形，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．【例6】．(2023·安徽合肥）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)．（1）EG：AC______；（2）AF______．答案:

12

分析：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)得FG=AB=22,∠EFG=∠BAC=90°,EF=AE=1，再證明△FME～△GFE，得【解答】過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，點(diǎn)G恰好落在線段AC上，∴FG=AB=22∴EG=1∵AC=6，∴EG:AC=3∵∠FEM=∠GEF,∠FME=∠GFE=90°，∴△FME～△GFE，

∴EM∴EM=1∴AM=AE+EM=4∴AF=A故答案為：12，2【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【例7】．（2023·安徽）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且滿足條件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．（1）當(dāng)OP＝時(shí)，OQ＝_______________；（2）若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，則OQ的最小值為_(kāi)____________________．答案:

2339分析：（1）如圖，過(guò)Q作QH⊥y軸于Q,證明△HQP∽△OPA,可得HQOP=HP（2）設(shè)P0,a,過(guò)Q作QH⊥y軸于Q,同理：△HQP∽△OPA,HQOP【解答】解：（1）如圖，過(guò)Q作QH⊥y軸于Q,則∠QHP=∠POA=90°,∠HPQ+∠HQP=90°,∵AP⊥PQ,∴∠HPQ+∠OPA=90°,∴∠HQP=∠OPA,∴△HQP∽△OPA,∴HQ∵∠PAQ=30°,AP⊥PQ,∴tan∵OP=3∴HQ∴HP=4∴OQ=H故答案為：239（2）設(shè)P0,a,過(guò)Q作QH⊥y軸于同理：△HQP∽△OPA,∴HQ∴HQ=3∴OQ=4當(dāng)a=?8332×4∴OQ的最小值為：43故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建相似三角形與二次函數(shù)的模型是解本題的關(guān)鍵.【例8】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線分別交CD，AC于點(diǎn)F，E．(1)求證：△CBF～△ABE；(2)若AB=10，BC=6，求△CBF的面積，(3)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出CEAE的值為_(kāi)_____．答案:(1)證明見(jiàn)解析；(2)275；(3)分析：（1）利用同角的余角相等可得∠BCF=∠A，再由角平分線的定義可得∠CBF=∠ABE，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)HL定理可證△BEC?△BEG，推出BG=BC=6，設(shè)CE=EG=x，則AE=8?x，在Rt△AEG中，利用勾股定理（3）由sinA=EGAE=BCAB【解答】（1）證明：，CD為AB邊上的高，∴∠BCF+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，，是∠ABC的平分線，∴∠CBF=∠ABE，在△CBF和△ABE中，∠BCF=∠A∠CBF=∠ABE∴△CBF～△ABE．（2）解：在Rt△ABC中，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于G，是∠ABC的平分線，∠ACB=90°，∴CE=GE，在Rt△BEC和Rt△∴△BEC?△∴BG=BC=6，∴AG=10?6=4，設(shè)CE=EG=x，則AE=8?x，在Rt△AEG中，AE解得x=3，∴S∵△CBF～△ABE，∴S△CBFS△ABE解得S△CBF即△CBF的面積為275（3）解：如上圖，在Rt△AEG和Rt△∴CEAE在Rt△ACD和Rt△∴AC∴AB2?B解得BCAB=5∴CEAE故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例9】．(2023·安徽·三模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)（不與A、D重合），點(diǎn)F在邊DC延長(zhǎng)線上，，連接、、EF，EF交BC于點(diǎn)M，交對(duì)角線BD于N．(1)求證：∠BEF=45°；(2)若平分∠ABD，求證：BE2(3)若，則EN:NM:MF=__________（直接寫(xiě)答案）．答案:(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)21∶29∶20分析：（1）通過(guò)證明得到△BEF是等腰直角三角形，即可求證；（2）由（1）得∠BFE=45°,BE=BF，通過(guò)證明△EBD∽△MBF得到EBMB（3）設(shè)AE=CF=2x，則DE=3x，BC=CD=AD=5x，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)求解即可．【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°=∠BCF，又∵AE=CF，∴（SAS），∴BE=BF,∠ABE=∠CBF，∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=90°∴，∴△BEF是等腰直角三角形，則∠BEF=45°；(2)證明：由（1）可知∠BFE=45°,BE=BF，由正方形的性質(zhì)可知∠EDB=∠ABD=45°,∠ABC=90°,BD=2∵平分∠ABD，∴∠ABE=∠EBD,∠CBF=90°?∠EBC=∠ABE=∠EBD．在△EBD和△MBF中：∠EDB=∠BFE,∠EBD=∠CBF，∴△EBD∽△MBF，∴EBMB=BD∴BE(3)解：∵，設(shè)AE=CF=2x，則DE=3x，BC=CD=AD=5x，DF=7x，由題意可得DE∥BC，∴CFDF=CMDE=∴CM=67x∴ENMN設(shè)EN=21y，則MN=29y，ME=50y，∵FMEM=25∴EN:NM:MF=21:29:20．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【例10】．(2023·安徽安慶）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，CF＝BF．(1)求證：△ADE≌△FCD；(2)如圖（2），連接DB交AE于點(diǎn)G．

①若AG＝DC，求證：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求CFBD答案:(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②分析：（1）利用平行線的性質(zhì)證得∠DEC＝∠ABC，繼而由等量代換證得∠DEC＝∠DCE，繼而推導(dǎo)出DE＝DC，根據(jù)平行四邊形判定證得四邊形ABFD為平行四邊形，繼而可得AD＝CF，∠ADE＝∠DCF，進(jìn)而即可求證結(jié)論；（2）①連接CG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AED＝∠CDF，AE＝DF，繼而可證四邊形AGCD為平行四邊形；繼而得GE＝EF，根據(jù)“SSS”證得△CGE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BCG＝∠BCF，利用“SAS”證得△BCG≌△BCF，繼而可得∠GBC＝∠FBC，即可求證結(jié)論；②由題意易證△ABE~△DCE；且△ABE和△DCE均是等于等腰三角形，進(jìn)而得ABCD=AEDE=BECE，設(shè)CD=DE=AG=a，ABCD=AEDE=BECE=x進(jìn)而求得x的值即可求解．【解答】（1）∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵DE∥AB，BF∥AD，∴四邊形ABFD為平行四邊形，∴∠ABF＝∠ADE，BF＝AD，∵CF＝BF，∴AD＝CF，∵∠ABC＋∠FBC＝∠DCB＋∠FCB，即∠ABF＝∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（SAS）；（2）①如圖所示，連接CG，∵△ADE≌△FCD，∴∠AED＝∠CDF，AE＝DF，∴AE//CD，∵AG＝DC，∴四邊形AGCD為平行四邊形；∴AD＝CG＝CF，∵AG＝CD＝DE，∴AE-AG=DF-DE，即GE＝EF，∵CE＝CE，∴△CGE≌△CFE（SSS），∴∠BCG＝∠BCF，∵BC＝BC，∴△BCG≌△BCF（SAS），∴∠GBC＝∠FBC，∴BC平分∠DBF；②∵DE∥AB，AE//CD，∴∠BAE＝∠DEA＝∠CDE，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠AEB＝∠DEC，∴△ABE~△DCE；且△ABE和△DCE均是等于等腰三角形，∴AB設(shè)CD=DE=AG=a，ABCD∴AE=ax，∵DB∥CF，∴∠DBE＝∠FCE，∠BDE＝∠CFA，又∠BED＝∠CEF，∴△BDE~△CFE；∴DEEF∵DE=a，∴EF=又GE=EF，∴AE=AG+EF=a+a則ax=a+ax，整理得：解得：x=1+52∴CFBD=【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定及其性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，相似三角形的判定及其性質(zhì)，平行四邊形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)，相似三角形的判定及其性質(zhì)，正確作輔助線．考點(diǎn)三：相似與動(dòng)點(diǎn)綜合【例11】．(2023秋·安徽池州）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6．若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長(zhǎng)為(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積有最大值，最大值為多少？答案:(1)，(2)當(dāng)時(shí)，S有最大值6分析：（1）先證明△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例列式計(jì)算即可；（2）先找出△BDE中BD邊上的高，再根據(jù)三角形面積公式列出函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)作答即可．【解答】（1）解：由題可知，BD=2x，，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴∴y=?32x+6（2）∵∠A=90°∴AE是△BDE中BD邊上的高，

∴S∴S=1∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例和求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．【例12】．(2023秋·安徽安慶）如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA=8，OC=6，連接OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0<t<6，連接DE，作DF⊥DE交OA于F，連接EF(1)如圖一，當(dāng)四邊形DFAE為矩形時(shí)，求t的值．(2)如圖二，試證明在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DFE∽△ABO．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF面積最大？最大值為多少？答案:(1)t=3(2)見(jiàn)解析(3)當(dāng)t=256時(shí)，△AEF分析：（1）先判斷出DE∥OA，進(jìn)而判斷出點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論；（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，證明四邊形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行線得出比例式BDDO=BNNA,DOBD（3）由（2）得出△DMF∽△DNE，進(jìn)而得出再分兩種情況得出，最后用面積公式計(jì)算，得出函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：(1)∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC=6，∠OAB=90°，∵四邊形DFAE是矩形，∴∠BED=90°=∠OAB，∴DE∥OA，∴DBDO∴AE=1由運(yùn)動(dòng)知，AE=t，∴t=3；（2）如圖2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，∵四邊形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四邊形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BDDO∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴M、N分別是OA、AB的中點(diǎn)，∴DM=1∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴DFDE∵OA=8，AB=6，∴，∴，∵∠FDE=∠BAO=90°，∴△DFE∽△ABO；（3）如圖2，由(2)知，△DMF∽△DNE，∴由運(yùn)動(dòng)知，AE=t，當(dāng)0<t≤3時(shí)，NE=3?t，∴，∴，∴AF=AM+MF=，當(dāng)3<t<6時(shí)，NE=t?3，∴，∴AF=AM?MF=4?3∴，當(dāng)t=256時(shí)，△AEF面積最大，最大值為【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，分兩種情況得出是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：相似壓軸【例13】．(2023秋·安徽滁州）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在線段CB上，求證：；(2)設(shè)BP=x、CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與C，B重合），且保持∠APQ=90°，當(dāng)CQ=1時(shí)，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)y=?15(3)2或22?2分析：(1)根據(jù)∠APQ+∠CPQ=∠ABC+∠BAP，證明∠CPQ=∠BAP即可．(2)根據(jù)?ABP～?PCQ，結(jié)合AB=AC=5，BC=6，分P在線段CB和CB的延長(zhǎng)線上兩種情況計(jì)算．(3)分點(diǎn)P在線段CB、CB的延長(zhǎng)線上，BC的延長(zhǎng)線上；點(diǎn)Q在直線BC的上方和下方計(jì)算即可．【解答】（1）如圖，∵∠APQ+∠CPQ=∠ABC+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠BAP，∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，∴?ABP～?PCQ．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，∵?ABP～?PCQ，AB=AC=5，BC=6，BP=x、CQ=y，∴ABPC=BP∴56?x解得y=?1當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，∵?ABP～?PCQ，AB=AC=5，BC=6，BP=x、CQ=y，∴ABPC=BP∴56+x解得y=1（3）如圖3，設(shè)BP=x，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°?∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴?ABP～?PCQ．∴ABPC∴44?x解得；如圖4，設(shè)BP=x，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°?∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴?ABP～?PCQ．∴ABPC∴4x?4解得x=2+22如圖5，設(shè)BP=x，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°?∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴?ABP～?PCQ．∴ABPC∴4x+4解得x=22綜上所述，BP的長(zhǎng)為2或22?2或【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，列二次函數(shù)關(guān)系式，分類討論是解題的關(guān)鍵．【例14】．(2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，BM是中線，AH是高，HD⊥BM于D，BH=CM．(1)求證：D為BM的中點(diǎn)；(2)如圖2，連接AD并延長(zhǎng)交BC于E，若AB=BM，EA=EC．①求證：△BDE∽△ABE；②求的值．答案:(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②BE分析：（1）連接MH，由BM是中線，AH是高，可得MH=12AC=MC，由BH=CM，可得BH=MH，由HD⊥BM，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得出D（2）①連接MH，由AB=BM，得出∠BAM=∠BMA，由EA=EC，得出∠EAC=∠C，由∠BAM=∠BAE+∠EAC，∠BMA=∠MBC+∠C，得出∠BAE=∠MBC，再由公共角，即可證明△BDE∽△ABE；②由BA=BM，D是BM的中點(diǎn)，得出BDAB=BDBM=12，由△BDE∽△ABE【解答】（1）證明：如圖1，連接MH，∵BM是中線，AH是高，∴MH是Rt△AHC斜邊上的中線，∴MH=1∵BH=CM，∴BH=MH，∵HD⊥BM，∴D為BM的中點(diǎn)；（2）①證明：如圖2，連接MH，∵AB=BM，∴∠BAM=∠BMA，∵EA=EC，∴∠EAC=∠C，∵∠BAM=∠BAE+∠EAC，∠BMA=∠MBC+∠C，∴∠BAE+∠EAC=∠MBC+∠C，∴∠BAE=∠MBC，∵∠BED=∠AEB，∴△BDE∽△ABE；②解：∵BA=BM，D是BM的中點(diǎn)，∴BDAB∵△BDE∽△ABE，∴BEAE∵AE=EC，∴BEEC【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【例15】．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖1，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在邊AB上，連接CE．過(guò)點(diǎn)E作PE⊥CE分別交AC、AD于點(diǎn)F，點(diǎn)P、過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為點(diǎn)H．分別交CE，CD于點(diǎn)G，點(diǎn)Q，∠BAC=α．(1)求證：△AFP∽△QGC；(2)如圖2，若tanα=1且點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求證：EF=EG；(3)如圖3，若EF=EG，tanα=45，求的值．答案:(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)AEBE=5分析：（1）利用等角的余角相等，得到∠PAF=∠GQC和∠QGC=∠AFP，即可證明△AFP∽△QGC；（2）證得四邊形ABCD是正方形，再設(shè)法證明△AFE≌△HGE，即可得證；（3）設(shè)BC=4a，則AB=5a，證明∠BAC=∠CBQ，利用三角函數(shù)關(guān)系求得CQ=165a，證明△EGB∽△CGQ，推出EGCG=BECQ，證明△EFA∽△CGB，推出EF【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAC=∠DCA，∠EAP=90°，∵BH⊥AC，∴∠CHQ=90°，∴∠BAC+∠PAF=90°，∠DCA+∠GQC=90°，∴∠PAF=∠GQC；∵PE⊥CE，∴∠CHG=∠CEF=90°，∴∠QGC+∠GCH=90°，∠EFC+∠GCH=90°，又∵∠EFC=∠AFP，∴∠QGC=∠AFP，∴△AFP∽△QGC；(2)解：連接EH，∵tanα=1，∴AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AE=EB=EH，∴∠EAH=∠EHA=∠EHG=45°，∵∠CHG=∠CEF=90°，∴∠EFH+∠EGH=180°，又∠AFE+∠EGH=90°，∴∠AFE=∠EGH，∴△AFE≌△HGE，∴EF=EG；(3)解：∵∠ABC=∠AHB=90°，∴∠BAC=∠CBQ，∵tanα=45，即BC∴設(shè)BC=4a，則AB=5a，∵tan∠CBQ=tan∠BAC=tanα=45∴CQBC∴CQ=165a∵四邊形ABCD是矩形，∴BE∥CQ，∴△EGB∽△CGQ，∴EGCG∵∠BAC=∠CBQ，即∠EAF=∠CBG，同（2）得∠EFA=∠CGB，∴△EFA∽△CGB，∴EFGC∵EF=EG，∴BECQ=AEBC，即AEBE【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，正方形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．1．(2023秋·安徽安慶）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線m、n分別與直線l1、l2、l3分別交于點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，則BCACA．35 B．58 C．53答案:B分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴EFDF∵DE＝3，DF＝8，∴，即BCAC＝5故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，注意：一組平行線截兩條直線，所截的線段對(duì)應(yīng)成比例．2．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一個(gè)條件，則以下所添加條件不正確的為（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．ADAB=AE答案:D分析：利用相似三角形的判定方法一一判斷即可．【解答】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由∠A＝∠A，ADAB=AEAC可以推出，△D、由ADAB=DEBC，推不出，△故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考常考題型．3．（2023秋·安徽六安）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中與⑤相似的三角形是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④答案:A分析：兩三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似，據(jù)此即可解答．【解答】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則①△ABC的各邊長(zhǎng)分別為1、2、5．②△ACD的各邊長(zhǎng)分別為1、5、2

2；③△ADE的各邊長(zhǎng)分別為2、2

2、2

5；④△AEF的各邊長(zhǎng)分別為22、25、6；⑤△AGH的各邊長(zhǎng)分別為2、2、10；∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似的運(yùn)用．正確掌握網(wǎng)格中求線段長(zhǎng)度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．(2023秋·安徽合肥）如圖，已知△ABC與△ADE中，∠C=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然不能判定△ABC與△DAE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．AB：AC=AD：DE C．AD//BC D．BC：AC=AD：AE答案:D分析：根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．【解答】A．由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，本選項(xiàng)不符合題意；B．設(shè)ABAC=ADDE=k，則AB=kAC，AD=∴ACBC∵∠C=∠AED=90°，∴△ACB∽△DEA，本選項(xiàng)不符合題意；C．由BC//AD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，本選項(xiàng)不符合題意；D．由BCAC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，屬于中考?？碱}型．5．(2023秋·安徽安慶）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④答案:B分析：由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a∴AB=22a=2AD，故②設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x=b2?a2b=a2，即GE=a，∴GEDF∴GE=6DF；故③正確；∴OCOF∴OC=22OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．6．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△OAB中，OC平分∠BOA交AB于點(diǎn)C，BD平分∠OBA交OA于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)E，反比例函數(shù)y=kx，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，若OB=2，CEOE=1A． B．89 C．43 D．答案:B分析：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥OB于點(diǎn)N．易證明四邊形是正方形，得到△CEM∽△COB，由CEOE=12，進(jìn)一步求得EM=23，則EF=EN=BN=【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥OB于點(diǎn)N．∵OC平分∠BOA，BD平分∠OBA，∴EM=EN=EF，∵∠OBA=∠ENB=∠EMB=90°，∴四邊形是正方形，∴EM∥OB，∴△CEM∽△COB，∴EMOB∵CEOE∴EMOB∴EM=2∴EF=EN=BN=2∴ON=OF=OB?BN=4∴S△OEF∴k=8故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．7．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN，OM，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．△AMN是等邊三角形 B．MN的最小值是2C．當(dāng)MN最小時(shí)，S△CMN=18S菱形ABCD答案:B分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明△ADN≌△ACM，得到AM=AN，進(jìn)而得到△AMN是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和垂線段最短，得到當(dāng)AM⊥BC時(shí)，MN最小，此時(shí)：AN⊥CD，得到MN是△BCD的中位線，即可得到S△CMN=18S菱形ABCD，當(dāng)OM⊥BC時(shí)，【解答】解：A、∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，∴AB=BC=CD=DA=2，∠ADC=60°,∠BCD=∠BAD=120°，∴∠BAC=∠CAD=∠BCA=∠DCA=60°，∴△ABC,△ADC為等邊三角形，∴AC=AD，∵∠MAN=60°，∴∠MAC+∠CAN=∠NAD+∠CAN=60°，∴∠MAC=∠NAD，又∵∠ADN=∠ACM=60°，∴△ADN≌△ACMASA∴AM=AN，∴△AMN是等邊三角形；選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵△AMN是等邊三角形，∴MN=AM=AN，∵垂線段最短，∴當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM最小，即：MN最小，∵△ABC為等邊三角形，∴BM=CM=1∴AM=A∴MN的最小值為：，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、當(dāng)MN最小時(shí)，M為BC的中點(diǎn)，同理N為CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD,MN=1∴△CMN∽△CBD，∴S△CMN∴S△CMN∵S△CBD∴S△CMND、當(dāng)OM⊥BC時(shí)，∵菱形ABCD，∴BO⊥CO，∴∠BOC=∠OMC=90°，∴∠OCM+∠COM=∠OCM+∠CBO=90°，∴∠COM=∠CBO，∴△OMC∽△BOC，∴OCBC∵△ADN≌△ACMASA∴，∵BC=AB，∴OCAB∴OA故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．8．(2023秋·安徽蚌埠）黃金分割在我們生活中應(yīng)用廣泛，如主持人站在舞臺(tái)的黃點(diǎn)分割位置會(huì)更自然得體．已知線段AB長(zhǎng)為6，C是AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則AC的值為_(kāi)_____．答案:##?3+35分析：由黃金分割的定義得AC=5【解答】解：為AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，AB=6，且AC>BC，∴AC=5故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，比值叫做黃金比．9．(2023秋·安徽合肥）在如圖的正方形格點(diǎn)紙中，每個(gè)小的四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B、C、D都是格點(diǎn)，AB與CD相交于O，則AO：OB＝_____．答案:310##分析：由EH∥CF，得出△DEH∽△DCF，可求出EH=32，則AE=△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值．【解答】解：如圖，∵EH∥CF，∴△DEH∽△DCF，∴EH3∴EH=3∴∵AE∥BC∴△AOE∽△BOC∴AO故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．(2023秋·安徽合肥）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的點(diǎn)，且AD=3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，∠ACD=∠BED=45°，CD=6（1）∠A+∠EBD=__________；

（2）AB=_________cm答案:

90°

413分析：（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，由三角形中位線定理可得DF＝32a，EF∥AC，DE＝32，證出∠EFB+∠EBF（2）通過(guò)證明四邊形DGEH是正方形，可得DE＝2DG＝32，DH∥EF，通過(guò)證明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的長(zhǎng)，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：（1）如圖，取AD中點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，CD＝62，∴DF＝32a，EF∥AC，DE＝32∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∴∠EFB+∠EBF＝90°，∵EF∥AC，∴∠A＝∠EFB，∴∠A+∠EBD＝90°；故答案為：90°；（2）∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，∵DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DE＝2DG＝32，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴，∴BH＝2，∴BD＝BH∴AB＝413，故答案為：413．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·安徽合肥）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE=CF，CE交于M．（1）若E為AB中點(diǎn)，則＝_____；（2）若∠CMF=60°，則＝_____．答案:

2

2+分析：（1）過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，構(gòu)造相似三角形，得△AEM∽△FGM，由相似三角形的性質(zhì)以及中位線定理得出結(jié)論；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AM所在的直線，利用角平分線的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，∴∠BAF=∠GFA，∠AEG=∠EGF又∠1=∠2∴△AEM∽△FGM∴AE∵E為AB中點(diǎn)∴AE=EB在正方形ABCD中AB=BC，又AE=CF∴F為CB中點(diǎn)∵FG∥AB∴△CGF?△∴CGCE∴G是的中點(diǎn)，∴AE設(shè)，則EM=2a，∴EG=CG=EM+MG=3a∴CM=CG+MG=4a∴CM故答案為：2；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AF，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N在Rt△CMN中，∠CMF=60°，∵sin6∴CNCM即CM=2MNAE=CF，BA=BC∴BA?AE=BC?CF，即BE=BF∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS）∴∠FAB=∠ECB∵∠AME=∠CMF，AE=CF∴△AME≌△CMF（AAS）∴EM=FM∵∠AFB=∠CFN，∠B=∠N=90°∴∠FAB=∠FCN∴∠MCF=∠NCF∴CNCM=∴∵∵M(jìn)F=EMCMEM故答案為：2+【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的綜合題，相似三角形，平行線分線段成比例，利用輔助線解決本題是關(guān)鍵．12．(2023秋·安徽六安）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)CEEB（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為_(kāi)______．答案:

5?1

分析：（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長(zhǎng)，從而可以得到線段CF的長(zhǎng)；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝1，∴AE＝AB2+B∴EF＝5，∴CF＝EF﹣EC＝5﹣1；故答案為：5﹣1；（2）證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中∠D=∠GCF∠AGD=∠FGC∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，設(shè)CD＝2a，則CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴，∴，∴EC＝12a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣12a＝3∴λ＝；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理解答．13．(2023秋·安徽亳州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?4,3（1）將ΔABC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到ΔA1B1C（2）以點(diǎn)A為位似中心將ΔABC放大2倍，得到，畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．答案:（1）見(jiàn)解析，B11,?4分析：根據(jù)平移的定義“把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的大小和形狀完全相同”即可得；根據(jù)位似圖形的定義“一般得，如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A1，B1，…，P1和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A，B，…，P分別對(duì)應(yīng)，并且滿足①直線AA1，，…，都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O；【解答】（1）根據(jù)題意可得：∴B1（2）如圖所示：以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AC，AB；分別在射線上取C2，B2，使，連接，CB2，AB∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—平移變換，作圖—位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移作圖方法和圖形位似的作圖方法．14．(2023秋·安徽蚌埠）如圖，將矩形紙片ABCDAD>DC沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上，落點(diǎn)為F，折痕交AB邊于點(diǎn)E(1)求證：△EFB～△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求的長(zhǎng)；答案:(1)見(jiàn)解析；(2)2分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠B=∠C=90°，從而得到∠CDE+∠CED=90°，再由根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DEF=∠A=90°，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=AD=10，再由勾股定理可得CE=8，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF+∠CED=90°，∴，∴△EFB～△DEC；（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：DE=AD=10，∵CD=6，∴CE=D∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴BE=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．(2023秋·安徽合肥）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示：BP=______，BQ=______；(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似？答案:(1)5tcm，(2)t=1或t=分析：（1）根據(jù)題意列式即可；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BP:BA=BQ:BC；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BP:BC=BQ:BA，再根據(jù)BP=5t,QC=4t,AB=10cm【解答】（1）解：根據(jù)題意知：BP=5tcm，BQ=(8?4t)故答案為：5tcm，(8?4t)（2）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8∴AB=A分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BPBA∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8，∴5t10解得，t=1，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BPBC∴5t8解得，t=32∴t=1或t=3241時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．16．(2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，D重合），連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E．(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，且AP﹥AE時(shí)，求證：PE=PC；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BE的取值范圍．答案:(1)證明見(jiàn)解析(2)7分析：（1）根據(jù)題意易證∠APE=∠DCP，結(jié)合∠AEP=∠DPC=90°，即證明△AEP～△DPC，得出AEDP=APCD．設(shè)AP=x，則DP=3?x．則可列出13?x=x2，解出x，結(jié)合AP﹥（2