高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)(原卷版+解析)

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)重點(diǎn)一指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】(2023·江蘇）化簡(jiǎn)與求值：(1)(2).(1).(2)【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)．2．(2023·湖北）計(jì)算下列各式的值：(1)已知，求：．(2)重點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)【例2】(2023·廣東·深圳市）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【一隅三反】1．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù).(1)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)求不等式的解集.(3)若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)，，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)試確定函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．(2023·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求a、b的值；(2)證明f(x)在(-∞，+∞)上為減函數(shù);(3)若對(duì)于任意R，不等式恒成立，求k的范圍重點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)【例3】(2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(1)求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值；(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且），，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為函數(shù)的解析式，指出函數(shù)的奇偶性，并證明．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中為常數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．重難點(diǎn)四零點(diǎn)定理【例4-1】(2023·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則其另一個(gè)零點(diǎn)為_(kāi)_____．【例4-2】(2023·山東）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【例4-3】(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例4-4】(2023·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．(2023·江蘇·金沙中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．(2023·北京大興·高一期末）若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·廣西·上林縣中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．6．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)重點(diǎn)一指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】(2023·江蘇）化簡(jiǎn)與求值：(1)(2).(1).(2)答案:(1);(2).(3)；(4)解析：（1）原式.（2）原式.（3）；（4）【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)．答案:(1)0(2)3(3)1(4)7(5)解析：（1）方法一：（直接運(yùn)算）原式．方法二：（拆項(xiàng)后運(yùn)算）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式；（5）原式．2．(2023·湖北）計(jì)算下列各式的值：(1)已知，求：．(2)答案:(1)(2)解析：（1）因?yàn)?，而，所以，所以．?）原．3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)（理））（1）計(jì)算：________；（2）化簡(jiǎn)：________．答案:

解析：（1）．（2）原式．故答案為:，重點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)【例2】(2023·廣東·深圳市）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．答案:(1)(2)(3)解析：（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以時(shí)，是奇函數(shù).所以；（2）由（1）可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?；?）由可得，即，可得對(duì)于恒成立，令，則，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【一隅三反】1．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù).(1)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)求不等式的解集.(3)若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案:(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)(3)解析：（1）由題意得：，解得：，，任取，且，則因?yàn)?，且，所以，，所以，故所以函?shù)在上單調(diào)遞增；（2），即，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)闉槎x在上單調(diào)遞增，所以，解得：或，所以解集為：；（3）有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即有根，其中當(dāng)時(shí)，，，，故，又因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，且，所以在R上的值域?yàn)椋?，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.2．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)，，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)試確定函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案:(1)(2)解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，可得，結(jié)合，且，解得，所以函數(shù)的解析式為．（2）要使在區(qū)間上恒成立，只需保證函數(shù)在區(qū)間上的最小值不小于即可，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以只需即可，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．3．(2023·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求a、b的值；(2)證明f(x)在(-∞，+∞)上為減函數(shù);(3)若對(duì)于任意R，不等式恒成立，求k的范圍答案:(1)，；(2)證明見(jiàn)解析；(3)解析：（1）由已知，，，，，所以，解得，，此時(shí)定義域是R，，為奇函數(shù)．所以，；（2）由（1），設(shè)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，則，，所以，即，所以是減函數(shù)；（3）不等式化為，是奇函數(shù)，則有，是減函數(shù)，所以，所以恒成立，易知的最小值是，所以．重點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)【例3】(2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(1)求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．答案:(1)(2)解析：(1)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，即，即解得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，∴．(2)由，得，即，令，易知在上單調(diào)遞減，則的最大值為．又∵當(dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，且，∴，，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，求?shí)數(shù)的值；(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案:(1)(2)實(shí)數(shù)的值為1或(3)解析：（1）令，則由題意可知1，3為方程的兩個(gè)根，所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸方程為，即．（2）由題意，對(duì)于方程，，即，由函數(shù)的值域?yàn)?，可得?dāng)時(shí)，，解得或．故實(shí)數(shù)的值為1或．（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減．易知函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為直線，所以．易知在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，有，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且），，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為函數(shù)的解析式，指出函數(shù)的奇偶性，并證明．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．答案:(1)；(2)答案見(jiàn)解析.解析：（1）依題意，，，而且，解得，所以函數(shù).（2）選擇①，，則有，解得，即的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)是定義在上的奇函數(shù)．選擇②，，則有，解得，即的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)是定義在上的奇函數(shù)．

選擇③，，則有，解得，即的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)是定義在上的偶函數(shù)．3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中為常數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案:(1)(2)(3)解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，又時(shí)，無(wú)意義，故．（2）因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有解，所以即解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．重難點(diǎn)四零點(diǎn)定理【例4-1】(2023·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則其另一個(gè)零點(diǎn)為_(kāi)_____．答案:解析：解法一：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1，將代入得，解得．所以．令，解得，，所以函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為．解法二：由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1，可得方程的一個(gè)根為1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以另一個(gè)根為．故函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為．故答案為：.【例4-2】(2023·山東）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案:B解析：令，顯然單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B【例4-3】(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3答案:C解析：函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程在上解的個(gè)數(shù)，方程化簡(jiǎn)可得，所以方程方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知在區(qū)間上，兩函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，故選：C．【例4-4】(2023·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:A解析：有三個(gè)零點(diǎn)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得或，所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，與的圖象有1個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，得，所以符合題意；令，得，所以符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【一隅三反】1．(2023·浙江·余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案:B解析：因?yàn)闉樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，，，由零點(diǎn)存在定理，上必有唯一零點(diǎn).故選：B．2．(2023·江蘇·金沙中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案:B解析：，，，

令，得，，，，在上的零點(diǎn)為故選：B3．(2023·北京大興·高一期末）若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:D解析：因?yàn)闀r(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，所以需滿足有1個(gè)零點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D4．(2023·廣西·上林縣中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案:A解析：令，則的解為：，由題意可知：無(wú)解，又，即，又，即，解得：．故選：A.5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案:1解析：解法一：令，可得方程，即，故原函