2023-2024學年河北省石家莊市高二（上）期末數(shù)學質檢試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年河北省石家莊市高二（上）期末數(shù)學質檢試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某汽車啟動階段的位移函數(shù)為s(t)=2t3?5t2，則汽車在A.10 B.14 C.4 D.62.將序號分別為1，2，3，4，5的五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數(shù)是(

)A.6 B.24 C.60 D.1203.設離散型隨機變量X的分布列為：則q=(

)X12P1?2qqA.12 B.1?22 C.1+4.已知一組觀測值(x1,y1)，(x2,y2)，…，A.0 B.0.5 C.0.9 D.15.(xy?yx)A.?4 B.4 C.?6 D.66.李老師教高二甲班和乙班兩個班的數(shù)學，這兩個班的人數(shù)相等.某次聯(lián)考中，這兩個班的數(shù)學成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=12πσe(x?μ)22σ2的圖像如圖所示，其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差，且P(|X?μ|≤σ)=0.6827A.甲班的平均分比乙班的平均分高

B.相對于乙班，甲班學生的數(shù)學成績更分散

C.甲班108分以上的人數(shù)約占該班總人數(shù)的4.55%

D.乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等7.某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數(shù)學是該校優(yōu)勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有(

)A.51種 B.45種 C.48種 D.42種8.已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?kx3+1，若對任意的x1，x2∈(0,+∞)，且A.(0,e3] B.(?∞,e3]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中正確的是(

)A.對于獨立性檢驗，χ2的值越大，說明兩事件的相關程度越大

B.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設z=lny，若其變換后得到線性方程z=0.3x+4，則c，k的值分別是e4和0.3(e為自然對數(shù)的底數(shù))

C.在具有線性相關關系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程y=a+b10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的結論正確的是(

)A.C32+C42+C52+?+C112=220

B.記第n行的第i個數(shù)為ai，則i=1n+13i?1ai11.某大學文學院有A、B兩個自習室，小王同學每天晩上都會去自習室學習.假設他第一天去自習室A的概率為13；他第二天去自習室B的概率為14；如果他第一天去自習室A，則第二天去自習室B的概率為12.A.小王兩天都去自習室A的概率為14B.小王兩天都去自習室B的概率為112

C.小王兩天去不同自習室的概率為34D.如果他第二天去自習室B，則第一天去自習室三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.編號為1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數(shù)是ξ，則E(ζ)=______．13.在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量X，Y的取值集合均為{0,1,2,3,?,n}(n∈N?)，則X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i).X01P11Y01P1?pp14.若二次函數(shù)f(x)=2x2+3的圖象與曲線C：g(x)=aex四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設函數(shù)f(x)=x3?3x2?9x+8．

(1)求f(x)在x=1處的切線方程；

(2)求16.(本小題15分)

已知f(x)=(2x?3)n展開式的二項式系數(shù)和為512，且(2x?3)n=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+?+an(x?1)n．17.(本小題15分)

在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉筆的習慣.某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有55人.經(jīng)調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖.記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(Ⅰ)請完成下列2×2列聯(lián)表.并依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與上課轉筆之間是否有關聯(lián)；(結果均保留到小數(shù)點后三位)上課轉筆上課不轉筆合計優(yōu)秀合格20合計55100(Ⅱ)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；

(Ⅲ)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數(shù)為k的概率為P(k)，當P(k)取最大值時，求k的值．

附：χ2=n(ad?bc)P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小題17分)

一個調查學生記憶力的研究團隊從某中學隨機挑選100名學生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間t(分鐘)和答對人數(shù)y的統(tǒng)計表格如下：時間t(分鐘)102030405060708090100答對人數(shù)y987052363020151155lgy1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時間t與答對人數(shù)y和lgy的散點圖如圖：

附：i=110ti2=38500,i=110yi=342,i=110lgyi=13.52,i=110tiyi=10960,i=110tilgyi=621.7，對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(u2,v2)，?，(un,vn)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回歸直線方程v19.(本小題17分)

對于正實數(shù)a，b(a>b)，我們熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b)，其中G(a,b)=ab為a，b的幾何平均數(shù)，A(a,b)=a+b2為a，b的算術平均數(shù)．現(xiàn)定義a，b的對數(shù)平均數(shù)：L(a,b)=a?blna?lnb．

(1)設x>1，求證：2lnx<x?1x，并證明G(a,b)<L(a,b)；

(2)若不等式G(a,b)+A(a,b)>m?L(a,b)對任意正實數(shù)a答案解析1.C

【解析】解：∵s(t)=2t3?5t2，

∴汽車的速度為v(t)=s′(t)=6t2?10t，2.B

【解析】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①、將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②、將剩下的3張參觀券分給其他三人，有A33=6種分法，

則有4×6=24種不同的分法；

3.B

【解析】解：由題意可得：1?2q+q2+12=1，且1>1?2q>0，q2+4.D

【解析】解：若ei恒為0，則殘差平方和i=1n(yi?yi)25.D

【解析】解：(xy?yx)4的展開式中，通項公式為Tr+1=C4r(xy)4?r(?yx)r=(?1)rC4rx4?6.D

【解析】解：選項A：甲班的平均分98分，乙班的平均分100分，

則甲班的平均分比乙班的平均分低，A錯誤；

選項B：乙班的圖象比甲班的圖象更“矮胖”，

則相對于甲班，乙班學生的數(shù)學成績更分散，B錯誤；

選項C：甲班f(x)=12πσe(x?μ)22σ2的最大值為152π，σ=5，

則P(X>108)=12×[1?P(|X?μ|≤2σ)]=0.02275≠4.55%，C錯誤；

選項D：乙班f(x)=12πσe(x?μ)7.A

【解析】解：若三人有兩人報名數(shù)學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有C32C31種情況，

若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有C32C32A22C8.B

【解析】解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)得(x1?x2)f(x1)>(x1?x2)f(x2)，

不妨設x1，x2∈(0,+∞)，且x1>x2，則f(x1)>f(x2)，

故問題等價于函數(shù)9.ABC

【解析】解：對于獨立性檢驗，χ2的值越大，說明兩事件的相關程度越大，故A正確；

y=cekx，

則lny=lnc+kx，

設z=lny，若其變換后得到線性方程z=0.3x+4，

則lnc=4，k=0.3，即c=e4，故B正確；

回歸直線方程y=a+bx中，b=2,x?=1,y?=3，

則10.BD

【解析】解：根據(jù)題意，分析可得第n行的第r個數(shù)為Cnr?1，

依次分析選項：

對于A，C32+C42+C52+……+C112=C33+C32+C42+C52+……+C112?1=C123?1=219，A錯誤；

對于B，由二項式定理：i=1n+13i?111.BC

【解析】解：設小王第一天去自習室A的事件為A1，第二天去自習室A的事件為A2，

設小王第一天去自習室B的事件為B1，第二天去自習室B的事件為B2，

故P(A1)=13，P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=14，

又P(B2|A1)=P(A1B2)12.1

【解析】解：ξ的所有可能取值為0，1，3，

ξ=0表示三位同學全坐錯了，有2種情況，

即編號為1，2，3的座位上分別坐了編號為2，3，1或3，1，2的學生，

則P(ξ=0)=2A33=13，

ξ=1表示三位同學只有1位同學坐對了，

則P(ξ=1)=C31A3ξ013P111E(ξ)=0×13+1×12+3×13.[0,+∞)

【解析】解：根據(jù)已知公式D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)，

得D(X||Y)=12ln12(1?p)+12ln12p=12ln14p(1?p)，4p(1?p)=?4p2+4p14.(0,8【解析】解：由f(x)=2x2+3，可得f′(x)=4x，

由g(x)=aex+3，可得g′(x)=aex，

設公切線與f(x)=2x2+3的圖象相切于點(x1,2x12+3)，

與g(x)=aex+3的圖象相切于點(x2,aex2+3)，

所以4x1=aex2=aex2+3?(2x12+3)x2?x1=aex2?2x12x2?x1，即15.解：(1)函數(shù)f(x)=x3?3x2?9x+8，函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=3x2?6x?9．

f′(1)=?12，f(1)=?3，

f(x)在x=1處的切線方程：y+3=?12(x?1)，

即12x+y?9=0．

(2)令f′(x)=0，3x2?6x?9=0，解得x1=3，x2=?1．

當?1<x<3時，可得f′(x)<0，

即f(x)的單調遞減區(qū)間(?1,3)，

x<?1或x>3，可得f′(x)>0，

∴函數(shù)單調遞增區(qū)間(?∞,?1)，(3,+∞)．

∴f(x)的極大值點x=?1，【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，求解切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．

(2)求解極值點，通過導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性，然后求解函數(shù)的最值即可．

16.解：(Ⅰ)∵2n=512，

∴n=9．

又(2x?3)9=[2(x?1)?1]9=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+...+a9(x?1)9，①

∴a2=C9222(?1)7=?144；【解析】(Ⅰ)由(2x?3)9=[2(x?1)?1]9=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+...+a9(x?1)9，可求17.解：(Ⅰ)2×2列聯(lián)表如下：上課轉筆上課不轉筆合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設H0：成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆無關，

χ2=100(25×10?45×20)270×30×45×55=169002079≈8.129>6.635，

根據(jù)小概率值k=0.01的獨立性檢驗，推斷H0不成立，

所以有99%的把握認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆有關．

(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖大于600分的頻率為(0.0125+0.0025)×20=0.3，

小于600分的頻率為1?0.3=0.7，

故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有10×0.7=7人，優(yōu)秀的為10×0.3=3人，

則從這10人中隨機抽取5人，合格人數(shù)X服從超幾何分布，

由題意X的可能值為2，3，4，5，

故P(X=2)=C72X2345P1551E(X)=2×112+3×512+4×512+5×112=72．

(Ⅲ)由題意隨機抽取1人則其上課轉筆的概率為45100=0.45，

故根據(jù)題意k～B(20,0.45)，則P(k)=C20k×0.45k×(1?0.45)【解析】(Ⅰ)由卡方獨立性檢驗計算可得；

(Ⅱ)由超幾何分布的概率計算公式可得；

(Ⅲ)由二項分布的概率公式，結合求概率最大的方法P(k)≥P(k+1)P(k)≥P(k?1)可得．18.解：(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷，lgy=ct+d更適作為線性回歸類型；

(Ⅱ)根據(jù)(1)的判斷結果，計算t?=110i=110ti=55，lgyi?=110i=110(lgyi)=1.35，

所以c=i=110tilgyi?10×t?lgyi?i=110ti2?10t?2=620.9?10×55×1.3538500?10×55【